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08/09/2017 Auteur: Damien Koenig
http://koenig-damien.jimdo.com 1/100Optimisation de la Commande
Code : AC431, Auteur Damien Koenig
Plan de la présentation
Application: recherche du plus court chemin
±Synthèse LQ
Commande LQ, Stabilité et Robustesse
Observateur LQ, Filtre de Kalman
±Synthèse LQG/LTR
±Commande LQ à pondérations fréquentiellesÉtude de cas
8sc cours, 4 sc TD, 3 sc TP
Pondérations 25%TP, 75%Exam
08/09/2017 Auteur: Damien Koenig
http://koenig-damien.jimdo.com 2/100 Dans un processus d'optimisation dynamique, une suite de décisions est optimale si, quels que soient l'état et l'instant considérés sur la trajectoire qui lui est associée, les décisions ultérieures constituent une suite optimale de décisions pour le sous-problème dynamique ayant cet état et cet instant comme conditions initiales. Rappel : pour un système MIMO à n états et m commandes, le gain K solution du problème de commande présente : n*m paramètres dont n*m-n paramètres libresIl y a donc une infinité de solutions.
On propose ici de rechercher les paramètres du gain tels que la ŃRPPMQGH RNPHQXH PLQLPLVH XQ ŃULPqUH pQHUJpPLTXH "08/09/2017 Auteur: Damien Koenig
http://koenig-damien.jimdo.com 3/100Problème 1
08/09/2017 Auteur: Damien Koenig
http://koenig-damien.jimdo.com 4/100Problème 2: Gestion de stock
08/09/2017 Auteur: Damien Koenig
http://koenig-damien.jimdo.com 5/100Critère énergétique
Problème LQ : On considère le système
minimise le critère où VRQP GHV PMPULŃHV GH SRQGpUMPLRQV IL[pHV VHORQ OHV RNÓHŃPLIV VRXOMLPpV " tCxty tButAxtx dttRututQxtx21uJmin
0 TT u fĄ 0QQTW 0RRT!08/09/2017 Auteur: Damien Koenig
http://koenig-damien.jimdo.com 6/100Problème 3: Estimateur optimal de Kalman
Horizon fini : on considère à nouveau le critère08/09/2017 Auteur: Damien Koenig
http://koenig-damien.jimdo.com 7/100 le moins couteux entre les villes A et G, lesquelles sont reliées par différentes villes2 villes, par exemple entre F1 et G, le coût est de 10 euros
A B2 B1 C1 C2 C3 D1 D2 E1 E2 E3 F1 F2 G 3 3 2 1 6 3 2 6 10 5 7 7 8 4 3 5 4 5 3 408/09/2017 Auteur: Damien Koenig
http://koenig-damien.jimdo.com 8/100 Exemple : Recherche du chemin à coût minimal court chemin) qui permet de relier A à G.On notera :
±d(P,Q) la distance entre P et Q
±L(P) la longueur du plus court chemin (coût optimal) entre un point P quelconque du graphe et le point G.±On recherche donc L(A).
A B2 B1 C1 C2 C3 D1 D2 E1 E2 E3 F1 F2 G 3 3 2 1 6 3 2 6 10 5 7 7 8 4 3 5 4 5 3 408/09/2017 Auteur: Damien Koenig
http://koenig-damien.jimdo.com 9/100Solution
Etape 1 :
±de F1, on a L(F1) = d(F1,G) = 10
±de F2, on a L(F2) =d(F2,G) = 3
Etape 2 :
±de E1, on a L(E1) = d(E1,F1)+L(F1)=16
±de E2, on a L(E2) = min{d(E2,F1)+L(F1), d(E2,F2)+L(F2)} = min{4+10, 7+3)}=10±de E3, on a L(E3) = d(E3,F2)+L(F2)=8
Etape 3 :
±de D1, on a L(D1) = min{d(D1,E1)+L(E1), d(D1,E2)+L(E2)} = min{2+16, 5+10)} = 15 ±de D2, on a L(D2) = min{d(D2,E2)+L(E2), d(D2,E3)+L(E3)} = min{4+10, 7+8)} = 14 A B2 B1 C1 C2 C3 D1 D2 E1 E2 E3 F1 F2 G 3 3 2 1 6 3 2 6 10 5 7 7 8 4 3 5 4 5 3 4Etape 1 Etape 2 Etape 3
08/09/2017 Auteur: Damien Koenig
http://koenig-damien.jimdo.com 10/100Etape 4 :
±de C1, on a L(C1) = d(C1,D1)+L(D1) = 3+15 = 18 ±de C2, on a L(C2) = min{d(C2,D1)+L(D1), d(C2,D2)+L(D2)} = min{5+15, 8+14)} = 20 ±de C3, on a L(C3) = d(C3,D2)+L(D2) = 3+14 = 17Etape 5 :
±de B1, on a L(B1) = min{d(B1,C1)+L(C1), d(B1,C2)+L(C2)} = min{2+18, 1+20)} = 20 ±de B2, on a L(B2) = min{d(B2,C2)+L(C2), d(B2,C3)+L(C3)} = min{6+20, 4+17)} = 21Etape 6 :
±de A, on a L(A) = min{d(A,B1)+L(B1), d(A,B2)+L(B2)} = min{3+20, 3+21)}=23 A B2 B1 C1 C2 C3 D1 D2 E1 E2 E3 F1 F2 G 3 3 2 1 6 3 2 6 10 5 7 7 8 4 3 5 4 5 3 4Etape 1 Etape 2 Etape 3 Etape 4 Etape 5 Etape 6
08/09/2017 Auteur: Damien Koenig
http://koenig-damien.jimdo.com 11/100On considère le système à temps discret
kk1kBuAxxĄ Ą L@fff f TT T T T kj jj T jjj T juxPxuRuxQxkkxJuJ2 1 2 1,min 1 0 kk1kBuAxxĄ Ą où le critère à minimiser est : Le problème consiste à déterminer la trajectoire unique reliant les points x(k0) et x(Tf) telle que cette trajectoire est optimale au sens où elle minimise le critère énergétique J sous la contrainte de la dynamique du modèle kk1kBuAxxĄ Ą Remarque : J représente la somme des coûts pour aller de x(k0) à x(Tf), notre travail consiste à trouver u telle que ce coût soit le plus petit possible.08/09/2017 Auteur: Damien Koenig
http://koenig-damien.jimdo.com 12/100Rappel: recherche du minimum de f(x)
Hyp: f de classe C2
Si x* est un minimum local de la fonction f alors
= 0 pour h = 0ĄO MXPRXU GH [
0**Wxfhxf3
2* *2 2 2 1Ox xfhx xfhxfhxfĄw ww w 02 102**2 2 **Ww ww wquotesdbs_dbs6.pdfusesText_11