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Feuille 5 : Intervalles de confiance Exercice 1 Soit X1, ,Xn un n-échantillon suivant une loi normale de moyenne µ et de variance σ2 On suppose qu'aucun des

1 Intervalle de confiance.

Exercice

D´eterminer une valeur approch´ee de la loi de la moyenne empirique : E?X n?=E(X), V?X n?=1n

V(X) doncX

n?→≂N?E(X),1n V(X)?

2 Exercices

2.1 Variance

SoitXayant une esp´erancemet une variancev, savariance empiriqueestWn=1n ?X2i-X n2 avecX nla moyenne empirique deXet1n ?X2ila moyenne empirique deX2.

1. SoitYayant une esp´erance et une variance. CalculerE(Y2) en fonctionE(Y) etV(Y)

2. CalculerE?X

n?etV?X n?et en d´eduireE?X n2?

3. Montrer enfin queE(Wn) =n-1n

V(X) et en d´eduire un estimateur sans biais de la variance.

Solution

1.V(Y) =E(Y2)-E(X)2doncE(Y2) =V(Y) +E(Y)2

2.E?X n?=metV?X n?=1n vdoncE?X n2? 1n v+m2

3.E(Wn) =1n

?E(X2i) =1n n(v+m2)-?1n v+m2?=?1-1n ?v=n-1n v

D"o`uE?n-1n

Wn?=vetn-1n

Wnvariance empirique sans biais est un estimateur sans biais de la variance.

2.2 Question confidentielle.

Certains sujets abord´es dans les enquˆetes d"opinion sont parfois assez intimes, et on court le risque

que les personnes interrog´ees se refusent `a r´epondre franchement `a l"enquˆeteur, faussant ainsi le

r´esultat.

On peut alors avoir recours `a une astuce consistant `a inverser al´eatoirement les r´eponses .

Consid´erons une question confidentielle pour laquelle on veut estimer la probabilit´epde r´eponses

positives. L"enquˆeteur demande `a chaque personne interrog´ee de lancer un d´e. •Si le d´e tombe sur , la personne doit donner sa r´eponse sans mentir, •sinon elle doit donner l"opinion contraire `a la sienne.

Si l"enquˆeteur ignore le r´esultat du d´e, il ne pourra pas savoir si la r´eponse est franche ou non, et on

peut esp´erer que la personne sond´ee acceptera de jouer le jeu.

G´en´eralisons l´eg`erement la situation en tirant pour chaque personne une variable de Bernoulli de

param`etreα.CoursEstimation-c Page 1/ 12 •Si le r´esultat de cette variable est 1, la r´eponse est franche, •sinon, elle est invers´ee.

Soitnle nombre de personnes interrog´ees.

L"enquˆeteur ne recueille que la fr´equence empiriqueFndes "oui".

1. Montrer que la probabilit´e de "oui" `a l"issue de la proc´edure estq=αp+ (1-α)(1-p)

2. Montrer queFn, la fr´equence observ´ee par l"enquˆeteur, est un estimateur sans biais deqet de

risque quadratique tendant vers 0 quandntend vers +∞

3. Pourα?= 1/2 exprimerpen en fonction deq.

4. En d´eduire queTn=Fn-1+α2α-1est un estimateur sans biais depdont le risque quadratique tend

vers 0 quandntend vers +∞.

5. Pournfix´e, quelle valeur attribuer `aαpour que le risque quadratique soit minimum ? Est-ce

acceptable ? Pour quelle valeur deαce risque est-il maximum ? Quel sera le risque quadratique avec le d´e (α= 1/6)

2.3 Loi uniforme

SoitXde loiU[0,a] et (X1,...Xn) unen-´echantillon de variables. Etimation dea:

Xa une esp´erance dea/2.SoitX

nla moyenne empirique.

1. SoitTn= 2X

n. Montrer queTnest sans biais et d´eterminer son risque quadratique

2. SoitT?n= max(X1,...,Xn)

D´eterminer la fonction de r´epartition deXpuis celle deT?n En d´eduire sa densit´e puis son biais et son risque quadratique.

3. SoitT??n=n+1n

T?nd´eterminer son biais et son risque quadratique.

