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16 déc 2019 · En posant , résoudre ce système différentiel Indication Corrigé Exercice 2 - Diagonalisable [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d

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(x est la solution de la question 1 ) Exercice 6 Soient a, b des constantes positives, et Xo > 0, Yo > 0 donnés Considérons le

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On cherche alors une solution particulière à l'équation différentielle avec Le système d'équations différentielles peut s'écrire sous la forme matricielle ˙X = AX

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Systèmes différentiels linéaires 3 Equations différentielles linéaires à coeffi cients constants 15 Partie 2 Exercices 17 iii SystMmes différentiels linéaires

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Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles Exercice 1 Donner l' ensemble des solutions des équations différentielles suivantes : 1 y/(x) - 4 y(x)=3

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[006993] Exercice 4 Variation de la constante Résoudre les équations différentielles suivantes en trouvant une solution particulière par la méthode de variation

Équations différentielles

I Equations linéaires scalaires du premier ordre (rappels) 1

I.A Equation homogène

1 I.B Structure de l"ensembleSEdes solutions de (E). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.C Recherche d"une solution particulièret7!xpart(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

I.D Conditions initiales

2 II Systèmes linéaires d"ordre 1, homogènes, à coefficients constants 3

II.A Définitions et notations

3 II.B Structure deSHlorsqueAest diagonalisable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II.C Problème de Cauchy pour(H)lorsqueAest diagonalisable. . . . . . . . . . . . . . . 4 II.D Cas général du système homogène : les deux théorèmes principaux 5

II.E Exemples de systèmes non homogènes

6 IIIEquation linéaire scalaire du second ordre, à coefficients constants 7 III.AThéorie de l"équation homogène (sans second membre) 7 III.BRecherche d"une solution particulière de l"équation complète 8

III.CStructure de l"ensemble des solutions

III.DConditions initiales (problème de Cauchy)

III.E Cas réel

10 IVEquation différentielle linéaire scalaire du second ordre 12 IV.AEnsemble des solutions de l"équation homogène 12 IV.B Ensemble des solutions de l"équation complète 12 IV.CExistence et unicité (problème de Cauchy) 13 IV.DCas où on connaît une solution de l"équation homogène ne s"annulant pas sur I 13 V Notions sur les équations différentielles non linéaires 14 V.A Existence et unicité (problème de Cauchy) 14 V.B Exemple : équation différentielle à variables séparables 14

V.C Equation autonome

15 V.D Exemple d"équation autonome : dynamique d"une population 16 VISystèmes autonomes de deux équations différentielles du premier ordre 17 VIIMéthode d"Euler pour la résolution numérique 17 VII.ACas d"une équation scalaire du premier ordre 17

VII.BProies-prédateurs

18 I Equations linéaires scalaires du premier ordre (rappels) On étudie dans ce paragraphe l"équation différentielle : x

0=a(t)x+b(t) (E)

oùaetbsont des fonctions continues, définies sur un intervalleIdeR, à valeurs dansK=RouC, et oùxest une fonction inconnue de la variablet, de classeC1surI, à valeurs dansK.

I.A Equation homogène

Il s"agit de l"équation :

0=a(t)x(H)Théorème 1.

SoitAune primitive deasurI:

t7!x(t)est solution de (H)() 92Ktel que :8t2I; x(t) =eA(t)1

Démonstration.((=) est clair.

(=)) : on cherchexsous la formet7!x(t) = eA(t)z(t), ce qui est possible car8t2I,eA(t)6= 0. On trouve

immédiatement quet7!z(t)est constante surI.Si on noteSHl"ensemble des solutions de (H), on voit queSHest un espace vectoriel, plus précisément

un sous-espace vectoriel de dimension 1 deC1(I;K).

