[PDF] élasticité linéaire isotrope
[PDF] élasticité logarithme
[PDF] elasticité mercatique calcul
[PDF] élasticité prix de l'offre calcul
[PDF] élasticité prix de l'offre definition
[PDF] elasticité prix de la demande monopole
[PDF] électifs sciences po
[PDF] election parents d'élèves 2016 2017
[PDF] election parents d'élèves 2017 2018
[PDF] election parents d'élèves 2018
[PDF] election primaire 2016
[PDF] election representants des parents d'eleves 2017
[PDF] elections au conseil d'administration des eple
[PDF] élections des représentants de parents d'élèves 2017 2018
[PDF] elections des représentants des personnels au conseil d'administration 2017
Olivier Thual
Banque publique d'exercices
pour le cours de mecanique des milieux continus
Evaluation Par Contrat de Conance
INP Toulouse - ENSEEIHT
Department \Hydraulique - Mecanique des Fluides"
Annee 2018-2018, version du 9 septembre 2018
2
Olivier THUAL, 9 septembre 2018
Table des matieres
PARTIELS5
P.1Parallelepipede rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 P.2Tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 P.3Contraintes de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 P.4Cisaillement triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 P.5Cube (partie 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 P.6 Equilibre thermique d'un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
EXAMENS13
E.1 Etirement d'un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 E.2Cube (partie 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 E.3Torsion d'un arbre metallique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 E.4Solide elastique sur un plan incline . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 E.5Solide elastique encastre et comprime . . . . . . . . . . . . . . . . .19 E.6Comportement thermoelastique d'un cylindre . . . . . . . . . . . . .20 E.7Mouvement 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 E.8Mouvement de deformation ane . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 E.9Tourbillon dans une bo^te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 E.10Relation de saut et conservation de la masse . . . . . . . . . . . . .32 E.11 Ecoulements de Poiseuille - Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
E.12Rotation d'axe vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 E.13 Ecoulements cisailles instationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
E.14Perte de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 3
TABLE DES MATI
ERES TABLE DES MATIERESE.15Mouvement gravitaire sur un plan incline . . . . . . . . . . . . . . .44 E.16Relation de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
Preambule
Le present recueil est une banque publique d'exercices associee au polycopie du cours [1-2]. Les exercices de la partie \PARTIELS" portent sur les chapitres 1 a 4 tandis que les exercices de la partie \EXAMENS" portent sur le huit chapitres. Au moins la moitie du sujet de partiel et du sujet d'examen sera constituee d'un ou plusieurs exercices issus de cette banque publique, dans le cadre d'un programme d' \Evaluation Par Contrat de
Conance" [3-4].
References
[1] O. Thual, Mecanique des milieux continus, polycopie de l'ENSEEIHT, 2017-2018. [2] O. Thual, Mecanique des Milieux Continus,
Ed. Ress. Pedago. Ouv. INPT1018
(2012) 48h, http ://pedagotech.inp-toulouse.fr/121018 http://pedagotech.inp-toulouse.fr/121018 [3] A. Antibi, L'evaluation par contrat de conance, pour en nir avec la constante ma- cabre, Actes du colloque du Senat, Actes XVII, Nathan 2006. [4] A. Antibi, Pour en nir avec la constante macabre, ou la n du cauchemar, Nathan
Math'adore 2007.
Evaluation
par Contrat de Conance http://mclcm.free.frIllustration de Stephane Luciani 4
Olivier THUAL, 9 septembre 2018
PARTIELS
P.1Parallelepipede rectangle
On considere un materiau ayant, en l'absence de contraintes, la forme du parallelepipede rectangle
0=fa2IR3: 0aili; i2 f1;2;3ggoul1,l2etl3sont les longueurs de
ses ar^etes. Sa masse volumique0est homogene dans cette conguration de reference. On suppose que la loi rheologique du materiau est regie par la loi de Hooke avec les coecients de Lameet.
Grande deformation
Etant donnee la constante 0< , on considere la grande deformation
X(a) = (a1cosa2sin)e1
+ (a1sin+a2cos)e2 +a3e3 1) Calculer le tense urdes dilatations C(a) associe a cette deformation. 2)
En d eduireles dilatations relativ es
iet les angles de glissements ijpour les directions de la base canonique. 3)
Dessiner l'image
= X(
0) par la deformation.
4) On consid erela repr esentationeul erienneB(E)(x) =(x21+x22) du champB. Exprimer sa representation lagrangienneB(L)(a) et dessiner les isolignes deBdans le plan (a1;a2). 5)
On consid erela c hampde v ecteurV(a) = a1a2(a2e1
+a1e2 ). Calculer F=ZZ
0V(a)ndS
0 ounest la normale sortante du domaine.
Petite rotation
Etant donnee la constante 0< 1 petite devant 1, on considere le champ de deplacement (a) =a2e1 +a1e2 6)
Calculer le tense urdes p etitesd eformations(a).
