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Avec Cayley-Hamilton puis avec Jordan alors (X)=(X ¡9)(X2 +36) : ni diagonalisation, ni Jordan (dans R; on pourrait dans C) Les trois méthodes donnent :

La démonstration fournit une méthode de triangularisation On va donc en donner les Définition 2 1 On appelle réduite de Jordan Jk(λ) la matrice (k, k) : ⎛ ⎢

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Pour trigonaliser une matrice, il n'y a pas de méthode globale à connaître a priori Trigonalisation de A en réduite de Jordan : On conserve les mêmes deux

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Théorème 1 (Jordan) Soit u un endomorphisme de E dont le polynôme caractéristique La seconde méthode consiste à appliquer les théorèmes de Cayley-

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et qu'elle est aussi décomposable en blocs de Jordan dans ce même espace 4) Trigonalisation Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme

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6 1 (Théor`eme de Jordan) Soit u ∈ L(E), avec Pu scindé Il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale par blocs

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Partie I : Quelques mots sur la Trigonalisation Partie II : Méthode de la réduite de Jordan T particulièrement simple, dîte de Jordan de la forme suivante : i)

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4 = Ker(u − I) ⊕ Ker(u − 2I)3 Le détail des calculs pour trigonaliser Nous allons suivre la méthode vue en TD : on sait que Ker(u − 2I)