I.B Structure de l"ensembleSEdes solutions de (E)

Soitxpart:t7!xpart(t)une solution particulière de (E) : t7!x(t)est solution de (E)()t7!x(t)xpart(t)est solution de (H)

On a donc :SE=xpart+SH; il s"agit de la translatée d"une droite vectorielle, c"est-à-dire une droite

affine deC1(I;K). En résumé :Théorème 2. Les solutions de (E) sont les fonctions de la forme : t7!xpart(t) +eA(t)

oùt7!xpart(t)est une solution particulière de (E) ett7!A(t)est une primitive det7!a(t)surI.I.C Recherche d"une solution particulièret7!xpart(t)

Sauf solution évidente ou astuce, on la recherche sous la formet7!(t)eA(t)(variation de la constante). On arrive à :

0(t) =b(t)eA(t)

ce qui permet de déterminer une fonctiont7!(t)par une "simple" primitivation.

I.D Conditions initialesThéorème 3.

On considère l"équation différentielle :

0=a(t)x+b(t) (E)

oùa;b2 C(I;K). Soit(t0;x0)2IK. Il existe une et une seule solutiont7!x(t)deE, définie sur

I, telle que :x(t0) =x0.Démonstration.Soientt7!xpart(t)une solution particulière de (E), ett7!A(t)une primitive det7!a(t)surI. On

sait que les solutions de (E) sont de la forme : t7!x(t) =xpart(t) +eA(t) oùest une constante. La condition initiale permet de déterminer: x

0xpart(t0)

eA(t0)Remarque 1.La donnée d"une équation différentielle et de conditions initiales s"appelleProblème

de Cauchy. Exercice 1Trouver toutes les fonctionszdeRdansCtelles que :z0= (2t+i)z+teit.[ed201]Exercice 2 jxjy0+ (x1)y=x3. Existe-t-il des solutionsx7!y(x)définies surR?[ed202]2 II Systèmes linéaires d"ordre 1, homogènes, à coefficients constants

II.A Définitions et notations

L"objet de ce paragraphe est la résolution des systèmes linéaires du type : (H)8 >>>:x

01(t) =a11x1(t) ++a1nxn(t)

0n(t) =an1x1(t) ++annxn(t)

où lesaijsont des nombres fixés dansK=RouC, ett7!x1(t);:::;t7!xn(t)des fonctions inconnues deRdansK. L"écriture matricielle de la même équation est : (H)X0(t) =AX(t) oùA2 Mn(K)est une matrice fixée, etXest une fonction inconnue deRdansKn.

Il est évident que l"ensembleSHdes solutions de(H)est un espace vectoriel, plus précisément un

sous-espace vectoriel deF(R;Kn)(espace vectoriel des fonctions deRdansKn).

Remarque 2.Nous allons faire la théorie complète du système homogène lorsque la matriceAest

diagonalisable. Nous donnerons deux théorèmes : l"un sur la structure de l"ensemble des solutions,

l"autre sur l"existence et l"unicité de la solution surRdu problème de Cauchy. On admettra que ces

théorèmes restent valables quelle que soit la matriceA2Mn(K).

II.B Structure deSHlorsqueAest diagonalisable

Le système différentiel linéaire à résoudre est : (H)X0=AX oùAest une matrice deMn(K), diagonalisable. Il existe une matricePinversible etD=diag(1;:::;n) telles queD=P1AP. PosonsY=P1X. La fonctionYvérifie le système : Y 0=DY c"est-à-dire : 0 B @y 01(t) y

0n(t)1

C A=0 B

1y1(t)

nyn(t)1 C A Ce système se résout ligne par ligne, et il existenconstantes1;:::;ntelles que :

8i21;:::;n;8t2R; yi(t) =ieit

On a alors :X=PY, autrement dit :

8t2R;0

B @x 1(t) x n(t)1 C A=P0 B 1e1t nent1 C A

Notons'ila fonction deRdansKndéfinie par :

8t2R; 'i(t) =P0

BBBBBBBBB@0

0 e it 0 01 C

CCCCCCCCCA= e

itCi oùCiest laièmecolonne deP. On a donc établi : 3 X

0=AX=) 91;:::;n2Ktels que8t2R; X(t) =1'1(t) ++n'n(t)

