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Rappels de cours et exercices
Farid Ammar Khodja
E-mail address:ammar@math.univ-fcomte.fr
IUFM de Franche-Comté.
Table des matières
Partie 1. Rappels de cours1
Chapître 1. Résultats généraux 3
2. Équations linéaires scalaires 6
3. Notions sur les équations non linéaires 7
Chapître 2. Méthodes pratiques de résolution 9
1. Équations du premier ordre 9
2. Systèmes linéaires à coe¢ cients constants 11
Partie 2. Exercices17
iii
Partie 1
Rappels de cours
CHAPîTRE 1
Résultats généraux
Notation1.Mnm(K)est l"ensembles des matrices ànlignes etm colonnes à coe¢ cients dans le corpsK=RouC. M n(K)est l"ensembles des matrices carrées ànlignes etncolonnes
à coe¢ cients dans le corpsK=RouC.
Mnm(K)est isomorphe àL(Km;Kn), l"ensemble des applications linéaires deKmdansKn:On le munit de la norme euclidienne: siA= (aij)2 M nm(K) jAj=0 B B@X 1in
1jmjaijj21
C CA1=2
Atdésigne la matrice transposée deA:
Idésigne un intervalle deR(qui peut être ouvert, fermé, semi-fermé, borné ou non). Ck(I;Rn)est l"ensemble des fonctions continûment dérivables deIdans R n.
Pour toutV= [v1;;vn]t2C(I;Rn);on note
Z b a
V(s)ds="
Zb a v
1(s)ds;;Z
b a v n(s)ds# t
1.1. Existence et unicité.
Définition1.1.SoitA(t)2Mn(C); B(t)2Cnpour toutt2I. On dit que le (1.1)y0(t) =A(t)y(t) +B(t); t2I estlinéaire non homogène. SiB(t) = 02Cnpour toutt2I, on dit que le système estlinéaire homogène. Dans ce paragraphe, on considère leproblème de Cauchycorrespondant (1.2)y0(t) =A(t)y(t) +B(t); t2I y(t0) =y02Cn oùt02I. Théorème1.2.(1) SiA2C(I;Mn(C))etB2C(I;Cn);alors pour tout y
02Cnle système (1.2) admet une unique solution dé...nie surI:1
C"est le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire. 3
4 1. RÉSULTATS GÉNÉRAUX
L"ensembleSdes solutions du système homogèney0(t) =A(t)y(t)est de di- mensionn: Remarque1.3.L"hypothèseA= (aij)2C(I;Mn(C))est équivalente à la continuité surIde chacune des fonctionst7!aij(t): Preuve du Théorème1.2. Faire à l"aide du canevas suivant: Exercice1.4.(1)Lemme de Gronwall. Soit2C([a;b];R+)et c2[a;b]:On suppose qu"il existe deux nombres;0tels que (t)+Z t c (s)ds;8t2[a;b]:
Montrer que
(t)ejtcj;8t2[a;b]:
Que se passe-t-il si= 0?
(2)Unicité de la solution.SoitA2C(I;Mn(C))etB2C(I;Cn): (a)Montrer que siy1ety2sont deux solutions de (1.2) alors8t2I jy1(t)y2(t)j kZ t t
0jy1(s)y2(s)jds
(b)En déduire quey1(t) =y2(t)pour toutt2I: (3)Existence d"une solution par la méthode des approximations suc- tel quet02[a;b]:On donne la suite de fonctions(yn)n0: y n+1(t) =y0+Z t t
0(A(s)yn(s) +B(s) )ds; t2[a;b]; n0
(a)Montrer que pour toutn1 jyn(t)yn1(t)j Mkn1n!jtt0jn;8t2[a;b] k= sup t2[a;b]kA(t)k; M=kjy0j+ sup t2[a;b]jB(t)j En déduire que la suite de fonctions(yn)n0converge uniformément vers une fonctiony2C([a;b];Cn);puis que la suite de fonctions (Ayn)n0converge uniformément vers la fonctionAy: (b)Montrer queyest solution de (3.3) sur l"intervalle[a;b]: (4)On suppose queB(t) = 02Cnpour toutt2I: (a)Montrer que l"ensemble des solutions de (1.1) est un sous espace vec- toriel deC1(I;Cn). (b)Soit(V1;;Vn)une base quelconque deCn. Pour touti= 1;;n, on noteyil"unique solution du problèmey0(t) =A(t)y(t); t2I y(t0) =Vi2Cn Montrer que pour toutt2I, les vecteursy1(t);;yn(t)sont linéaire- ment indépendants (et forment donc une base deCn). (Ind.: sup- poser qu"il existet12Itel quey1(t1);;yn(t1)soient liés et ap- pliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz pour montrer que pour tout t2I, les vecteursy1(t);;yn(t)sont liés.) Conclure.
1. SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS LINÉAIRES 5
Si(y1;;yn)est une base de l"ensemble des solutions de (1.1), on dit qu"elle est unsystème fondamental de solutions de (1.1). En pratique, cela signi...e que toute autre solution s"écrit comme combinaison linéaire de ces solutions parti- culières. On dit que lasolution générale de (1.1)esty=1y1++nynoù lesi2C(i= 1;;n) sont des constantes arbitraires.
1.2. Méthode de variation des constantes.Supposons que l"on connaisse
une base de solutions(y1;;yn)du problèmey0=A(t)yet résolvons le système non homogène (1.1) pourB2C(I;R). On cherche les solutions de (1.1) sous la forme y=1y1++nyn où, cette fois, lesi(i= 1;;n) ne sont plus des nombres réels mais des fonctions: i2C1(I;R)(i= 1;;n):
En écrivant sous forme condenséey=Pn
i=1iyi;on a y 0=nX i=1(0iyi+iy0i) Comme, par hypothèse, pour touti= 1;;n,yivéri...ey0i=Ayi;on en déduit que y 0=nX i=1(0iyi+iAyi) nX i=1
0iyi+Ay:
Par conséquent, pour queysoit solution de (1.1) il faut et il su¢ t que: (1.3) nX i=1
0iyi=B
Notons
(1.4)M(t) = [y1(t);;yn(t)]; t2I la matrice dont les colonnes sont les vecteursy1(t);;yn(t)et (t) = [1(t);;(t)]t; t2I
Le système (1.3) s"écrit avec ces notations
M(t)0(t) =B(t); t2I
et on déduit que
0(t) =M(t)1B(t); t2I
et pourt02I...xé, (t) =Z t t
0M(s)1B(s)ds+C;
oùC2Rnest un vecteur constant quelconque. Cela détermine la solution cherchée.
On a alors
y=M(t)C+M(t)Z t t
0M(s)1B(s)ds
6 1. RÉSULTATS GÉNÉRAUX
On remarquera que, dans cette formule,M(t)Cest la solution générale du système homogène etM(t)Rt t
0M(s)1B(s)est une solution particulière
du système non homogène. Cette méthode de recherche des solutions du problème non homogène con- naissant un système fondamental de solutions du système s"appelleméthode de variation des constantes. Remarque1.5.Notonse1= (1;0;;0);:::; en= (0;;0;1)les vecteurs de la base canonique deRn:SoitM(t) = [y1(t);;yn(t)]; t2Ioùy0i=A(t)yi y i(t0) =ei;t2I AlorsMest l"unique solution matricielle du problème de CauchyM0(t) =A(t)M(t)
M(t0) =Id;t2I
oùIdest l"identité deRn:La solution de (1.2) s"écrit alors y(t) =M(t)y0+Z t t
0M(t)M(s)1B(s)ds:
La matriceR(t;s) =M(t)M(s)1s"appelle matrice résolvante de (1.2).
