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Sujet et corrigé de l'examen de systèmes différentiels de Mai 2014 Exercice 1 Soit K > 0 Donner le portrait de phase de l'équation x (t) = x2(t)(1 − Kx(t)), où x(t)  

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On cherche alors une solution particulière à l'équation différentielle avec Le système d'équations différentielles peut s'écrire sous la forme matricielle ˙X = AX  

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y ?+ 3y= 0????y?=-3y y(x) =C1e-3x, C1?R y ?-2y+ 2x= 0 Y ?= 2Y

Y(x) =C1e2x, C1?R.

y ?2y0(x) +C?1(x)e2x?-2y0(x) + 2x= 0????C?1(x)e2x=-2x????C?1(x) =-2xe-2x x-12 e -2x? ?? y

0(x) =C1(x)e2x=x-12

y(x) =Y(x) +y0(x) ????y(x) =C1e2x+x-12 , C1?R.

X=AX????

X=( (x y z) ??A=( (-3 3 2 -4 4 2 -4 3 3)

P(λ) = det(A-λI) =?

?????-3-λ3 2 -4 4-λ2 -4 3 3-λ? = (-3-λ)(4-λ)(3-λ) + 3×2×(-4) + 2×(-4)×3 -4(4-λ)×2-3×2(-3-λ)-(3-λ)× -4×3 =-λ3+ 4λ2-5λ+ 2 A????? ???? ??? ?????? ?????? ???????1? ?? ??? ?????? ?????? ???????2? ?????A??????? ??? ?-3x+ 3y+ 2z=x -4x+ 4y+ 2z=y -4x+ 3y+ 3z=z????? ?-4x+ 3y+ 2z= 0 -4x+ 3y+ 2z= 0 -4x+ 3y+ 2z= 0 ????-4x+ 3y+ 2z= 0 (1 0 2) (0 2 -3) ?-3x+ 3y+ 2z= 2x -4x+ 4y+ 2z= 2y -4x+ 3y+ 3z= 2z????? ?-5x+ 3y+ 2z= 0 -4x+ 2y+ 2z= 0 -4x+ 3y+z= 0 ?x=y z=x ????? ??????? ??E2? ?? ?????( (1 1 1) P=( (1 0 1 0 2 1

2-3 1)

?? ?A=P-1DP?

X=PDP-1X.

X? ?? ? ?

P U=PDU U=DU. ?? ???????U=( (u 1(t) u 2(t) u 3(t)) ?u1=u1 u2=u2 u3= 2u3 ?u

1(t) =C1et

u

2(t) =C2et

u

3(t) =C3e2t

?????X=PU? ?? ??????? ?? ???? ? ?x(t) =C1et+C3e2t y(t) = 2C2et+C3e2t z(t) = 2C1et-3C2et+C3e2tsoit? ?x(t) =C1et+C3e2t y(t) = 2C2et+C3e2t z(t) = (2C1-3C2)et+C3e2tC

1,C2,C3?R.

?x= 2x+y y=-y y(t) =C1e-t x= 2x+C1e-t ??????? ?? ????x0(t) =C2(t)e2t? ????x0(t) = 2C2(t)e2t+C?2(t)e2t= 2x0(t) +C?2(t)e2t?

2x0(t) +C?2(t)e2t= 2x0(t) +C1e-t????C?2(t)e2t=C1e-t

????C?2(t) =C1e-3t C

2(t) =C13

e-3t x

0(t) =C2(t)e2t=C13

e-3te2t=C13 e-t e-t? ?? ? ? ?x(t) =C2e2t+dfracC13e-t y(t) =C1e-tC1,C2?R. ?x= 2x+y+ 3z y=-y+z z=z ????z? z(t) =C1et,C1?R y=-y+C1et y -y(t)0+C2(t)e-t=-y(t)0+C1et????C2(t) =C1e2t e2t? ????y0(t) =C2(t)e-t=dfracC12et? y(t) =C2e-t+dfracC12et y(t)??z(t)? x= 2x+72

C1et+C2e-t

X= 2X???X(t) =C3e2t? ?? ??????? ?????? ??

2x0(t) +C?3(t)e2t= 2x0(t) +72

C1et+C2e-t????C?3(t) =72

C1e-t+C2e-3t

C

3(t) =-72

C1e-t-13

C2e-3t??x0(t) =C3(t)e2t=-72

C1et-13

C2e-t x(t) =-72

C1et-13

C2e-t+C3e2t

????x(t) =-72

C1et-13

C2e-t+C3e2t

y(t) =C12 et+C2e-t z(t) =C1etC

1,C2,C3?R

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