Partie I : Quelques mots sur la Trigonalisation Partie II : Méthode de la réduite de Jordan T particulièrement simple, dîte de Jordan de la forme suivante : i)
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La démonstration fournit une méthode de triangularisation On va donc en donner les Définition 2 1 On appelle réduite de Jordan Jk(λ) la matrice (k, k) : ⎛ ⎢
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Pour trigonaliser une matrice, il n'y a pas de méthode globale à connaître a priori Trigonalisation de A en réduite de Jordan : On conserve les mêmes deux
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Théorème 1 (Jordan) Soit u un endomorphisme de E dont le polynôme caractéristique La seconde méthode consiste à appliquer les théorèmes de Cayley-
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et qu'elle est aussi décomposable en blocs de Jordan dans ce même espace 4) Trigonalisation Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme
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6 1 (Théor`eme de Jordan) Soit u ∈ L(E), avec Pu scindé Il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale par blocs
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Partie I : Quelques mots sur la Trigonalisation Partie II : Méthode de la réduite de Jordan T particulièrement simple, dîte de Jordan de la forme suivante : i)
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4 = Ker(u − I) ⊕ Ker(u − 2I)3 Le détail des calculs pour trigonaliser Nous allons suivre la méthode vue en TD : on sait que Ker(u − 2I)
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Avec Cayley-Hamilton puis avec Jordan alors (X)=(X ¡9)(X2 +36) : ni diagonalisation, ni Jordan (dans R; on pourrait dans C) Les trois méthodes donnent :
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Le but de ce texte est de donner une méthode pratique pour réduire une matrice à la Le corollaire 1 permet de trigonaliser les endomorphismes dont on connaît les composition de Jordan, que les matrices ont la même décomposition de
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Technique de la réduite de Jordan
Partie I : Quelques mots sur la Trigonalisation
Un endomorphisme f d'un espace ǀectoriel E sur un corps K est trigonalisable si ilexiste une base sur laquelle la matrice de f est triangulaire supérieure. Une matrice carrée A de taille n est dîte trigonalisable quand il existe une matrice triangulaire
supérieure T et P inversible telle que : 6L2ି5 ൈ#
H2 Propriété immédiate : Si A est diagonalisable alors Diag ( T ) est formée des valeurs propres de A.CNS de Trigonalisation :
Une matrice carrée à coeffs réels ou complexes est trigonalisable sur Kൌ%. Une matrice à coeffs réels est trigonalisable sur les réels SSI les racines de son polynôme caractéristique sont réelles.Partie II : Méthode de la réduite de Jordan
Toute matrice carrée non diagonalisable est semblable à une matrice triangulaire supérieure T particulièrement simple, dîte de Jordan de la forme suivante :i) Tous les coeffs ne se trouǀant ni sur la diagonale de T, ni sur la diagonale d'au dessus sont nuls.
de multiplicitéiii) Sur la diagonale juste au dessus on a des 0 et des 1. Les 0 se mettent dans les colonnes des valeurs propres. On met des 1 ailleurs.
Exemple en dimension 3 : Une valeur propre simple a et une valeur propre dimension 1.