7)
En d eduireles allongemen tsrelatifs
iet les angles de glissements ijpour les direc- tions de la base canonique. 5 Preparation du PARTIEL Mecanique des milieux continus 8) En notan tH(a) la Jacobienne du champ de deplacement au pointa, montrer que l'on peut ecrireH(a)a=h(a)^apour tout vecteuraouh(a) est un vecteur dont on explicitera les composantes.
Petite deformation de cisaillement
Etant donne la constante 0< 1 petite devant 1, on considere le champ de deplacement (a) = 2a1e2 9)
Calculer le tense urdes p etitesd eformations(a).
10)
En d eduireles allongemen tsrelatifs
iet les angles de glissements ijpour les direc- tions de la base canonique. 11) M ^emequestion p ourle c hampde d eplacement(a) =(a2e1 +a1e2 ). Comparer ce resultat avec celui des questions precedentes et commenter.CorrigeParallelepipede rectangle
Grande deformation
1)On aF11=F22= cos,F12=F21= sin,F33= 1 etFij= 0 sinon. On calcule
C= tFF=I. La matriceFest orthogonale. C'est la rotation d'angleet d'axe e3 .2)On a i= 1 et ij= 0. La rotation laisse invariante les longueurs et les angles.
3)L'image
est la rotation de
0.4)En remplacantx1=a1cosa2sinetx2=
a
1sin+a2cos, on obtientB(L)(a) =(a21+a22). Les isolignes deBsont donc des
cercles concentriques.5)Comme divV=(a21+a22), le theoreme de la divergence entraine queF=RRR
0(a21+a22)d3a=13
l1l2l3(l21+l22).
Petite rotation
6)On a(a) = 0.7)Les longueurs et les angles sont conserves.8)On ah=e3
Petite deformation de cisaillement
9)On a=(e1
e2 +e2 e1 ).10)Les alongements relatifs dans les directions de la base canonique sont nuls. L'angle de glissement des directions 1 et 2 est
12= 212= 2. Les
angles de glissement des autres couples de directions sont nuls.11)On obtient les m^emes resultats pour ce champ de deplacement. Les deux champs de deplacement dierent de la petite rotation(a) =(a2e1 +a1e2 ) etudiee precedemment.P.2Tenseur des contraintes En un pointadonne d'un milieu continu, on mesure les forces de contactT(a;n) exercees sur un element de surface de normalen. On suppose quefe1 ;e2 ;e3 gest un repere ortho- norme et que l'on a obtenu les egalites suivantes :
T(a;e1
) =0(e1 e3
T(a;e2
)e2 =0
T(a;e3
)^e1 =0e2 :(1) 6
Olivier THUAL, 9 septembre 2018
Mecanique des milieux continus Preparation du PARTIEL 1)
Quelle est la dimension de T(a;n) (unites SI).
2) Donner les comp osantesdu tenseur des con traintes(a). 3)
Calculer les v aleurspropres de (a)
4) Calculer ses d irectionspropres. CorrigeTenseur des contraintes
1)La force de contactTet en Newton par m
2, c'est-a-dire en Pascal.2)On trouve que
11=22=33=0,12=21= 0,13=31=
0et23=32= 0.3)L'ensemble
des valeurs propres estf0;(1 + )0;(1 )0g4)L'ensemble des vecteurs propres normes correspondant estfe2 ;e(+) ;e()gavece(+) =1p2 (e1 +e3 ) ete()=1p2 (e1 e3 ).P.3Contraintes de cisaillement On considere la densite surfaciqueT(a;n) des forces exterieures de contacts exercees sur une petite surface de normalenpar le milieu continu situe du c^ote vers lequel pointen.
