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11 mar 2006 · Exercice 1 2 2 Étudier les points stationnaires de la courbe paramétrée par { x(t) = (1 + cost) sin 2t y(t) = cos 2t Exercice 1 2 3 Étudier les points

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possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires Correction ▽ Vidéo □ [006985] Exercice 6 Montrer que la courbe paramétrée

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TD I – Corrigé Pour nous aider à tracer la courbe, étudions les tangentes aux extrémités D'après l'exercice 1 1, le vecteur tangent à l'astroïde au point Le point de paramètre t est régulier si et seulement si sin(t)cos(t) = 0 et le vecteur u(t)

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Soient α, β : I → Rn deux courbes paramétrées, prouver que le produit lorsque la courbe n'est pas paramétrée par longueur d'arc : 2 Exercices de bases 1

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Math´ematiques - d´epartement MP, S2

11 mars 2006

Table des mati`eres

1 Courbes param´etr´ees 2

1.1´Equation cart´esienne, ´equation param´etrique, ´equation polaire3

1.1.1 La droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.1.2 Le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.1.3 L"ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.1.4 La cyclo¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.1.5 L"astro¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.1.6 Courbes de Lissajous . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.2 Tangente et Points stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.3 Points multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.4 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.5 Tableau de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

2 Solutions 19

1 Courbes param´etr´ees

On se placera toujours dans un rep`ere orthonormal (O,-→i ,-→j).D´efinition1.0.1Soientfetgdeux fonctions d´efinies et continues respec-

tivement sur les intervallesDfetDgdeR. Soittune variable r´eelle. Pourtappartenant `aDf∩ Dg, l"ensemble des pointsMde coordonn´ees (f(t),g(t))d´efinit une courbe dontl"´equation param´etriqueest?x=f(t) y=g(t)

La variabletestle param`etre.

L"ensembleDf∩ Dgestl"ensemble de d´efinition.Exercice1.0.1Quel est l"ensemble de d´efinition de la courbe d´efinie par

?x=⎷t+ 1 y=⎷1-t. Pour tracer la courbe, on cherche l"ensemble des valeurs du param`etre par

lesquels on obtient toute la courbe :-Si les fonctionsfetgsont paires ou impaires, on peut restreindre

l"ensemble de d´efinition pour tracer la courbe, et utiliser ensuite une

sym´etrie pour finir le trac´e-si les fonctionfetgsont p´eriodiques, on peut restreindre l"ensemble de

d´efinition pour tracer la courbe, et utiliser ensuite une sym´etrie pour finir le trac´e

Cet ensemble s"appellel"ensemble d"´etude.Exercice1.0.2Quel est l"ensemble d"´etude de la courbe d´efinie par

?x(t) = sin(2t) y(t) = cos(3t)Exercice1.0.3Quel est l"ensemble d"´etude de la courbe d´efinie par ?x(t) = sin(4t) y(t) = cos(2t)Exercice1.0.4Quel est l"ensemble d"´etude de la courbe d´efinie par ?x(t) =t+1t y(t) =t-1t Exercice1.0.5Quel est l"ensemble d"´etude de la courbe d´efinie par ?x(t) = (cost)3 y(t) = (sint)3Exercice1.0.6Quel est l"ensemble d"´etude de la courbe d´efinie par ?x(t) = cost y(t) =t2 + sint2 1.1 ´Equation cart´esienne, ´equation param´etrique, ´equation polaireD´efinition1.1.1´ Etant donn´ee une fonctionf:R2→R, on appelle courbe d"´equation cart´esiennef(x,y) = 0l"ensemble des pointsM(x,y)dont les

coordonn´ees v´erifient cette ´equationExemple1.1.1Le cercle de centreC(a,b)et de rayon R admet(x-a)2+

(y-b)2=R2comme ´equation cart´esienne.Remarque1.1.1Une ´equation cart´esienne n"est pas forc´ement de la forme

y=f(x). Une courbe dont on a la repr´esentation param`etr´ee ne peut pas forc´ement s"´ecrire sous la forme d"une ´equation cart´esienney=f(x) car `a deux valeurs diff´erentes du param`etre peuvent correspondre plusieurs points de mˆeme abs- cisse. N´eanmoins, en ´eliminant le param`etretentrexety, on peut obtenir une

