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TD 1 : Déformations

Exercice 1 :

Figure 1 : disque soumis à glissement simple

Un disque plat est soumis à du glissement simple (Figure 1).

Calculer :

le tenseur gradient de la transformation le tenseur des dilatations de Cauchy-Green la dilatation selon les trois axes X 1, X2 l"angle entre les axes 1 et 2 après transformation le tenseur des déformations de Green-Lagrange la déformation selon les trois axes le tenseur petites déformations -2-1012 -2 -1012 x1 x2 -2-1012 -2 -1012 -2-1012 -2 -1012 x1x1 x2x2 121
2 2 3

3/3xXX

x X x

X=+=+=+=+========

Tenseur gradient de la transformation

Tenseur des dilatations de Cauchy-Green

Dilatation dans une direction

Glissement de deux directions orthogonales

t0p[1]:=0: t0p[2]:=1: t0p[3]:=0: alpha:=Angle(C,t0,t0p); déformation de Green-Lagrange

Hypothèse des petites perturbations

déplacement en fonction des coordonnées tenseur H

Tenseur des petites déformations

Différence entre E et eeee

Exercice 2 : Déformation uniaxiale

Un solide est déformé en déformation uni-axiale. selon X1. : où t correspond au temps et b est une constante arbitraire.

Calculer :

le tenseur gradient de la transformation le tenseur des dilatations de Cauchy-Green la dilatation selon les trois axes X1, X2 l"angle entre les axes 1 et 2 après transformation le tenseur des déformations de Green-Lagrange la déformation selon les trois axes le tenseur gradient des déplacements le tenseur petites déformations

Définition de la transformation

description de la transformation

Tenseur gradient de la transformation

Tenseur des dilatations de Gauchy-Green

Dilatation dans la direction des trois axes

angle entre deux directions déformation de Green-Lagrange déformation dans les trois axes

Hypothèse des petites perturbations

Tenseur des petites déformations

TD2 : CONTRAINTES

Exercice 1 :

Mohr a montré la propriété intéressante suivante pour le tenseur des contraintes, indépendante du comportement du matériau et des conditions aux limites. Considérons l©état de contraintes au point x du volume V. Considérons un état plan de contraintes szz=szx=szy=0). Dans l©espace des contraintes de traction s et des contraintes de cisaillement t, l©état de contrainte au point x décrit un cercle si l©on considère toutes les facettes possibles autour du point x. st 2a t max sxxsyysaa tab

Démontrer que :

Si l©angle entre la facette considérée et l©axe des x est a dans l©espace physique réelle, l©état de contrainte sur cette facette sera représenté par le point faisant un angle 2 a avec l©axe des s dans l©espace (s,t). IIs a aas abt y x dSa a a Isa 2 pa- IIs a aas abt y x dSa a a Isa 2 pa- st 2a t max sxxsyysaa tab

Equilibre suivant eaaaa

sin()sin() cos()cos()0I

IIdsdSds

dS aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaassssssssssss aaaaaaaassss----

Equilibre suivant ebbbb

cos()sin() sin()cos()0I

IIdsdSds

dS abaaabaaabaaabaaaaaaaaaatsstsstsstss aaaaaaaassss++++

Eliminer dS

bbs xxIss= yyIIss= a aas bbs abt abt aas y x ebea bbs xxIss= yyII ss= a aas bbs abt abt aas y x ebea aas xxIss= yyIIss= abtX Z Y1 a aas xxIss= yyIIss= abtX Z Y1 a IIs a aas abt y x dSa a a Isa 2 pa- IIs a aas abt y x dSa a a Isa 2 pa- Exprimer toutes les quantités en fonction de 2aaaa.

1cos(2)1cos(2)

(((())))sin(2)

2IIIababababaaaassssttttssss====----

cos(2)22 cos(2)22 (((())))sin(2)

2IIIababababaaaassssttttssss====----

Dans l"espace (s,t) c"est l"équation d"un cercle de centre (()/2IIIssssssss++++,0) et de rayon ()/2IIIssssssss----.

La contrainte de cisaillement maximale vaut

t max=(smax -smin)/2.

Exercice 2 :

a) Calculer la contrainte moyenne ms, le déviateur des contraintes msIss=-et la contrainte de von Mises s en traction uniaxiale. b) Calculer la contrainte moyenne ms, le déviateur des contraintes msIss=-et la contrainte de von Mises s en traction biaxiale. Chercher la forme des courbes tanconstes=dans le plan des contraintes principales sI et sII. c) Dans l"espace des contraintes principales sI, sII.et sIII chercher la forme de la surface tanconstes=.

