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R´esistance des mat´eriaux :

´elasticit´e,

m´ethodes ´energ´etiques, m´ethode des ´el´ements finis

Rappels de cours

et exercices avec solutions

Yves Debard

Institut Universitaire de Technologie du Mans

D´epartement G´enie M´ecanique et Productique

20 juin 2011

Table des mati`eres

1

´Elasticit´e

1

1.1 Rappels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 D´eplacements et d´eformations

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Contraintes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 Loi de comportement ou loi constitutive

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.4 Cas particulier : ´etat de contraintes planes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.5 Formules math´ematiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 M´ethode des ´el´ements finis : approche r´esistance des mat´eriaux

25

2.1 Rappels : r´esolution d'un probl`eme stationnaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Partition des degr´es de libert´e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.2 Calcul des d´eplacements inconnus

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.3 Calcul des r´eactions d'appui

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Poutre soumise `a un effort normal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.1 Rappels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.2 Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Treillis plans `a noeuds articul´es

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.1 Rappels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.2 Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4 Poutre soumise `a un moment de torsion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.1 Rappels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.2 Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.5 Flexion des poutres `a plan moyen : mod`ele de Bernoulli

. . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5.1 Rappels : flexion dans le plan{xy}

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5.2 Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3 M´ethodes ´energ´etiques : poutres

83

3.1 Rappels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1.1 Expression de l'´energie de d´eformation en fonction des forces appliqu´ees : for-

mule de Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1.2 Th´eor`eme de r´eciprocit´e de Maxwell-Betti

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1.3 Th´eor`eme de Castigliano

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1.4 Th´eor`eme de M´enabr´ea

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.1.5

´Energie de d´eformation d'une poutre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.1.6 Formules math´ematiques utiles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.2 Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

IIExercices de resistance des materiaux

4 M´ethode des ´el´ements finis

121

4.1 Rappels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.1.1

´Energie de d´eformation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.1.2

´Energie cin´etique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.1.3

´Energie potentielle et ´el´ements finis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.1.4 Modes propres

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.2 Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.2.1 Assemblage

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.2.2 ´El´ement de poutre droite soumis `a un effort normal . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.2.3 Exercice : mise en ´equation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.2.4 Exercice : mise en ´equation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.2.5 Exercice : contraintes et ´energie de d´eformation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.2.6 Exercice : contraintes et ´energie de d´eformation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.2.7 ´El´ement de poutre droite soumis `a un effort normal . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.2.8 Exercice : modes propres

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.2.9

´El´ement fini de torsion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.2.10

´El´ement fini de flexion : mod`ele de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.2.11 Exercice : ´elasticit´e plane

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Chapitre 1

Elasticit´e

1.1 Rappels

Les d´eplacements et les d´eformations sont petits.

1.1.1 D´eplacements et d´eformations

Vecteur d´eplacement :

⃗u=---→M0M ,{u}= u(x,y,z) v(x,y,z) w(x,y,z) (1.1.1)

Tenseur des d´eformations :

xx1 2

γxy1

2

γxz

1 2

γxyεyy1

2

γyz

1 2

γxz1

2

γyzεzz

,[ε]T= [ε](1.1.2) xx=∂u ∂x , εyy=∂v ∂y , εzz=∂w ∂z (1.1.3a) xy=∂u ∂y +∂v ∂x , γxz=∂u ∂z +∂w ∂x , γyz=∂w ∂y +∂v ∂z (1.1.3b) Allongement unitaire enMdans la direction{n}= n x n y n z

ε(M,⃗n) ={n}T[ε(M)]{n}

Glissement enMdans les directions orthogonales⃗naet⃗nb: γ(M,⃗na,⃗nb) = 2{nb}T[ε(M)]{na},{nb}T{na}= 0(1.1.5)

Variation relative de volume :

V(M) = tr[ε] =εxx+εyy+εzz(1.1.6)

2Exercices de resistance des materiaux

1.1.2 Contraintes

Vecteur contrainte sur la facette⃗nenM:

T(M,⃗n) =σn⃗n+⃗τn(1.1.7a)

Soit{n}=

n x n y n z un vecteur unitaire enM. Le vecteur contrainte sur la facette⃗nenMest donn´e par la formule de Cauchy : T x T y T z xxσyxσzx xyσyyσzy xzσyzσzz n x n y n z ,{T}= [σ(M)]{n}(1.1.8) o`u [σ(M)] est le tenseur des contraintes enM.

Le tenseur des contraintes est sym´etrique :

[σ] = [σ]Tsoitσxy=σyx, σxz=σzx, σyz=σzy(1.1.9)

La contrainte normale sur la facette⃗nest :

n={n}T[σ]{n} =n2xσxx+n2yσyy+n2zσzz+ 2nxnyσxy+ 2nxnzσxz+ 2nynzσyz(1.1.10) Soientσ1,σ2etσ3les trois contraintes principales en un pointMd'un solide. Les crit`eres de

Rankine, Von Mises et de Tresca s'´ecrivent :

1 2

1.1.3 Loi de comportement ou loi constitutive

Si le mat´eriau est isotrope, la loi de comportement s'´ecrit : xx=1 E (σxx-ν(σyy+σzz)) yy=1 E (σyy-ν(σxx+σzz)) zz=1 E (σzz-ν(σxx+σyy))(1.1.12a) xy=σxy G , γxz=σxz G , γyz=σyz G , G=E

2(1 +ν)(1.1.12b)

o`uEetνsont respectivement le module de Young et le coefficient de Poisson du mat´eriau.

