La démonstration fournit une méthode de triangularisation On va donc en donner les Définition 2 1 On appelle réduite de Jordan Jk(λ) la matrice (k, k) : ⎛ ⎢
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[PDF] Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1
La démonstration fournit une méthode de triangularisation On va donc en donner les Définition 2 1 On appelle réduite de Jordan Jk(λ) la matrice (k, k) : ⎛ ⎢
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Pour trigonaliser une matrice, il n'y a pas de méthode globale à connaître a priori Trigonalisation de A en réduite de Jordan : On conserve les mêmes deux
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Théorème 1 (Jordan) Soit u un endomorphisme de E dont le polynôme caractéristique La seconde méthode consiste à appliquer les théorèmes de Cayley-
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et qu'elle est aussi décomposable en blocs de Jordan dans ce même espace 4) Trigonalisation Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme
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6 1 (Théor`eme de Jordan) Soit u ∈ L(E), avec Pu scindé Il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale par blocs
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Partie I : Quelques mots sur la Trigonalisation Partie II : Méthode de la réduite de Jordan T particulièrement simple, dîte de Jordan de la forme suivante : i)
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4 = Ker(u − I) ⊕ Ker(u − 2I)3 Le détail des calculs pour trigonaliser Nous allons suivre la méthode vue en TD : on sait que Ker(u − 2I)
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Avec Cayley-Hamilton puis avec Jordan alors (X)=(X ¡9)(X2 +36) : ni diagonalisation, ni Jordan (dans R; on pourrait dans C) Les trois méthodes donnent :
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Le but de ce texte est de donner une méthode pratique pour réduire une matrice à la Le corollaire 1 permet de trigonaliser les endomorphismes dont on connaît les composition de Jordan, que les matrices ont la même décomposition de
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Triangularisation, jordanisation, exponentielle dematrices
1 Triangularisation
SoientEun espace vectoriel de dimensionnet?un endomorphisme deEde matrice Adans une base donn´ee. On suppose que le polynˆome caract´eristique est scind´e et soit1,...,λnles valeurs propres (non n´ecessairement 2 `a 2 distinctes).
Th´eor`eme 1.1.Il existe une base telle queP´etant la matrice de changement de base la matriceP-1APestr triangulm`ere sup´erieure. P -1AP=(1?...?
0λ2?...?
0...0λi? ?
0...0λn)
La d´emonstration fournit une m´ethode de triangularisation. On va donc en donner les grandes lignes. Elle est bas´ee sur une m´ethode de r´ecurrence. On suppose donc que l"on sait d´emontrer le th´eor`eme `a l"ordren-1. Puis on cherche une valeur propreλet un vecteur propreede l"endomorphisme associ´e (ou ce qui est´equivalent de la matriceA).
On compl`ete en une base deE: (e,v2,...,vn). La matrice de?est dans cette base de la forme : ?λ L 0B?Soit siPest la matrice de passage
P -1AP=?λ L 0B? On applique `a la matriceB(n-1,n-1) l"hypoth`ese de r´ecurrence. C"es-`a-dire que l"on peut trouver des vecteursw2,...,wn(qui forment une base du sous-espace engendr´e par v2,...,vn) tels que si on noteP?la matrice de passage de (v2,...,vn) `a (w2,...,wn) la
matriceP?-1BP?est triangul`ere. Donc ?1 00P?-1?
P -1AP?1 0 0P?? =?1 00P?-1??λ L
0B?? 1 0 0P?? Soit ?1 00P?-1?
P -1AP?1 0 0P?? =?λ LP?0P?-1BP??
qui a les propri´et´es requises. 12 R´eduction de Jordan en dimension2et3
On va donner une autre mani`ere de proc´eder dans des cas particuliers. D"abord : D´efinition 2.1.On appelle r´eduite de JordanJk(λ)la matrice(k,k): ((((λ1 0...0λ1...