Réciproquement, chaque'iest solution de(H); en effet :

8t2R; 'i(t) = eitCiet'0i(t) =ieitCi=AeitCi=A'i(t)

(iCi=ACivient du fait que laièmecolonne dePest vecteur propre deA, associé à la valeur propre

i). L"implication ci-dessus est donc une équivalence : X

0=AX() 91;:::;n2Ktels que8t2R; X(t) =1'1(t) ++n'n(t)

De plus, les'isont linéairement indépendantes dans l"espace vectorielF(R;Kn). En effet, si l"on

suppose1'1++n'n= 0, l"évaluation en0permet de conclure1==n= 0grâce à

l"indépendance linéaire des colonnes deP. La structure deSHest résumée par le théorème suivant :Théorème 4.

Considérons l"équation :

(H)X0=AX oùXest une fonction inconnue deRdansKn, et oùAest une matrice donnée deMn(K), supposée diagonalisable. Soient1;:::;nles valeurs propres deA, etPune matrice dont chaque colonneCi est un vecteur propre deAassocié ài. L"ensembleSHdes solutions deHest unK-espace vectoriel de dimensionn, dont une base est

constituée par les fonctions'i:t7!eitCi, pouri21;:::;n.II.C Problème de Cauchy pour(H)lorsqueAest diagonalisable

En général, en plus de l"équation différentielle vérifiée parX, sont données des conditions initiales,

c"est-à-dire la valeur deX(0). Le théorème suivant montre qu"il y a alors unicité de la solution.Théorème 5.

Considérons l"équation :

(H)X0=AX oùXest une fonction inconnue deRdansKn, et oùAest une matrice donnée deMn(K), supposée diagonalisable.

SoitK=0

B @k 1... k n1 C A2 Mn1(K)(Mn1(K)peut être identifié àKn).

Il existe une et une seule solutiont7!X(t)de(H)telle queX(0) =K.Démonstration.D"après la structure deSH, les solutions de(H)sont de la forme :

X:t7!1e1tC1++nentCn

où lesCisont les colonnes d"une matricePtelle queP1APest diagonale. La condition initialeX(0) =Ks"écrit

1C1++nCn=K, ce qui détermine1;:::;ncar lesCiforment une base deKn. Plus précisément, on a :0

B 1 n1 C

A=P1KExercice 3

Résoudre le système :

8 :x

01= 3x13x23x3x1(0) = 4

02=8x1+ 14x2+ 11x3x2(0) =1

03= 10x116x213x3x3(0) = 4

Indication : les valeurs propres sont0;1et3et on peut prendreP=0 @1 3 0 1 1 1 2 111 A .[ed203] 4

Exercice 4

Résoudre le système :

x01= 2x1x2 x

02= 5x12x2

oùt7!x1(t) x 2(t) est une fonction inconnue deRdansR2, et avec les conditions initiales : x1(0) x 2(0) =k1 k 2 2R2: Indication : la matrice du système est diagonalisable dansCet pas dansR. On trouve donc une

solution générale qui fait intervenir des constantes complexes et des exponentielles complexes. Mais

le calcul des constantes à l"aide des conditions initiales fait bien apparaître une solution à valeurs

dansR2.[ed204]II.D Cas général du système homogène : les deux théorèmes principaux Les deux théorèmes que nous venons d"établir (structure deSHet unicité de la solution du problème de Cauchy) restent valables que la matriceAsoit diagonalisable ou non. Nous admettrons les deux théorèmes suivants :Théorème 6(structure deSH).

Considérons le système différentiel :

(H)X0(t) =AX(t) oùA2 Mn(K)est une matrice fixée, etXest une fonction inconnue deRdansKn. Les solutions de Hforment un espace vectoriel surK, de dimensionn(sous-espace vectoriel de l"espace vectoriel des

fonctions deRdansKn).Plus précisément : il existenfonctionsX1;:::;Xn, linéairement indépendantes dans l"espace vectoriel

des fonctions deRdansKn, qui forment une base deSH. Les solutions deHsont alors les fonctions du type : t7!1X1(t) ++nXn(t) où1;:::;nsont des constantes, éléments deK.Théorème 7(Problème de Cauchy).