´equation de la formef(x,y) = 0.D´efinition1.1.2On peut ´egalement rep´erer un pointMdans le plan en

utilisant sa distance `a l"origine Oρ(θ)et l"angleθform´e par les droitesOM etOx. Sescoordonn´ees polairessont alors(θ,ρ(θ)). On peut facilement ramener une ´equation polaire `a une ´equation param`etr´ee x=ρ(θ)cosθ,y=ρ(θ)sinθ. Certaines courbes ont une ´equation simple en coordonn´ees polaires : par exemple, la courbe d´efinie parρ(θ) = 3cos2θ:3

1.1.1 La droite

Soit un vecteur

-→uet un pointA. L"ensemble des pointsMde l"espace tels que--→AM=t-→u, avect?R, est la droite de vecteur directeur-→upassant par A.`A chaque valeur du param`etretcorrespond un point unique de la droite. R´eciproquement, `a chaque pointMde la droite correspond une va- leur unique du param`etret. Si le vecteur-→ua pour coordonn´ees (α,β) et le pointAa pour coordonn´ees (xA,yA) alors la droite est d´efini par?x(t) =αt+xA y(t) =βt+yA Le vecteur-→un"est pas unique, ni le point A donc l"´equation param´etrique

d"une droite n"est pas unique.Proposition1.1.1Soit la droite(D)d"´equationax+by+c= 0.1.Sia?= 0, on peut prendre?x(t) =bt-ca

y(t) =-atcomme param`etrisation.2.Sia= 0etb?= 0, on peut prendre?x(t) =bt y(t) =-at-cb comme pa-

ram`etrisation.Exercice1.1.1Donner une´equation param´etrique et une´equation cart´esienne

de la droiteDpassant parA(1,-2) et dirig´ee par le vecteur-→u(1,2).Exercice1.1.2Donner une´equation param´etrique et une´equation cart´esienne

de la droiteDpassant parA(-3,4) et dirig´ee par le vecteur-→u(0,1).Exercice1.1.3Donner une´equation param´etrique et une´equation cart´esienne

de la droiteDpassant parA(0,1) et dirig´ee par le vecteur-→u(-1,1).Exercice1.1.4Donner une´equation param´etrique et une´equation cart´esienne

de la droiteDpassant parA(2,-1) et ayant comme vecteur normal-→n(3,2).Exercice1.1.5SoitDla droite d"´equation param´etrique?x(t) = 1 + 3t

y(t) =-1 +t.

Donner une ´equation cart´esienne de cette droite.Exercice1.1.6SoitDla droite d"´equation cart´esienne 2x+ 3y+ 1 = 0.

Donner une ´equation param´etrique de cette droite.4

1.1.2 Le cercle

Un cercle est une figure g´eom´etrique plane, constitu´ee des points situ´es `a ´egale distance d"un point nomm´e centre. La valeur de cette distance est le

rayon du cercle. La surface d´elimit´ee par un cercle est un disque.Proposition1.1.2Soienta,betRr´eels. Tout syst`eme d"´equation param`etrique

de la forme ?x=a+Rcost y=b+Rsint,t?[0,2π] repr´esente un cercle de centre(a,b)et de rayon R. Une ´equation cart´esienne du cercle de centre(a,b)et de rayon R est(x- a)2+ (y-b)2=R2.Exercice1.1.7Donner une´equation param`etrique et une´equation cart´esienne

du cercle de rayon 2 et de centre (1,2).D´efinition1.1.3On appellecordeun segment de droite dont les extr´emit´es

se trouvent sur le cercle. Unarcest une portion de cercle d´elimit´ee par deux points. On appellerayonun segment de droite joignant le centre du cercle `a un point du cercle. La longueur d"un rayon est ´evidemment le rayon r du cercle. Undiam`etreest une corde passant par le centre; c"est un segment de droitequotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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