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possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires Correction ▽ Vidéo □ [006985] Exercice 6 Montrer que la courbe paramétrée

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Feuille d"exercices n°6 : Courbes planes

PTSI B Lycée Eiffel

23 novembre 2012

Exercice 1 (*)

Déterminer l"ensemble de définition, puis toutes les asymptotes ou branches infinies des fonctions

suivantes, et tracer une allure de leur courbe représentative (on essaiera d"étudier les variations

également quand c"est possible) :

f1(x) =x2+xlnxx+ 1f2(x) =x32x2+xx

21f3(x) = ln(ex+ex)f4(x) =px+ lnx

f5(x) =r2x+ 1x1f6(x) = ln(x23x+ 2)

Exercice 2 (**)

Étudier le plus complètement possible chacune des fonctions suivantes, en précisant notamment

la convexité et la présence éventuelle de points d"inflexion (on finira bien évidemment l"étude par la

tracé de courbes précises). f:x7!ln(1 +x2)g:x7!e11x+ 2x3 h:x7!xp1x2i:x7!2lnx+ 3x

Courbes paramétrées

Exercice 3 (* à ***)

Pour chacune des fonctions suivantes, tracer le support de l"arc paramétré correspondant, en

indiquant les branches infinies, les points stationnaires, ainsi que les tangentes remarquables, et les

éventuels points doubles :

1.x(t) = sin(2t)

y(t) = cos(3t)(courbe de Lissajous) 2. x(t) =t22t y(t) = 2t33t2 3. 8 :x(t) =3t1 +t3 y(t) =3t21 +t3(folium de Descartes) 4. x(t) =tsin(t) y(t) = 1cos(t) 1 5. 8 >:x(t) =sin(t)1 + cos 2(t) y(t) =sin(t)cos(t)1 + cos 2(t) 6.8 :x(t) = sin(t) y(t) =cos2(t)2cos(t) 7.8 :x(t) = 2t+12t1 y(t) =t212t1

8.x(t) = 3cos()cos(3)

y(t) = 3sin()sin(3)(néphroïde) 9. 8 :x(t) =tt 21
y(t) =t2t1 10.8 :x(t) =tet y(t) =ett

11.x(t) = sin3(t)

y(t) = cos(t)cos4(t)

Exercice 4 (**)

On considère la courbe d"équation cartésienneylnyx =x2. En introduisant le paramètret=yx décrire cette courbe comme support d"un arc paramétré, puis tracer cette courbe.

Exercice 5 (***)

On considère l"astroïde d"équation

x(t) =acos3(t) y(t) =asin3(t), aveca >0.

1. Tracer la courbe correspondante.

2. SoitM(t)le point de la courbe correspondant à la valeurtdu paramètre,A(t)etB(t)les

intersections de la tangente à la courbe au pointM(t)avec les axes. Déterminer les valeurs de tpour lesquelles ces points sont bien définis, et montrer que dans ca cas la distanceA(t)B(t) est constante.

3. Pour un réel2]0;1[, on définit le pointN(t)de façon à avoir!ON(t) =!OA(t)+(1)!OB(t).

quelle est la courbe décrite par les pointsN(t)?

4. Déterminer le lieu des points d"où l"on peut mener deux tangentes à l"astroïde qui soient

orthogonales. Tracer la courbe correspondante et déterminer son intersection avec l"astroïde.

5. En notantP(t)le projeté orthogonal de l"origineOdu repère sur la tangente à l"astroïde au

pointM(t), déterminer le lieu des pointsP(t). 2

Courbes polaires

Exercice 6 (* à ***)

Tracer la courbe représentative de chacune des fonctions polaires suivantes :

1.() = cos(3)

2.() =a(1 + cos())(cardioïde)

3.() = cos2()

4.() = 1 + tan2

5.() = sin() + cos(2)

6.() =sin(3)sin()

7.() =p2cos(2)(lemniscate de Bernoulli)

8.() =14 + cos(3)

9.() =1cos()+1sin(theta)

10.() = 1 +12

11.() = 1 + 2cos(3)

Exercice 7 (**)

SoitA(2;0), déterminer le lieu des projections orthogonales deAsur les tangentes au cercle trigonométrique (et tracer ce lieu).

Exercice 8 (**)

On fait rouler, sans glisser, un cercle de rayon1sur un cercle de rayon1. Déterminer le lieu décrit

par un point fixé sur le cercle extérieur. 3quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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