En géométrie euclidienne1, le produit vectoriel entre une vecteur A v et B Orientation du produit vectoriel BA vv × à l'aide de la main droite Exemple : θ A
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[PDF] Produit vectoriel - Maths-francefr
En SI, on définit et on utilise le produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace de dimension 3 Par exemple, si A(3, 0, −1), B(0, 2, 2) et C(1, 1, 5), alors −→
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Cet exemple assez simple laisse deviner qu'il existe une relation entre les produits vectoriels et les rotations 2 On consid`ere deux vecteurs −→ V et − →
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Vecteurs : Produit scalaire et produit vectoriel Définition Le produit vectoriel de deux vecteurs et , est un vecteur , noté Exemple d'application en Physique :
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I 3 5 Double produit vectoriel I 3 6 Dérivation Le produit vectoriel de deux vecteurs non nuls représentés par les bipoints OA (Voir exemple flèches) O A B
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Et par antisymétrie : Proposition 1 3 Le produit vectoriel est linéaire `a gauche Exemple 1 1 On peut donc mener des calculs du style (a + b)
[PDF] Sur le produit vectoriel
On étudie les deux approches usuelles du produit vectoriel : la version élémentaire décrite en D'un anneau commutatif, par exemple R 3 Voir l' épreuve sur
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Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique Exemples et projections Proposition Pour tout vecteur (libre) − →u,ona −
[PDF] Chapitre 23 – Le produit vectoriel - Physique
En géométrie euclidienne1, le produit vectoriel entre une vecteur A v et B Orientation du produit vectoriel BA vv × à l'aide de la main droite Exemple : θ A
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Le cas où ils seraient colinéaires est évident aussi (il suffit d'écrire par exemple w = kv pour k ∈ R∗) Supposons alors enfin que ces deux vecteurs ne soient pas
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Chapitre 2.3 - Le produit vectoriel
La définition du produit vectoriel
Le produit vectoriel est une autre opération algébrique entre deux vecteurs dont le résultat
est un vecteur. On utilise l'opérateur "× » pour désigner le produit vectoriel.
En géométrie euclidienne
1, le produit vectoriel entre une vecteur Av et Bv correspond au
produit des modules des composantes perpendiculaires entre les vecteursAv etBv dont
l'orientation du vecteur résultant se doit d'être perpendiculaire àAv et Bv simultanément.
On utilise la fonction sinus et l'angle
θ entre les vecteurs Av et Bv pour obtenir les
composantes perpendiculaires d'un vecteur par rapport à l'autre : )sin(θBABAvvvv=× où BAvv× : Module du produit vectoriel entre le vecteur Av et Bv.Av : Module du vecteur Av (222
zxAAAAy++=v)Bv : Module du vecteur Bv (222
zxBBBBy++=v)θ : Angle entre le vecteurs Av et Bv.
Pour identifier l'orientation du l'orientation du vecteurBAvv×, il
suffit d'identifier un plan formé à l'aide du vecteurAv et Bv et de
trouver un vecteur perpendiculaire à ce plan. Puisqu'il y a deux choix possibles, la règle de la main droite choisie l'orientation pointant dans la direction tel qu'illustré sur le schéma ci-contre.On utilise le vecteur unitaire
nˆ pour désigner l'orientation du produit vectoriel :BABAnvv
vv Ar BrBArr×
Orientation du produit vectoriel
BAvv× à l'aide de la main droite.
Exemple :
Ar BrBArr×
nˆ Ar Br BArr nˆ Ar BrBArr×
nˆ1 L'espace euclidien permet d'évaluer les distances par le théorème de Pythagore (22yxd+=) .
Av BvθsinBv
AvNote de cours rédigée par : Simon Vézina Page 2 En algèbre vectorielle euclidienne dans un plan cartésien xyz en trois dimensions, on
définit le produit vectoriel de la façon suivante : ( )( )( )kBABAjBABAiBABAnBABAxyyxxzzxyzzy vvv vvvv -+---==׈sin oùBAvv× : Produit vectoriel entre Av et Bv.
Av : Module du vecteur Av
Bv: Module du vecteur Bv
θ : Angle entre le vecteurs Av et Bv.
nˆ : Vecteur unitaire orientation
et kAjAiAAzyx vvvv++= kBjBiBBzyx vvvv++= Av Bv x y xA xB yA θ yBBAvv×
zPropriétés du produit vectoriel
Voici quelques propriétés du produit scalaire : ⮚ Distributif ()()CABACBAvvvvvvv×+×=+×)( ⮚ Anticommutatif ABBAvvvv×-=×⮚ Produit unitaire : kjivvv=×, ikjvvv=×, jikvvv=× (sens horaire)
kijvvv-=×, ijkvvv-=×, jkivvv-=× (sens anti-horaire) ⮚ Produit nul : 0=×iivv, 0=×jjvv, 0=×kkvv, 0ˆˆ=×nn Situation A : Le vecteur perpendiculaire. À partir de la définition du produit vectoriel, trouvez un vecteur perpendiculaire au vecteur kjiAvvvv263-+= et au vecteur kjiBvvvv52++-= simultanément.