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EXERCICES SUR LES COURBES PARAMETREES 1 Etudier les courbes représentatives des fonctions f définies ci-dessous Corrigé des exercices

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possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires Correction ▽ Vidéo □ [006985] Exercice 6 Montrer que la courbe paramétrée

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MM2 Courbes paramétrées Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes Exercice 1 Étudier la courbe paramétrée définie par { x(t) = cos 3t y(t) = sin 2t

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Exercice 1 On consid`ere la courbe plane d'équation paramétrée x(t) = t3 t − 1 1 + t2 Exercice 5 Etudier et tracer les courbes paramétrées définies par a)

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Soient α, β : I → Rn deux courbes paramétrées, prouver que le produit lorsque la courbe n'est pas paramétrée par longueur d'arc : 2 Exercices de bases 1

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e Paris Nord { Licence 2 mention Physique-Chimie { Annee 2014-2015 M ethodes Mathematiques pour les Sciences PhysiquesFeuille d'exercices n o2

Courbes param

etreesExercice 2.1.| (Trace d'une courbe a partir de son tableau de variation) Tracer l'allure de la courbe parametreeM:t7!(x(t);y(t)) dont le tableau de variation conjoint est le suivant :t21 0 1 2x

0(t)4 20 + 2 + 44 4

x(t)&1& %1%0 2 2 y(t)% &0& %22y

0(t)9 + 0 30 + 9On tracera notamment les vecteurs vitesse donnes par le tableau.

Exercice 2.2.| (Tracer d'une courbe parametree, etape par etape) On considere la courbe parametree denie part7!M(t) = (x(t);y(t)) avecx(t) = sin(t) et y(t) = sin(4t) pourt2R.

1.On se restreint pour l'instant aux valeurs detdans l'intervalle [0;2

a.Donner le tableau de variation conjoint dex(t) ety(t). b.Tracer les tangentes a la courbes aux pointsM(0),M(4 ),M(2 c.Tracer la portion de courbe obtenue lorsquetdecrit [0;2 ]. On noteCcet ensemble. d.Calculer sin(4t) en fonction de sin(t) pourt2[0;2 ]. En deduire une fonctionfdontC est le graphe.

2.On voudrait tracer le reste de la courbe.

a.CalculerM(t) en fonction deM(t).A quelle operation geometrique correspond cette formule ? En deduire le trace de la courbe correspondant at2[2 ;0]. b.De m^eme, calculerM(t+) en fonction deM(t).A quelle operation geometrique correspond cette formule ? Quelle portion de courbe peut-on maintenant tracer ? c.Finir le trace de la courbe.

3.Calculer lespoints doublesde la courbe, c'est-a-dire trouver les pointsPdu plan pour lesquels

il existe deux tempst0;t12[0;2] tels queM(t0) =M(t1) =P. Verier que le resultat est compatible avec le dessin.Exercice 2.3.| (Une description un peu etrange d'un morceau de cercle) Quand on trace avec une calculatrice la courbe parametree d'equation (t) =1t21 +t2;2t1 +t2 on trouve le cercleCde centre (0;0) et de rayon 1.

1.Expliquer pourquoi l'image de cette courbe parametree

est incluse dans le cercleC.

2.Donner le tableau de variation conjoint de

. Quelle partie du cercleCest decrite ?

Exercice 2.4.| (Traces de courbes)

Tracer les courbes parametreest7!(x(t);y(t)) donnees par les formules suivantes.

1.x(t) = cos(t),y(t) =t2

+ sin(t).Tracer d'abord la portion de courbe pourt2[0;2]. Calculer ensuiteM(t+2) en fonction deM(t), et interpreter geometriquement la formule obtenue. En deduire le reste du trace.

2.x(t) = sin(2t) ,y(t) = sin(3t).S'inspirer de l'exercice 2.2.

3.x(t) =t2,y(t) =t3.

4.x(t) = 2(1cos(t)),y(t) = sin(2t)2sin(t).

5.x(t) =t1 +t4,y(t) =t31 +t4.Comment se comporte la courbe quandttend vers +1ou1?

Avec quelle direction s'approche-t-elle du point limite ?

6.x(t) =1cos(t),y(t) =1sin(t).Exercice 2.5.| (Parametrage de courbes)

Donner un parametrage (avec intervalle de denition) des courbes suivantes :

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