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Recueil d'exercices de Commande Optimale
Programmation Non Linéaire
Programmation Dynamique
Principe du Maximum
Version 1.0
16 janvier 2009
Michel Llibre - Michel Corrège - Jacques DelmasRef. DCSD-2009_008-NOT-002-1.0
3Table des matières
1 Enoncés5
1.1 Programmation non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 PNL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 PNL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 PNL3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 PNL4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 PNL5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.6 PNL6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.7 PNL7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 PD1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 PD2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 PM1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 PM2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 PM3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.4 PM4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.5 PM5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.6 PM6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.7 PM7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.8 PM8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.9 PM9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.10 PM10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.11 PM11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Solutions17
2.1 Programmation non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 PNL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 PNL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 PNL3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.4 PNL4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.5 PNL5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.6 PNL6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
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Réf. DCSD-2009_008-NOT-002-1.0
4TABLE DES MATIÈRES
2.1.7 PNL7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 PD1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 PD2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1 PM1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.2 PM2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.3 PM3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.4 PM4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.5 PM5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.6 PM6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.7 PM7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.8 PM8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.9 PM9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.10 PM10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.11 PM11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Bibliographie58
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Réf. DCSD-2009_008-NOT-002-1.0
5Chapitre 1
Enoncés
1.1 Programmation non linéaire
1.1.1 PNL1
Soit le processus discret du premier ordre défini par l'équation récurrente: x n+1=xn+un le critère suivant:C=∑N¡1n=0(xn+1
2 u2n)(afin d'atteindrexN=0par valeurs inférieures dexn, tout en minimisant l'énergie dépensée par la
commande). 1±) Ecrire le lagrangien de ce problème.
2±) Ecrire les équations d'optimalité.
3 ψ0 (ou deψ1).
4 ±) Exploiter la condition de transversalité terminale pour établir la relation qui lie 5 ±) Donner la commande optimale en boucle fermée.1.1.2 PNL2
Soit le système discret du deuxième ordre d'équation d'état: {xn+1=xn+yn y n+1=yn+unque l'on veut amener en N étapes d'un état initial quelconquedonné(x0,y0)à l'état final origine
(xN=0,yN=0)en minimisant la fonction coût:C=N¡1∑
n=01 2 u2n1. Vérifier que le système est commandable.
2. Résoudre le problème par la P.N.L.
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61. ENONCÉS
(a) Ecrire le LagrangienL (b) Ecrire les conditions de stationnarité du 1er ordreLun=0,LXn=0(conditions de transver- salité pourn=0etn=N). Pour cela, on notera ϕn+1le paramètre de Lagrange associé à x n+yn¡xn+1=0et ψn+1le paramètre de Lagrange associé àyn+un¡yn+1=0. (c) Vérifier que le système adjoint s'intègre facilement en fonction des inconnuesϕ0etψ0
introduites en remplacement des paramètres de Lagrange associés aux conditions initiales. (d) Eliminerundes équations d'état et les intégrer en fonction des inconnuesϕ0etψ0.
(e) Utiliser les conditions finales pour calculerϕ0etψ0en fonction dex0ety0.
(f) Calculer la commandeu0. En déduire l'expression de la commande en boucle fermée.3. Résoudre le même problème quand l'état terminal est partiellement contraint par la condition
terminale parxN+yN=0. Donner l'expression de la commande en boucle fermée.4. Résoudre le même problème quand l'état initial est partiellement contraint par la condition initiale
parx0+y0=1: (a) avec les conditions terminalesxN=0,yN=0, (b) avec la condition terminalexN+yN=0.Calculer, dans les deux cas, le meilleur point de départ(ˆx0,ˆy0). Que devient l'expression de la
commande optimale en boucle fermée.1.1.3 PNL3
Soit le système discret représenté par l'équation récurrente: x n+1=axn+un aveca6=0eta6=1. Sur l'horizon imposé[0,N]on désire maximiser l'état finalxNà partir del'état initial donnéx0, en consommant toute l'énergiey0disponible à l'instant initial. Plus précisément
on impose la contrainte: 1 2 ∑N¡1n=0u2n=y0(1.1)1. Ecrire le lagrangien et les conditions d'optimalité.
2. Intégrer le système adjoint à rebours
1et déduire la commande optimale en boucle ouverte du
respect de la contrainte (1.1).3. Calculer la valeur théorique duxNatteint avec cette commande optimale.
4. Donner l'expression de la commande optimale en boucle fermée.
1.1.4 PNL4
Soit le systèmeXn+1=[1 1
2 1] X n+(0 1) u nque l'on désire amener en trois étapes deX0= (x0 y 0) donné àX3=(0 0) tout en minimisant le critère: C=1 2 (u20+u21+u22)1. On donne la relation:
N∑
n=1a2(N¡n)=N¡1∑ k=0a2k=1¡a2N1¡a2
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1.1 PROGRAMMATION NON LINÉAIRE7
Trouver les commandes optimales par la programmation non linéaire:1. Ecrire lagrangien, conditions d'optimalités et système adjoint.
2. Intégrer système et adjoint en fonction deX0et
ψ1.
3. Utiliser la condition terminale pour établir le relation qui donne
ψ1en fonction deX0. En déduire
ˆu0en fonction deX0.
4. Donner les expressions deˆu1etˆu2en boucle fermée.
Pour vous éviter trop de calculs numériques, nous vous conseillons d'intégrer le système adjoint
en fonction du vecteur ψ1(inutile de faire intervenir le vecteurψ0). Par ailleurs, on vous donne:A=[1 1
2 1] A¡1=[¡1 1
2¡1]
A¡T=[¡1 2
1¡1]
A2=[3 2
4 3] A3=[7 5
10 7] A¡2T=[3¡4
¡2 3]
et [1 1¡1 5]
5 6 ¡1 6 1 6 1 6 =[1 0 0 1]Remarque: Cet exercice est à rapprocher du même résolu bien plus simplement par la programma-
tion dynamique.1.1.5 PNL5
Soit le processus discret du premier ordre défini par l'équation récurrente: x n+1=axn+un C=1 2N¡1∑
n=0( cx2n+du2n)+x2N 21) Ecrire les conditions d'optimalité du premier ordre.
2) Donner le système d'équations récurrentes (d'ordre 2) dans le sens direct:xn+1et
ψn+1en
fonction dexnetψn.
3) Intégrer ce système dans le cas particuliera=1,c=0,d=1, en fonction du vecteur adjoint
initial inconnu.4) Utiliser la condition finale de transversalité pour calculer ce terme inconnu. En déduire la com-
mande, et en particulier la commande en boucle fermée.1.1.6 PNL6
Soit le processus discret du premier ordre défini par l'équation récurrente: x n+1=2xn+unque l'on désire amener enNétapes d'un état initialx0donné à un état final voisin de zéro, en minimisant
l'énergie de la commande. Pour réaliser cet objectif, on considère le critère à minimiser:
C=1 2 x2N+∑N¡1n=01 2 u2nPage 7/57
Réf. DCSD-2009_008-NOT-002-1.0
81. ENONCÉS
1±) Ecrire le lagrangien de ce problème.
2±) Ecrire les équations d'optimalité.
3±) Intégrer les équations récurrentes du système adjoint et du processus en fonction dex0et de
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