2. Équations linéaires scalaires
2.1. Équations linéaires du second ordre.Ce sont les équations de la
forme (2.1)y00+a(t)y0+b(t)y=c(t); t2I oùa;betc2C(I;C): En introduisant une nouvelle fonctionx:I!C, on peut ramener cette équa- tion à un système linéaire. Plus précisément, le système (2.2)y0=z z
0=b(t)ya(t)z+c(t); t2I
est équivalent à l"équation (2.1) au sens suivant: toute solutionyde (2.1) donne une solution(y;y0)tde (2.2) et, réciproquement, toute solution(y;z)t= (y;y0)tde (2.2) est telle queyest solution de (2.1). Autrement dit, il y a une correspondance biunivoque entre les solutions de (2.1) et (2.2). Pour les équations linéaires du second ordre, on appelle problème de Cauchy un système de la forme (2.3)y00+a(t)y0+b(t)y=c(t); y(t0) =y0; y0(t0) =y1; t2I oùt02Iety0;y12C.
Comme conséquence du théorème 1.2, on a:
Théorème2.1.Soienta;betc2C(I;C):Pour toutt02Iet tout(y0;y1)2C2 , le problème admet une unique solution de (2.3 )y2C2(I;C): De plus, l"ensemble des solutions de l"équation homogène (2.4)y00+a(t)y0+b(t)y= 0; t2I est un espace vectoriel de dimension2:
3. NOTIONS SUR LES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES 7
2.2. Méthode de variation des constantes.Soit(y1;y2)une base de l"ensemble
des solution de (2.4). Alors toute solutionyde (2.4) s"écrity=1y1+2y2 où1;2sont des constantes. La méthode de variation des constantes, comme dans la section précédente, consiste à chercher les solutions de (2.1) sous la forme y=1(t)y1+2(t)y2où1;22C2(I;C). En utilisant l"équivalence de (2.1) et (2.2), il est facile d"établir que1;2doivent véri...er le système (2.5)01y1+02y2= 0
01y1+02y2=c(t)
La résolution algébrique de ce système permet de déterminer01;02puis, par inté- gration,1;2:
Exemple2.2.Résoudre l"équation:y00y=t
On peut véri...er que(et;et)constitue une base de solutions de l"équation ho- mogène. On cherche donc, pour résoudre l"équation non homogène, deux fonctions
1et2véri...ant le système (2.5), qui s"écrit dans ce cas01et+02et= 0
01et02et=t
On a alors
01=12 tet 02=12 tet et ceci donne1=12 (t+ 1)et+C1et2=12 (t1)et+C2; C1etC2étant des constantes arbitraires. La solution générale est alors: y=C1et+C2ett
3. Notions sur les équations non linéaires
reliant une fonction inconnuey:I= ]a;b[!R;à sa dérivée première: (3.1)F(t;y0(t);y(t)) = 08t2I avecF:IU!RoùUest un ouvert deR2: On appelle solution de (3.1) toute fonctiony2C1(J;R)véri...ant (3.1) surJ oùJIest un intervalle non trivial. On dit qu"une solutiony2C1(J;Rn)estmaximale,si son intervalle de dé...- nition est le plus grand possible contenu dansI: Le plus souvent, les équations du type (3.1) sont étudiées sous leur formerésolue eny0: (3.2)y0=f(t;y); t2I oùf:IR!R. Définition3.2.Soit(t0;y0)2[a;b[R. On appelle problème de Cauchy as- socié à (3.2) le système (3.3)y0=f(t;y);8t2I y(t0) =y0
8 1. RÉSULTATS GÉNÉRAUX
Les résultats d"existence et d"unicité concernent le problème de Cauchy. On dé...nit une classe de fonctionsfpour lesquelles ils peuvent être démontrés. désigne dans la suite un ouvert deR.