Considérons l"équation :

(H)X0=AX oùXest une fonction inconnue deRdansKn, et oùAest une matrice donnée deMn(K).

SoitK=0

B @k 1... k n1 C A2 Mn1(K)(Mn1(K)peut être identifié àKn). Il existe une et une seule solution

t7!X(t)de(H)telle queX(0) =K.Remarque 3.SiAest diagonalisable dansC, il n"y a pas de problème : voir l"exercice4 ci-dessus. Si

Aest triangulaire, le système se résout de proche en proche. Et siAest trigonalisable, on s"y ramène.

Exercice 55

Soienta;b2R; résoudre le système :x01=ax1

02=bx1+ax2

avec les conditions initiales :x1(0) x 2(0) =k1 k 2

2R2.[ed205]Exercice 6

Soienta;b2R; résoudre le système :x01=ax1bx2 x

02=bx1+ax2

avec les conditions initiales :x1(0) x 2(0) =k1 k 2 2R2. Indication :Aest ici une matrice de similitude directe (i.e. une homothétie composée avec une

rotation). On peut se ramener à une équation différentielle linéaire scalaire (complexe) en posant

z=x1+ix2. On trouvez(t) = (k1+ik2)eat(cosbt+isinbt).[ed206]Exercice 7

On pose :A=0

@252 032

1 11 61

A Trouver la fonctionXdeRdansR3qui vérifie :X0=AX; X(0) =0 @2 1 31
Aquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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Équations différentielles

I.A Equation homogène

I.D Conditions initiales

II.A Définitions et notations

II.E Exemples de systèmes non homogènes

III.CStructure de l"ensemble des solutions

III.DConditions initiales (problème de Cauchy)

III.E Cas réel

V.C Equation autonome

VII.BProies-prédateurs

0=a(t)x+b(t) (E)

I.A Equation homogène

Il s"agit de l"équation :

0=a(t)x(H)Théorème 1.

SoitAune primitive deasurI:

Démonstration.((=) est clair.

I.B Structure de l"ensembleSEdes solutions de (E)

0(t) =b(t)eA(t)

I.D Conditions initialesThéorème 3.

On considère l"équation différentielle :

0=a(t)x+b(t) (E)

0xpart(t0)

II.A Définitions et notations

01(t) =a11x1(t) ++a1nxn(t)

0n(t) =an1x1(t) ++annxn(t)

II.B Structure deSHlorsqueAest diagonalisable

0n(t)1

1y1(t)

8i21;:::;n;8t2R; yi(t) =ieit

On a alors :X=PY, autrement dit :

8t2R;0

Notons'ila fonction deRdansKndéfinie par :

8t2R; 'i(t) =P0

BBBBBBBBB@0

CCCCCCCCCA= e

0=AX=) 91;:::;n2Ktels que8t2R; X(t) =1'1(t) ++n'n(t)

8t2R; 'i(t) = eitCiet'0i(t) =ieitCi=AeitCi=A'i(t)

0=AX() 91;:::;n2Ktels que8t2R; X(t) =1'1(t) ++n'n(t)

Considérons l"équation :

Considérons l"équation :

SoitK=0

X:t7!1e1tC1++nentCn

1C1++nCn=K, ce qui détermine1;:::;ncar lesCiforment une base deKn. Plus précisément, on a :0

A=P1KExercice 3

Résoudre le système :

01= 3x13x23x3x1(0) = 4

02=8x1+ 14x2+ 11x3x2(0) =1

03= 10x116x213x3x3(0) = 4

Exercice 4

Résoudre le système :

02= 5x12x2

Considérons le système différentiel :

Considérons l"équation :

SoitK=0

Exercice 55

Soienta;b2R; résoudre le système :x01=ax1

02=bx1+ax2

2R2.[ed205]Exercice 6

02=bx1+ax2

On pose :A=0

1 11 61