MM2 Courbes paramétrées Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes Exercice 1 Étudier la courbe paramétrée définie par { x(t) = cos 3t y(t) = sin 2t
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EXERCICES SUR LES COURBES PARAMETREES 1 Etudier les courbes représentatives des fonctions f définies ci-dessous Corrigé des exercices
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possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires Correction ▽ Vidéo □ [006985] Exercice 6 Montrer que la courbe paramétrée
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Exercice 2 1 — (Tracé d'une courbe `a partir de son tableau de variation) Tracer l'allure de la courbe paramétrée M : t ↦→ (x(t),y(t)) dont le tableau de variation
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MM2 Courbes paramétrées Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes Exercice 1 Étudier la courbe paramétrée définie par { x(t) = cos 3t y(t) = sin 2t
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Exercice 1 On consid`ere la courbe plane d'équation paramétrée x(t) = t3 t − 1 1 + t2 Exercice 5 Etudier et tracer les courbes paramétrées définies par a)
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TD I – Corrigé Pour nous aider à tracer la courbe, étudions les tangentes aux extrémités D'après l'exercice 1 1, le vecteur tangent à l'astroïde au point Le point de paramètre t est régulier si et seulement si sin(t)cos(t) = 0 et le vecteur u(t)
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Feuilleno6MM2Courbes param´etr´ees
Courbes param´etr´ees en coordonn´ees cart´esiennesExercice 1.
´Etudier la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) = cos3t y(t) = sin2tExercice 2.
´Etudier la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) = 2cos2t y(t) = sin3tExercice 3.
´Etudier la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) =1-t21 +t2 y(t) =t31 +t2Exercice 4.
´Etudier la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) =1t y(t) =t3+ 2tExercice 5.
´Etudier la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) =et y(t) =t2 On d´eterminera le point d"inflexion ainsi que l"´equation de la tangente en ce point.Courbes cart´esiennes classiques
Exercice 6(Astro¨ıde).Soit la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) = cos3t y(t) = sin3t 1.´Etudier cette courbe.
2. On noteA(t) etB(t) les points d"intersection des axes (Ox) et (Oy) avec tangente au point de
param`etret?= 0[π/2] de la courbe pr´ec´edente. Calculer la distanceA(t)B(t). Exercice 7(Lemniscate de Bernoulli).Soit la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) =sint1 + cos 2t y(t) =sintcost1 + cos 2t. 1 1.´Etudier cette courbe.
2. On introduit les pointsF(1/⎷2,0) etF?(-1/⎷2,0).
Montrer que pour tout pointMde la courbe ci-dessusMF×MF?=12
Exercice 8(Tractrice).Soit la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) =t-tht y(t) =1cht 1.´Etudier cette courbe.
2. On noteAle point d"intersection de l"axe (Ox) avec la tangente au pointMde param`etretde la
courbe ci-dessus. Pr´eciser la nature du mouvement du pointAainsi que la valeur de la distance AM. Exercice 9(Cardo¨ıde).´Etudier la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) = 2cost+ cos2t y(t) = 2sint+ sin2t Exercice 10(Delto¨ıde).´Etudier la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) = 2cost+ cos2t y(t) = 2sint-sin2tProbl`emes relatifs aux tangentes
Exercice 11.Soit la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) = 3t2 y(t) = 2t3 1.´Etudier cette courbe.
2. D´eterminer les droites qui sont `a la fois tangente et normale `a cette courbe.
Exercice 12.Soit la courbe param´etr´ee d´efinie par ?x(t) = 4t3 y(t) = 3t4 1.´Etudier et repr´esenter cette courbe.
2. Former une ´equation de la tangente au point de param`etret?R.
3. D´eterminer un param´etrage du lieu des points d"o`u l"on peut mener deux tangentes `a la courbe
pr´ec´edente orhogonales et ´etudier cette courbe. Exercice 13.Soitt?→M(t) un arc r´egulier tel que en tout pointM(t), la tangente est D t: (t3+ 3t)x-2y=t3D´eterminer un param´etrage en coordonn´ees cart´esiennes de cet arc et le repr´esenter.
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