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possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires Correction ▽ Vidéo □ [006985] Exercice 6 Montrer que la courbe paramétrée

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TD I – Corrigé Pour nous aider à tracer la courbe, étudions les tangentes aux extrémités D'après l'exercice 1 1, le vecteur tangent à l'astroïde au point Le point de paramètre t est régulier si et seulement si sin(t)cos(t) = 0 et le vecteur u(t)  

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Courbes paramétrées - Exercices

1 Savoir-faire

1. Prouv erque le pro duitv ectorieln"est pas asso ciatif. 2.

Soien tu,v,w?R3, prouver l"identité suivante :

(u×v)×w= (u·w)v-(v·w)u. 3. Soien tα,β:I→Rndeux courbes paramétrées, prouver que le produit scalaire satisfait la règle de Leibnitz pour la dérivation, i.e. (α(t)·β(t))?=α?(t)·β(t) +α(t)·β?(t). 4. Soien tα,β:I→R3deux courbes paramétrées, prouver que le produit vectoriel satisfait la règle de Leibnitz pour la dérivation, i.e. (α(t)×β(t))?=α?(t)×β(t) +α(t)×β?(t). 5. Prouv erque l"on p euttoujo ursreparamétriser une courb er égulièrepar longueur d"arc. 6. Prouv erles form ulesgénérales qui p ermettentde calculer la courbure et la torsion lorsque la courbe n"est pas paramétrée par longueur d"arc :

κ(s(t)) =|α?(t)×α??(t)||α?(t)|3

τ(s(t)) =(α?(t)×α??(t))·α???(t)|α?(t)×α??(t)|2 7. Soit α: [a,b]→R3une courbe paramétrée telle queα(a) =petα(b) =q. (a)

Prouv erque p ourtout v ecteurv?R3tel que|v|= 1:

(q-p)·v=? b b a|α?(t)|dt (b)

En p osant

v=q-p|p-q|, en déduire que b a|α?(t)|dt. Interpréter géométriquement cette dernière inégalité. 1

8.Une fo nctionaffine L:Rn→Rnest uneisométrie (deRn)si elle préserve la distance

entre toute paire de points deRn(i.e. pour toutu, v?Rnon a?L(u)-L(v)?= ?u-v?). (a) Prouv erqu"une rotation d"angle θdansR2est une isométrie deR2. (b)

Donner un exemple d"isomé triede R3.

(c) So it{e1,...,en}une base deRn. SoitL:Rn→Rnune isométrie telle queL(0) =0 etL(ei) =ei, pour touti= 1,...,n. Prouver queLest la fonction identité. Déduire que la norme et le produit scalaire sont invariants par isométrie sous la condition queL(0) = 0. (d) Soit Mune matricen×nà coefficients réels inversible. On dit queMestorthogonale si et seulement siMt=M-1, oùMtest la transposée de la matriceM. Prouver que siMest une matrice orthogonale, alorsdet(M) =-1oudet(M) = 1. (e) Pro uverqu"une matrice Mest orthogonale si et seulement si les colonnes deM sont des vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux. (f) Prouv erque toute fonc tionaffine définie par L(v) =M·v+a, oùMest une matrice orthogonale eta?Rn, est une isométrie. (g) Prouv erque l"angle θ?[0,π]entre deux vecteurs est invariant par isométrie. (h) Prouv ezque toute isométrie LdeRnest de la formeM·v+a, oùMest une matrice orthogonale eta?Rn. Une telle isométrie sera appeléeisométrie directe sidet(M) = 1. (i) Donner un exemple d"isomé triede R2qui n"est pas une isométrie directe. (j) Pro uverque toute isométrie est bijectiv eet que l"in versed"une isométrie est une isométrie. (k) Prouv erque la longueur d"arc, la cour bureet la torsion son tconserv éespar isomé- trie directe. (l) La torsion est-elle toujours préserv éeda nsle cas d"une isométrie quelconque ? Quand est-il de la courbure et de la longueur d"arc?

2 Exercices de bases

1. T rouverune courb eparamétrée α(t)dont l"image est le cerclex2+y2= 1et telle queα(t)parcourt le cercle dans le sens horlogique etα(0) = (0,1). Donner le vecteur tangent au point(0,1). 2. Soit f:R→Rune fonction dérivable. Trouver une courbe paramétréeαdont l"image est le graphe de la fonctionf. Donner, en fonction def, le vecteur tangent àαau pointα(t0), pourt0?R. 3.