...0λ10...0λ)
Une matriceA(2,2), ou un endomorphisme?, dont le polynˆome caract´eristique est scind´e et qui n"est pas diagonalisable a une valeur propre doubleλ. Proposition 2.2.Sous l"hypoth`ese pr´ec´edente il existePtelle queP-1AP=J2(λ). On dira qu"on a jordanis´e la matrice. Une base de Jordanisation est obtenue de la mani`ere suivante. On choisit un vecteurvtelle quew= (?-λId)(v)soit non nul. Alors(w,v) (dans l"ordre) est une telle base. On notera quewest un vecteur propre. On notera que comme on a suppos´eAnon diagonalisable on a ´elimin´e le casA=λI2qui a une valeur propre double. Pour une matriceA(3,3), ou un endomorphisme?, dont le polynˆome caract´eristique est scind´e et qui n"est pas diagonalisable on a deux situations possibles : •Une valeur propre tripleλ. •Une valeur propre doubleλet une valeur propre simpleμ. Proposition 2.3.Sous l"hypoth`ese pr´ec´edente : Dans le premier cas on a toujours(?-λId)3= 0, par Caley Hamilton et par hypoth`ese ??=λId. •Sidim(Eλ) = 1il existePtelle que P -1AP=J3(λ) dim(Eλ) = 1ceci a lieu si et seulement si(?-λId)2?= 0. •Sidim(Eλ) = 2il existePtel que P -1AP=?J2(λ) 00λ?
ceci a lieu si et seulement si(?-λId)2= 0. Pour le premier sous cas une base de Jordanisation est obtenue de la mani`ere suiv- ante. On choisit un vecteurwtel queu= (?-λId)2(w)soit non nul. Alors(u,v,w), avecv= (?-λId)(w), (dans l"ordre) est une telle base. On notera quewest un vecteur propre. Pour le second sous cas une base de Jordanisation est obtenue de la mani`ere suiv- ante. On choisit un vecteurvtel queu= (?-λId)(v)soit non nul. Alorsuest un vecteur propre. On compl`eteuen une base deEλparw,(u,v,w), (dans l"ordre) est la (une) base had oc. 2 •Dans le second cas on peut trouverPtelle que P -1AP=?J2(λ) 00μ?
On cherche un vecteurwpropre associ´e `aμ. Puis on cherche une base de¯Eλ= ker(?-λId)2. Par hypoth`ese ce sous-espace est de dimension2etdim(Eλ) = 1. On cherche un vecteurvde¯Eλtel queu= (?-λId)(v)?= 0,(u,v,w)fournit la base cherch´ee.Voici un exemple, soit la matriceA:
(2-2 2 2 2 21 1 2)
2 est valeur propre triple, le sous espace propre est de dimension 1, (1,1,-1) est vecteur
propre. On cherche un vecteur?wdeR3tel que (A-2I3)2(?w)?= 0. On peut prendre le vecteur u3= (0,0,1). Auquel cas on poseu2= (A-2I3)(u3) = (2,2,0) etu1= (A-2I3)(u2) =
(-4,4,4) et (u1,u2,u3) forment une base de jordanisation. Comme application on peut calculerAnpour tout entiern,n≥0. On poseN=A-2I3. On sait queN3= 0 (Caley Hamilton ou on fait un calcul direct). On ´ecrit A n= (2I3+N)n= 2nI3+n2n-1N+n(n-1)22n-2N2 par application de la formule de Newton, en utilisantN3= 0. CommeN2est ´egale `a (-2 2-4 2-2 42-2 4)
on laisse au lecteur le soin d"´ecrire les formules finales.Voici un autre exemple, soit la matriceA:
(1 0 1 -1 2 11-1 1)
1 est valeur propre double, 2 est valeur propre simple.
Le vecteure3= (1,0,1) est vecteur propre associ´e `a 2. Le vecteure3= (1,1,0) est vecteur propre associ´e `a 2,E1est de dimension 1. On cherche une base du sous-espace¯E2= ker(?-2Id)2. On constate quee1= (0,0,1) ete2= (1,0,1) forment une telel base et que (?-2Id)(e2) =e1.On a la base souhait´ee.
33 Sous-espaces caract´eristiques
Si?est un endomorphisme d"un espace vectorielEde dimensionndont le polynˆome caract´eeistique est scind´e : c ?(X) = (-1)n(X-λ1)α1...(X-λr)αravec lesλi2 `a 2 distincts on d´efinit le sous-espace caract´erisqtique associ´e `aλipar