4. Quel est le meilleur estimateur deapour de grandes valeurs den?

solution: 1.X n=1n n i=1XidoncE?X n?=1n n i=1E(Xi) =a2 d"o`uE(Tn) = 2a2 =aetTnest sans biais. V?X n?=1n 2?n i=1V(Xi) car les (Xi) sont ind´ependantes.

E(X2i) =?a

01a t2dt=1a [t3/3]a 0=a23 doncV(Xi) =a23 -a24 =a212 d"o`uV?X n?=na212n2.

La variance deTn= 2X

nest alorsV(Tn) = 4V?X n?=a23net donc son risque quadratique est a

23n+ 02=a23n

2. La fonction de r´epartitionFdeXest :F(x) =?x

-∞f(t)dt=? ?0 six <0?x 01a dt=xa six?[0,a]

1 six > a

deX,etGcelle deT?non a alorsCoursEstimation-c Page 2/ 12

G(t) =F(t)n.

Fest continue surRetC1sauf en 0 etadoncG´egalement etT?nest `a densit´e de densit´e : g(t) =G?(t) =nf(t)Fn-1(t) =?0 six /?[0,a] na xa n-1six?[0,a]

L"esp´erance (qui existe) deT?nest alors?a

0tg(t)dt=?a

0na ntndt=?nn+11a ntn+1?a

0=nn+1a

DoncT?na pour biais?nn+1-1?a=-an

(biais´e mais son biais tend vers 0 quandn→+∞)

L"esp´erance (qui existe) deT?n2est?a

0t2g(t)dt=?a

0na ntn+1dt=?nn+21a ntn+2?a

0=nn+2a2

Donc la variance deT?nest

V(T?n) =E?

T ?n2? -E(T?n)2=nn+ 2a2-?nn+ 1? 2 a

2=n(n+ 1)2(n+ 2)a2

et son risque quadratique estr?=V(T?n) +b2=n(n+1)2(n+2)a2+1n 2a2=? n(n+1)2(n+2)+1n 2? a

2≂

2n 2a2

3. AlorsT??n=n+1n

T?na pour esp´erancen+1n

E(T?n) =adoncT??nest sans biais.

Sa variance estV(T??n) =?n+1n

2V(T?n) =1n(n+2)a2et a pour risque quadratiquer??=1n(n+2)a2≂

2a2ce qui est (pourngrand) deux fois mieux queT?n.

4. Donc pour de grandes valeurs den, T??nest le meilleur estimateur dea.

2.4 Intervalle de confiance pour le param`etre d"une variable de Bernouilli.

Lors d"un sondage sur 100 personnes interrog´ee, 60 pensent voter pourA

On mod´elise le choix par un ´echantillon (X1,...,X100) de variable ind´ependantes de mˆeme loi de

Bernouilli de param`etrep.

On cherche `a d´eterminer un intervalle de confiance pourpau niveau de confiance 99% (1% de risque)

1. D´eterminer l"esp´erance et la variance de la fr´equence empiriqueF=1100

100
i=1Xi?

2. On noteF?la fr´equence empirique centr´ee r´eduite.

Par quelle loi peut on approcher celle deF?? On suppose d´esormais queF?suitN(0,1)

F-t⎷p(1-p)10

0,99 et en d´eduire que [F-t/20;F+t/20] est un intervalle de confiance depau niveau de confiance 99%CoursEstimation-c Page 3/ 12

Solution

1. On aE(F100) =E?1100

100
i=1Xi?=1100 100
i=0E(Xi) =1100

100p=p

DoncFnest un estimateur sans biais dep

2. Somme de variables ind´ependantes de mˆeme loiB(1,p) :V(Xi) =p(1-p)?= 0 etE(Xi) =p

Donc avecF=1100

100
i=1Xi, F?peut ˆetre approch´ee par une loi Normale centr´ee r´eduite.