Esquisser les c hampsde v ecteurs

¯X(p) = (p,X(p))dans les cas suivants :

(a)X(x1,x2) = (0,x1)(b)X(x1,x2) = (0,x2)(c)X(x1,x2) = (-x2,x1). 2

4.Calc ulerle gradien t( ?) des fonctions suivantes :

(a)f(x1,x2) =x2(b)f(x1,x2) =x21+x22(c)f(x1,x2) = sin(x1)cos(x2). 5. Esquisser les courb esparamétrées α(t)suivantes et pour chacune d"entre elles tracer les vecteurs vitesse ent=-1,0,1,2: (a)α(t) = (t3,t2)(b)α(t) = (t2-1,t3-t)(c)α(t) = (cos(t),t,sin(t)) (d)α(t) =?1-t21 +t2,2t21 +t2?(e)α(t) = (cos(t),sin(2t)) 6. Esquisser les c hampsde v ecteurset courb esin tégralesdes c hampsde v ecteurss uivants: (a)

¯X(x1,x2) = ((x1,x2),(-2x2,12

x1))(b)¯X(x1,x2) = ((x1,x2),(x2,x1)). 7. Soit α:R→R3définie parα(t) = (cos(t),sin(t),t). Calculer la courbure et la torsion en chaque point de cette courbe. Tracer le plan osculateur àαent=-1,0,1. 8. P ourles deux courb essuiv antes,calculer la courbure. Esquisser leurs images et leurs graphes. (a)α(t) = (cos(t),sin(t))(b)α(t) = (cos(t),-sin(t)). 9. P ourles de uxcourb essuiv antes,calculer la courbure et la torsion. Son t-ellesconstan tes? Selon vous, qu"est-ce que ça signifie par rapport à vos courbes? (a)α(t) = (et,e-t,⎷2t)(b)α(t) = (t,t22 ,t36 10. Soit la courb esuiv anteα(t) = (acos(t),asin(t),bt)oùaetbsont des réels non nuls. (a) D onnerdes conditions sur aetbpour que cette courbe soit paramétrée par longueur d"arc? (b)

Dans ce cas, calcule rla courbure et la torsion.

(c) Dans le cas général où la courb en"est pas paramétrée par longueur d"arc, calculer à l"aide de la formule générale la courbure et la torsion de la courbe. (d) Que llein terprétationp ouvez-vousfaire sur la courb ea vecles v aleursde courbure et de torsion trouvées au point précédent? 11. Déte rminerle dév eloppementde T aylord"ordre 3 des courb essuiv antes:

α(t) = (cos(t),sin(t),t)

β(t) = (t,t22

,t36 Interpréter géométriquement chaque ordre du développement de Taylor de cette courbe. 3

3 Préparation à l"examen

1. Soit α:I→R3, une courbe paramétrée telle que|α(t)|= 1pour toutt?Iet telle queα(t)רα(t)?= 0, pour toutt?I. On pose T(t) = α(t) ;N(t) =¨α(t)|¨α(t)|;B(t) =T(t)×N(t). (a) Prouv erque T,BetNsont des champs de vecteurs orthonormaux le long deα. (b) Prouv erqu"il existe deux fonctions κ, τ:I→Rtelles que :

T=κN;N=-κT+τB;B=-τN.

On appelleformules de Frenetles trois égalités ci-dessus. 2.

Soit α:R→R2définie par :

α(t) =?e-tcos(t),e-tsin(t)?.

(a) Prouv erque quand ttend vers+∞,α(t)tend vers(0,0). (b)

Esquisser la courb eα(t).

(c)

So itt0?R, calculer la limite ci-dessous :

lim t→+∞? t t

0|α?(τ)|dτ.

Que pouvez vous en déduire, concernant la longueur d"arc deα. (d) Re paramétrisercette courb epar longueur d"arc. 3.

Soit α: (-1,+∞)→R2définie par :

α(t) =?3tt

3+ 1,3t2t

3+ 1? (a) Prouv erque p ourt= 0,αest tangente à l"axex. (b) Prouv erque quand ttend vers+∞,α(t)(resp.α?(t)) tend vers(0,0)). (c)

Esquisser la courb eα(t).

4. Asso cierc hacundes dessins ci-dessous a vecla courb eparamétrée don til est l"image.

Les repères ne sont pas orthonormés.

(a)α1: [0,2π]→R2définie parα1(t) = (sin(t),cos(t)). (b)α4: [0,2π]→R2définie parα4(t) = (tsin(t),tcos(t)). (c)α5: [0,6π]→R2définie parα5(t) = (sin(t),tcos(t)). (d)α6: [-2,2]→R2définie parα6(t) = (t2-1,t3-t). (e)α7: [1,15]→R2définie parα7(t) =?sin(t)t ,cos(t)t 4 Figure1 -C1Figure2 -C2Figure3 -C3Figure4 -C4Figure5 -C5Figure6 -C6Figure7 -C7 (f)α8: [-5,5]→R2définie parα8(t) = (t.(t2-4).(t2-16),(t2-1).(t2-9).(t2-25)). (g)α9: [-5,5]→R2définie parα9(t) = (sin(2t).sin(t),sin(2t).cos(t)). 5. Soit α:R→R3la courbe paramétrée définie par :

α(t) =?

⎷2 2 sint,⎷2 2 sint,cost? (a) La courb eαest-elle paramétrée par longueur d"arc? 5 (b)Ca lculerla courbure de cette courb een un p ointα(t). (c) Donne rle trièdre de F renetde cette courb een un p ointα(t). (d)quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23