Traction uni-axiale

ssssssss 00 000 000 ssss ssss 200

0103001

sssss

3mssssssss====

2

222321132ssssssssssss=++==++==++==++=

Traction bi-axiale

La figure ci-dessus montre un solide en traction biaxiale.

Le tenseur contrainte s"écrit :

00 00 000 I

IIssss

s sssssss La contrainte moyenne et la contrainte est donnée par : 3

IIImssssssssssss++++====

Le déviateur des contraintes est donné par :

0021002300III

III III s ssssssss ssssssss ssssssss----

La contrainte de von Mises est donnée par :

ssssI ssssII ssssII ssssI

2222312232

22IIIIIIssssssssssssssssssss=+-=+-=+-=+-

Surface de von Mises dans l"espace principal

ssssI ssssII ssssIII (111) s ssss ssss sss l lllIIIIII ssss)A( ssss)B( Représentation de la surface de von Mises dans l"état des contraintes principales.

TD3 : MATERIAUX ELASTIQUES

Matériau isotrope élastique linéaire.

L"énergie de déformation d"un matériau élastique linaire s"écrit 1

2ijklvolijklWLeeeeeeee====

où eeee et L sont respectivement le tenseur des déformations et le tenseur des rigidités. a) Montrer que l"énergie de déformation élastique par unité de volume W vol peut se mettre sous la forme suivante : (((())))132volijijmmWsesesesese=+=+=+=+ où s et e sont respectivement le déviateur des contraintes et le tenseur déviateur des déformations. ssssm et eeeem sont respectivement la contrainte moyenne et la déformation moyenne. b) Démontrez les relations suivantes entre les déviateurs des contraintes et des déformations et entre la contrainte moyenne et la déformation moyenne 2 3ijij mm sGe kkkksesesese où (((())))312 Ekkkkuuuu====---- est la compressibilité cubique. c) Ecrire le tenseur du quatrième ordre L ijkl pour un matériau

élastique isotrope linéaire Hooke

d) Démontrez que

G= E/[2(1+nnnn)].

a) Démontrez (((())))13

2volijijmmWsesesesese=+=+=+=+

L"énergie élastique par unité de volume déformé s"écrit : (((())))(((())))11 où dij est le symbole de Kronecker. En explicitant les différents termes, on obtient :

1122330

1 2 volijijmijijmijijmijmij sss

Wseseedsdsdededsdsdededsdsdededsdsded

sij eij s"obtient simplement en sommant sur les indices i et j

111122223333

121213132323

212131313232ijij

sesesese sesese sesese ijijsdddd est la trace du tenseur déviateur des contraintes. Ce terme est nul, en effet :

111122223333

111

121213132323

0

212131313232

0

112233

0 ijij ijijssss sss sss ssssdddddddddddddddd dddddddddddd dddddddddddd d ddd=+++=+++=+++=+++

3mijmijmmsssseeeeededededssssdddd====.

111122223333121213132323

1110

212131313232

0 3 mijmmmij mijmijmm d

L"énergie élastique s"écrit finalement

(((())))13

2volijijmmWsesesesese=+=+=+=+ (c.q.f.d.)

b) Démontrez que 32ijijmmetsGekkkksesesese========

1) (((())))312mkkEkkkkkkkksesesesennnn========----

111111223311

222211223322

3333112233333221212

3221212

3221212

m m m GG GG nnnnnnnn seeeeeeseeeeeeseeeeeeseeeeeennnnnnnn nnnnnnnn seeeeeeseeeeeeseeeeeeseeeeeennnnnnnn

Sommons les trois relations précédentes :

112233112233

2(1)332131212mm

E GG nnnn

112233

31232(1)12

m m G E ssss nnnnsssesssesssesssennnnnnnn (((())))33312mmmEkkkkseeseeseeseennnn

2)2ijijmijijGsessdssdssdssd=-==-==-==-=

Remplaçons e11 par

e+3e kk11 ()en-n+e+=sÛ e+e+en-n+e=skkkk11113322111111

213eG221G2

n-n+ e+=s21313G2eG2 kk1111 n-n+ e n++=s211

321EeG2kk1111

()11113122 m kkEGe k s ens-=+

1111112mGsessssssss=-==-==-==-=

c) Ecrire Lijkl pour un matériau élastique linéaire isotrope

111111223311

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