V(F) =1100

2?100 i=1V(Xi) car les (Xi)isont ind´ependantes. DoncV(F) =1100 p(1-p) et F ?=F-p?p(1-p)100 =10⎷p(1-p)(F-p) la fr´equence empirique centr´ee r´eduite suit approximativement une loiN(0,1) On r´esout : 2Φ(t)-1 = 0,99??Φ(t)≥0,995 et on lit sur la table de la lo Normale pour t= 2,58 N.B. premi`ere transformation `a connaˆıtre : -t?p(1-p)10

F-t?p(1-p)10

Donc P

F n-t⎷p(1-p)10 ≥0,99

4. On ´etudie les variations def(p) =p(1-p).

fest d´erivable surRetf?(p) = 1-p-p= 1-2pp0 1/2 1f

On a alors

donc

N.B. seconde transformation `a connaˆıtre :

F n-t⎷p(1-p)10 ??Fn-t120 P F n-t⎷p(1-p)20 ≥0,99 Donc [Fn-t/20 ;Fn+t/20] est un intervalle de confiance depau niveau de confiance 99% soit avec l"´echantillon de donn´ees : ˆp= 0,6 t/20?0,13,l"intervalle de confiance au niveau 99% est [0,47; 0,73] ... ce qui ne renseigne pas beaucoup sur les chances de remporter l"´election.. Avec un ´echantillon de taille 10000, on trouvera l"intervalle [Fn-t/200, Fn+t/200] soit une largeur d"intervalle proche de 5% pour un niveau de confiance de 99%.CoursEstimation-c Page 4/ 12 Avec un niveau de confiance de 95%, on at= 1,96 et pourn= 1000 on at⎷p(1-p)⎷1000

c"est la classique des sondages : pour un ´echantillon de 1000 personne, le r´esultat est donn´e

avec un intervalle de confiance de 3% (ce que ne disent pas les sondeurs, c"est que cela n"est sˆur qu"`a 95% : il y a 5% de chance que la valeur r´eelle soit hors de cet intervalle de

2.5 Intervalle de confiance par Bienaym´e-Tchebichev

Soita??0;2⎷3

?, X ?→ U[0,a]et (X1...Xn) unn-echantillon de variables de mˆeme loi queXet ind´ependantes.

On cherche un intervalle de confiance de

a2 au niveau de confiance 99% (niveau de risque 1%).

On noteX

nla moyenne empirique

1. Rappeler la moyennemdeXet montrer queV(X) =a212

. En d´eduire la moyenne et l"esp´erance deX n.

2. En d´eduire que P

???X n-a2

3. D´eterminer enfinnpour que?X

n-0,1;X n+ 0,1?soit un intervalle de confiance dea2 au niveau de confiance 99%

4. Ecrire un programme PASCAL qui

•choisit un nombreaau hasard dans?0;2⎷3 •effectue 10000 tirages dans [0,a] •calcule et affiche la moyenne des r´esultats obtenus.

Le programme a affich´e 0,534.

•Pensez vous quea2 = 0,534 ? •Pensez vous quea2 >0,7 ? •Pensez vous quea2 ?[0,43; 0,64] ?

5. Par quelle loi peut-on approcher celle deX

1000?

6. D´eterminertpour que P?

a 100?X
n-a2 ?< t? ≥0,99 et en d´eduire un autre intervalle de confiance de a2 au niveauα

Solution

Soita??0;2⎷3

?, X ?→ U[0,a]et (X1...Xn) unn´echantillon de variables de mˆeme loi queXet ind´ependantes.

On cherche un intervalle de confiance de

a2 au niveau de confiance 99% (niveau de risque 1%).

On noteX

nla moyenne empirique

1. On aE(X) =a2

Et comme la densit´e deXest nulle hors de [0,a] et vaut1a sur [0,a] on aE(X2) =?a 0t 2a dt=? t33a? a 0=a23 et doncXa une variance qui estV(X) =a23 -?a2

2=a212

DoncE?X

n?=E?1n n i=1Xi?=1n n i=1E(Xi) =nn

E(X) =a2

CoursEstimation-c Page 5/ 12

EtV?X n?=E?1n n i=1Xi?=1n 2?n i=1V(Xi) car lesXisont ind´ependants···=1n

2nV(X) =

a 212n

Rappeler la moyennemdeXet montrer queV(X) =a212

. En d´eduire la moyenne et l"esp´erance deX n.

2. D"apr`es l"in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebichev on a alors P

???X n-a2 n)0,12= 100a212net n-a2 et P???X n-a2

1-100n

3. Comme l"´ev´enement???X

n-a2 n-a2 n+ 0,1?