On suppose que l'on a les relations suivantes :
T(a;n+
) =+n+ ; T(a;n ) =n etT(a;e2 ) = 0(2) avecn+ =1p2 (e1 +e3 ) etn =1p2 (e1 +e3 ) et ou+etsont des constantes. 1) Exprimer le tenseur des con traintes(a) dans le cas+=0et=0. 2) Dessiner dans ce cas les forces surfaciques exerc eessur les faces d'un p etitcub ede centreaet dont les c^otes sont paralleles aux directions de la base canonique. Interpreter ce systeme de contraintes. 3) Re-it erercette question dans le cas o u+= 40et=20.CorrigeContraintes de cisaillement
1)On a11=33=12
(++),13=31=12 (+) etij= 0 sinon. Dans le cas+=0et=0, on a11=33= 0 et13=31=0.2)Les forces surfaciques sont paralleles aux c^otes du cube. Elles exercent un cisaillement. En eet,
T(a;e1
) =e3 etT(a;e3 ) =e1
3)Dans le cas+= 40et=20, on a11=33=0
et12=21= 30. Les contraintes exercees sur les faces de normalese1 ete3 sont respectivementT(a;e1 ) =0(e1 + 3e3 ) etT(a;e3 ) =0(3e1 +e3 ).P.4Cisaillement triple On considere un petit cube de centreadans un milieu continu soumis a des contraintes. On eectue trois experiences (a), (b) et (c) respectivement caracterisees par les forces de contacts suivantes,0etant une constante :(a)T(a)(a;e1 ) = 0T(a)(a;e2 ) =0e3T(a)(a;e3 ) =0e2 (b)T(b)(a;e1 ) =0e3T(b)(a;e2 ) = 0T(b)(a;e3 ) =0e1 (c)T(c)(a;e1 ) =0e2T(c)(a;e2 ) =0e1T(c)(a;e3 ) = 07
Olivier THUAL, 9 septembre 2018
Preparation du PARTIEL Mecanique des milieux continus 1)
Exprimer les trois tenseurs des con traintes
(a)(a), (b)(a) et (c)(a) correspondant aux trois experiences. 2) On eectue les trois exp eriencessim ultanementen sup erposantles trois syst emes de forces. Exprimer les tenseur des contraintes(a) correspondant a cette nouvelle experience. 3) Calculer les forces de con tactexerc eessur une p etitesurface normale ae1 +e2 +e3 pour cette nouvelle experience. 4) Calculer les forces de con tactexerc eessur une p etitesurface de normale nsinest normal ae1 +e2 +e3 .CorrigeCisaillement triple
1)On a
(a)=0 @0 0 0 0 00 0001 A (b)=0 @0 00 0 0 0 00 01 A et (c)=0 @000 00 0
0 0 01
A .2)On a= (a)+ (b)+ (c)=0 @000 000 0001 A .3)Pourm= 1p3 0 @1 1 11 A , on aT(a;m) =(a)m=
20m. C'est un vecteur propre de(a).4)Les valeurs propressde(a) sont les racines
du polyn^omes33s20230= (s+0)2(s20). On retrouve la valeur propre 20 associee a la directionm. Comme(a) est symetrique, le plan perpendiculaire amest un espace propre, donc associee a la racine doubles=0. Sinest dans ce plan, on a
T(a;n) =0n.
P.5Cube (partie 1)
On considere le cube
0=fa2IR3:jaij< l=2; i= 1;2;3gde volumeV0=l3. Sa masse
volumique0est homogene dans la conguration de reference.
Integrales doubles sur la frontiere d'un cube
Etant donnee une constante, on considere le champ de tenseur d'ordre deux
A(a) =a1a2[a1e1
(2a1e1 3a2e2 ) +a2e2 (2a2e2 3a1e1 1)
Calculer div A(a).
2)
Calculer RR
0A(a)ndS
0ounest la normale sortante a la frontiere@
0de 0. 3)
T rouverune v aleurde qui annule la fonctionf() =
RR
0a^A(a)ndS
0
Petite deformation d'un cube
On considere le champ de deplacement
(a) =k1a1e1 + (k0a3+k2a2)e2 + (k0a2+k3a3)e3 ou lesjkijpouri= 0;1;2;3 sont bornes par un parametre1. 4) Calculer la jacobi enneH(a) de ce champ de deplacement. En deduire que l'on est dans le cadre des petites deformations. 8
Olivier THUAL, 9 septembre 2018
Mecanique des milieux continus Preparation du PARTIEL 5) Exprimer le tenseur des p etitesd eformations. En deduire les alongements relatifs i dans les directionsei ainsi que les angles de glissement ijdes couples de directions orthogonales (ei ;ej 6) Exprimer le Jacobien J(a) de la deformationX(a) =a+(a) puis calculer son developpement limite a l'ordre 1 en. Comparer avec tr. 7) Exprimer, al'ordre dominan t,la repr esentationeul erienne(E)(x)0de la variation de masse volumique apres deformation, sous l'hypothese1.
Cube sous contraintes
On suppose que le tenseur des contraintes dans le cube
0s'ecrit(a) =0[e2
(e2 +e3 ) +e3 e2 8)
Calculer les forces de con tactT(a;e2
) exercees par l'exterieur du cube sur la face de normalee2 9) Repr esenter,sur un sc hemarepr esentantle cub e,les forces de con tactexerc eessur chacune des autres faces. 10)
D eterminerle rep ereorthonorm e( n0
;n+ ;n ) dans lequelest diagonal. Representer, sur un schema, les forces de contact exercees sur des surfaces orthogonales aux direc- tions de ce repere.CorrigeCube (partie 1)
Integrales doubles sur la frontiere d'un cube
1)On a divA= 0.2)En appliquant le theoreme de la divergence, on obtientRR
0A(a) ndS 0=RRR
0divAd
3a= 0.3)Comme on a demontre dans le cours queRR
0a^(a)
quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20
[PDF] Exercice 1 :