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Travaux dirigés de Commande optimale Mastère professionnelle ISSAT Kairouan 2011-2012 1/5 Correction TD : Commande optimale Correction Ex 1

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1) L"expression du critère et du Hamiltonien sont donnés par :

0 2 2 0

0( ) ( ( ), ) ( ( ), ( ), )

T t x u

J t X T T L X t U t t dt

14243 1442443

2 2 T x x u

H X t U t t t L X t U t t f X t U t t

l l

1442443 1442443

2) Le Hamiltonien est donné par :

2 2

H x u u

3) Les conditions d"optimalités sont :

1 er condition : ( ( ), ( ), )H x f x t u t t u 2

ème

condition donne le système adjoint : 2 H x x l (a) 3

ème

condition de stationnarité : 0 2Hu u l (b) 4

ème

condition :

Le temps final est connu

1 T= et l"état final (1)x est libre d"où 0 dT et 0 dx , la condition (6) impose alors : {

0 00 0

0 T T T

X X t tdX H dT

f y u l f y u Soit ( ) (1) 0Tl l

4) Le système à résoudre est :

2 ( ) 2a xb x l l

1) C"est un problème de C.O linéaire quadratique à état final libre.

2) La représentation d"état du système est : ( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t

avec : 0 1 0 0 0 1 A B Travaux dirigés de Commande optimale Mastère professionnelle

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3) Le critère est de la forme :

0 0

1 1( ) (3) (3) (3)2 2

TT T T

J t X S X X QX U RU dt

avec

11 12 11 12

21 22 21 22

(3) (3)

1, ,

(3) (3)

2q q s sR Q Sq q s s

4) On a :

11 12 12 2

1 2 1 2 1 2

21 22 2

2 4 2 T q q x

X QX x x x x x x

q q x( )( )= = + +( )( )( )( ) soit 11 22

21 12 12 21

2 4 2 1 q q q q q q=

2 11 4

Q est définit positive.

D"autre part on a :

11 12 1

1 2

21 22 2

2 2

1 2(3) (3) (3)

1 1(3) (3) (3) (3) (3)

(3) (3) (3) 2 2

1(3) 2 (3)2

T s s xX S X x xs s x x x( )( ) soit 11 22

12 21(3) 1

(3) 2(3) (3) 0 s s s s= 1 0 (3) 0 2 S est définit positive. 5) La résolution du problème de C.O linéaire quadratique à état final libre nécessite la détermination de l"équation de Ricatti suivant : 1 , 3 T T

S Q A S SA SBR B S t

p avec 11 12

21 22( ) ( )

( ) ( )s t s t S t s t s t( )=( )( ) d"où le système d"équations différentielle couplées suivant : 2 11 12

12 11 12 22

22 12 22

( ) 2 2 ( )( ) 1 ( ) 2 ( ) ( )( ) 4 2 ( ) 2 ( ) s t s ts t s t s t s ts t s t s t? avec les conditions terminales : 11 22

12 21(3) 1

(3) 2(3) (3) 0 s s s s=

6) Le gain de Kalman est alors :

11 121

12 22( ) ( )

( ) ( ) 2 0 1 T s t s t

G t R B S t

s t s t d"où 12 22 ( ) 2 ( ) ( )G t s t s t

A. Partie 1 :

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1) Il s"agit d"un problème de CO. Linéaire quadratique à état final

fixe.

2) On a :

00 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 T T T

H X Q X U RU AX BU

xux u x uquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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1) L"expression du critère et du Hamiltonien sont donnés par :

0( ) ( ( ), ) ( ( ), ( ), )

J t X T T L X t U t t dt

14243 1442443

H X t U t t t L X t U t t f X t U t t

1442443 1442443

2) Le Hamiltonien est donné par :

H x u u

3) Les conditions d"optimalités sont :

ème

ème

ème

Le temps final est connu

0 00 0

X X t tdX H dT

4) Le système à résoudre est :

1) C"est un problème de C.O linéaire quadratique à état final libre.

2) La représentation d"état du système est : ( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t

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3) Le critère est de la forme :

1 1( ) (3) (3) (3)2 2

TT T T

J t X S X X QX U RU dt

11 12 11 12

21 22 21 22

1, ,

2q q s sR Q Sq q s s

4) On a :

11 12 12 2

1 2 1 2 1 2

21 22 2

X QX x x x x x x

21 12 12 21

2 11 4

D"autre part on a :

11 12 1

21 22 2

1 2(3) (3) (3)

1 1(3) (3) (3) (3) (3)

1(3) 2 (3)2

12 21(3) 1

S Q A S SA SBR B S t

21 22( ) ( )

12 11 12 22

22 12 22

12 21(3) 1

6) Le gain de Kalman est alors :

11 121

12 22( ) ( )

G t R B S t

A. Partie 1 :

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1) Il s"agit d"un problème de CO. Linéaire quadratique à état final

2) On a :

H X Q X U RU AX BU