Théorème3.3.(Cauchy-Lipschitz) Sif2C1(I
)alors pour tout(t0;y0)2 I ;le problème (3.3) admet une unique solution maximale. Preuve.Faire en exercice à l"aide du canevas suivant... Exercice3.4.(1)Unicité de la solution maximale.Soitf2C1(I et(t0;y0)2I :On suppose qu"il existe un intervalleJIet deux fonctionsy1;y22C1(J;R)solutions surJde (3.3). (a)Soitt1= infft > t0;y1(t)6=y2(t)g. Montrer quey1(t1) =y2(t1): (b)Montrer qu"il existe" >0; k >0tels que:8t2]t1;t1+"[ jy1(t)y2(t)j kZ t t
1jy1(s)y2(s)jds
(c)En déduire quey1(t) =y2(t)pour toutt2J: (2)Existence d"une solution par la méthode des approximations suc- cessives.Soitf2C1(I )et(t0;y0)2I :On donne la suite de fonctions(yn)n0: y n+1(t) =y0+Z t t
0f(s;yn(s))ds; t2[t0;t0+"[\I; n0
(a)Montrer qu"il existe" >0tel que pour toutn0 jyn(t)y0j M";8t2[t0;t0+"[\I
M= sup
(t;y)2Djf(t;y)j En déduire qu"en choisissant"su¢ samment petit, on a pour tout n0 :yn(t)2 pour toutt2[t0;t0+"[: (b)Montrer que pour toutn0 jyn(t)yn1(t)j Mkn1n!(tt0)n;8t2[t0;t0+"[ En déduire que la suite de fonctions(yn)n0converge uniformément vers une fonctiony2C([t0;t0+"[): (c)Montrer queyest solution de (3.3) sur l"intervalle[t0;t0+"[:
CHAPîTRE 2
Méthodes pratiques de résolution
1. Équations du premier ordre
1.1. Équations linéaire du premier ordre.Ce sont les équations de la
forme (1.1)y0(t) =a(t)y(t) +b(t); t2I aveca;b2C(I;R):La solution générale de cette équation est (1.2)y(t) =CeR t t0a(s)ds+Z t t 0eR t a(s)dsb()d intégrant), si on multiplie l"équation (1.1) pareRt t0a(s)dsalors, en remarquant queeRt t0a(s)ds(y0(t)a(t)y(t)) = eRt t0a(s)dsy(t)
0, on obtient
eRt t0a(s)dsy(t) 0=eRt t0a(s)dsb(t) puis (1.2) en intégrant.
1.2. Équations à variables séparées.Ce sont les équations de la forme
y
0(t) =a(t)g(y(t)); t2I
On suppose, pour l"intégrer, que l"on travaille dans des intervallesJtels que g(y(t))6= 0pour toutt2J. On a alors y
0(t)g(y(t))=a(t)
et, en remarquant que Ry0(t)g(y(t))dt=Rdug(u)(en faisant le changement de variable u=y(t)), on obtient, si on poseF(y) =Rdyg(y)
F(y) =Z
a(t)dt qui fournit une expression implicite dey.
Exemple1.1.Résoudre les équations
(i)y0=(t2+ 1)(1y2)ty ; (ii)y0=y(2R) 9
10 2. MÉTHODES PRATIQUES DE RÉSOLUTION
(i)L"équation suppose déjà que l"on travaille dans un intervalleIne contenant pas0et sur lequelyne s"annule pas. On suppose de plus, que dans l"intervalle sur lequel on travaille,y6=1. On a alors yy
01y2=t2+ 1t
En remarquant que
yy
01y2=12
2yy01y2=12
ddt ln1y2 on obtient 12 ln1y2= lnjtj+12 t2+C
D"où
1y2=e2lnjtjt22C
C"est-à-dire
y
21 =e2Cet2t
2
En posantK=e2C, on trouve
y
2= 1 +Ket2t
2 qui donne l"expression de toutes les solutions (y compris les solutions constantes surR:y= 1ety=1). (ii)Comme2R, on ne cherche que les solutions positives si0;et strictement positive si <0sur un intervalle que l"on détermine après résolution. Par ailleurs, le cas= 1donne une équation linéaire qu"on ne considérera pas. On ay0y = 1 Par intégration, on en déduit puisque6= 1que y
11=t+C;
D"où
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[PDF] Exercices corrigés -Systèmes différentiels linéaires - résolution