Donc pourn= 10000 on a P?X

n+ 0,1?≥1-0,01 et?X n-0,1;X n+ 0,1? est un intervalle de confiance de a2 au niveau de confiance 99%

4. Ecrire un programme PASCAL qui

Program estim;

var a,x,s:real;k:integer; begin for k:=1 to 10000 doquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

[PDF] [PDF] 1 Intervalle de confiance 2 Exercices - Maths ECE

1 Intervalle de confiance.

Exercice

V(X) doncX

2 Exercices

2.1 Variance

1. SoitYayant une esp´erance et une variance. CalculerE(Y2) en fonctionE(Y) etV(Y)

2. CalculerE?X

3. Montrer enfin queE(Wn) =n-1n

Solution

1.V(Y) =E(Y2)-E(X)2doncE(Y2) =V(Y) +E(Y)2

3.E(Wn) =1n

D"o`uE?n-1n

Wn?=vetn-1n

2.2 Question confidentielle.

Soitnle nombre de personnes interrog´ees.

1. Montrer que la probabilit´e de "oui" `a l"issue de la proc´edure estq=αp+ (1-α)(1-p)

2. Montrer queFn, la fr´equence observ´ee par l"enquˆeteur, est un estimateur sans biais deqet de

3. Pourα?= 1/2 exprimerpen en fonction deq.

4. En d´eduire queTn=Fn-1+α2α-1est un estimateur sans biais depdont le risque quadratique tend

5. Pournfix´e, quelle valeur attribuer `aαpour que le risque quadratique soit minimum ? Est-ce

2.3 Loi uniforme

Xa une esp´erance dea/2.SoitX

1. SoitTn= 2X

2. SoitT?n= max(X1,...,Xn)

3. SoitT??n=n+1n

4. Quel est le meilleur estimateur deapour de grandes valeurs den?

E(X2i) =?a

La variance deTn= 2X

23n+ 02=a23n

2. La fonction de r´epartitionFdeXest :F(x) =?x

1 six > a

G(t) =F(t)n.

L"esp´erance (qui existe) deT?nest alors?a

0tg(t)dt=?a

0=nn+1a

DoncT?na pour biais?nn+1-1?a=-an

L"esp´erance (qui existe) deT?n2est?a

0t2g(t)dt=?a

0=nn+2a2

Donc la variance deT?nest

V(T?n) =E?

2=n(n+ 1)2(n+ 2)a2

2≂

3. AlorsT??n=n+1n

T?na pour esp´erancen+1n

E(T?n) =adoncT??nest sans biais.

Sa variance estV(T??n) =?n+1n

2V(T?n) =1n(n+2)a2et a pour risque quadratiquer??=1n(n+2)a2≂

2a2ce qui est (pourngrand) deux fois mieux queT?n.

4. Donc pour de grandes valeurs den, T??nest le meilleur estimateur dea.

2.4 Intervalle de confiance pour le param`etre d"une variable de Bernouilli.

Bernouilli de param`etrep.

1. D´eterminer l"esp´erance et la variance de la fr´equence empiriqueF=1100

2. On noteF?la fr´equence empirique centr´ee r´eduite.

F-t⎷p(1-p)10

Solution

1. On aE(F100) =E?1100

100p=p

DoncFnest un estimateur sans biais dep

2. Somme de variables ind´ependantes de mˆeme loiB(1,p) :V(Xi) =p(1-p)?= 0 etE(Xi) =p

Donc avecF=1100

V(F) =1100

F-t?p(1-p)10

Donc P

4. On ´etudie les variations def(p) =p(1-p).

On a alors

N.B. seconde transformation `a connaˆıtre :

2.5 Intervalle de confiance par Bienaym´e-Tchebichev

Soita??0;2⎷3

On cherche un intervalle de confiance de

On noteX

1. Rappeler la moyennemdeXet montrer queV(X) =a212

2. En d´eduire que P

3. D´eterminer enfinnpour que?X

4. Ecrire un programme PASCAL qui

Le programme a affich´e 0,534.

5. Par quelle loi peut-on approcher celle deX

6. D´eterminertpour que P?

Solution