Elasticite3

1.1.4 Cas particulier : ´etat de contraintes planes

Le tenseur des contraintes se r´eduit `a :

xxσxy0 xyσyy0

0 0 0

(1.1.13) d'o`u l'expression du tenseur des d´eformations : xx1 2

γxy0

1 2

γxyεyy0

0 0εzz

(1.1.14) et de la loi de comportement : xx=E

1-ν2(εxx+ν εyy), σyy=E

1-ν2(εyy+ν εxx)

zz=-ν E (σxx+σyy), σxy=Gγxy, G=E

2(1 +ν)(1.1.15)

Les contraintes et les d´eformations principales sont : 1 2} =σxx+σyy 2 ±1 2 (σxx-σyy)2+ 4σ2xy, σ3= 0(1.1.16) 1 2} =εxx+εyy 2 ±1 2 (εxx-εyy)2+γ2xy, ε3=εzz(1.1.17)

Les directions principales sont :

{n1}= cosθ1 sinθ1

0

,{n2}= -sinθ1 cosθ1

0

,{n3}= 0 0

1

avec tanθ1=σ1-σxx xy(1.1.18) Les crit`eres de Rankine, Von Mises et de Tresca se r´eduisent `a : L'allongement unitaire enMdans la direction{n}= n x n y

0

se r´eduit `a : ε(M,⃗n) ={n}T[ε(M)]{n}=n2xεxx+n2yεyy+nxnyγxy(1.1.20)

4Exercices de resistance des materiaux

1.1.5 Formules math´ematiques

Valeurs et vecteurs propres d'une matrice sym´etrique de dimension deux `a coefficients r´eels :

Consid´erons la matrice sym´etrique [S] :

[S] =[SxxSxy S xySyy] ,([S]T= [S])(1.1.21) Les valeurs propresSn=1,2et les vecteurs propres{n}sont les solutions de l'´equation : [S]{n}=Sn{n},[SxxSxy S xySyy]{ nx n y} =Sn{nx n y} avecn2x+n2y= 1(1.1.22) soit :

Sxx-SnSxy

S xySyy-Sn]{ nx n y} ={0 0} (1.1.23) Cette ´equation n'a de solution autre que la solution trivialenx=ny= 0 que si et seulement si : det [Sxx-SnSxy S xySyy-Sn] = 0(1.1.24) d'o`u l'´equation caract´eristique : S

2n-(Sxx+Syy)|

{z tr[S]=S1+S2S n+SxxSyy-S2xy| {z det[S]=S1S2= 0(1.1.25) et les valeurs propres : S 1 S 2} =Sxx+Syy 2 ±1 2 (Sxx-Syy)2+ 4S2xy(1.1.26)

Les vecteurs propres associ´es sont :

{n1}={cosθ1 sinθ1} ,{n2}={cosθ2 sinθ2} ={-sinθ1 cosθ1} (1.1.27) avec : tanθ1=S1-Sxx S xy,tanθ2=S2-Sxx S xy(1.1.28) Remarque: les deux directions principales sont orthogonales : |θ1-θ2|=π 2 ,tan2θ1= tan2θ2=2Sxy S xx-Syy,tanθ1tanθ2=-1 (1.1.29) D´eterminant d'une matrice carr´ee sym´etrique de dimension 3 : det S

11S12S13

S

21S22S23

S

31S32S33

=S11det[S22S23 S

32S33]

-S21det[S12S13 S

32S33]

+S31det[S12S13 S

22S23]

=S11S22S33-S11S223-S33S212-S22S213+ 2S12S13S23(1.1.30)

Elasticite5

Formules trigonom´etriques :

tanφ=sinφ cosφ,cos(-φ) = cosφ ,sin(-φ) =-sinφ(1.1.31) cos(φ1+φ2) = cos(φ1) cos(φ2)-sin(φ1) sin(φ2)(1.1.32) sin(φ1+φ2) = sinφ1cosφ2+ cosφ1sinφ2(1.1.33) cos

2φ=1 + cos2φ

2 ,sin2φ=1-cos2φ 2 ,sinφcosφ=sin2φ 2 (1.1.34) cos 2 = sinφ(1.1.35) cos45 ◦= sin45◦=1 2 2 2 ,cos60◦=1 2 3 2 (1.1.36) cos120 ◦=-1 2 3 2 (1.1.37)

Sixetysont petits devant l'unit´e :

|x|≪1,|y|≪1(1.1.38a) on a les relations :

1 +x≃1 +x

2 ,1

1 +x≃1-x ,(1 +x)(1 +y)≃1 +x+y(1.1.38b)

sinx≃x ,cosx≃1-x2 2 ,tanx≃x(1.1.38c)

6Exercices de resistance des materiaux

1.2 Exercices

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