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Asie juin 2014 - APMEP

Asie 2 juin2014 Title: Asie juin 2014 Author: APMEP Subject: Brevet des collèges Created Date: 12/25/2017 9:27:18 AM

Correction Asie ES - 19 juin 2014 - APMEP

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Corrigé Asie juin 2014 - APMEP

Corrigéd?alauréatS A P M E P Autre méthode numérique : Si M appartient au cercle de diamètre [AB] son af?xes’écrit z =i+2e2i? avec??[0 ; 2?] Ontrouve alorsque

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A. P. M. E. P.

?Corrigé du baccalauréat S Asie 19 juin 2014?

Exercice 14 points

Commun à tous les candidats

Question1 - c.

On peut éliminer rapidement les réponsesa.etd.car les vecteurs directeurs des droites propo- sées ne sont pas colinéaires au vecteur u.

La représentation paramétrique donnée enc.est une droite qui contient le point A pour la valeur

t=-1.

Question2 - c.

?x=1+t y= -3-t z=2-2t

2x+y-z+5=0

qui donne-2

3comme valeur àtet qui conduit au point E.

Question3 - d.

On appelle

-→n(2; 1;-1)un vecteur normal au planP.

On montre successivement que-→n.--→AB=0 et-→n.--→AC=0 ce qui prouve que les plansPet (ABC)

sont parallèles. Or A??Pdonc les plans sont strictement parallèles.

Question4 - a.

On utilise l"expression du produit scalaire :

AB.--→AC=AB×AC×cos?BAC??12=?

8×?21×cos?BAC

donc cos ?BAC≈0,9258 ce qui correspond à 22,2°.

Exercice 26 points

Commun à tous les candidats

On noteXla variable aléatoire donnant le taux d"hématocrite d"un adulte choisi au hasard dans

la population française; cette variable suit la loi normalede moyenneμ=45,5 et d"écart typeσ.

PartieA

On noteZla variable aléatoireZ=X-μ

σ=X-45,5σ.

1. a.D"après le cours, la variable aléatoireZ=X-μ

σsuit la loi normale centrée réduite,

d"espérance 0 et d"écart type 1. b.D"après le cours, si la variable aléatoireXsuit la loi normale d"espéranceμ,

P(X?μ)=0,5.

Cela résulte de la symétrie de la courbe de Gauss autour de la droite d"équationx=μ.

2.En prenantσ=3,8,μ-2σ=45,5-2×3,8=37,9 etμ+2σ=45,5+2×3,8=53,1.

Or on sait que si la variable aléatoireXsuit la loi normale de paramètresμetσ: P(μ-2σ?X?μ+2σ)≈0,95 doncP(37,9?X?53,1)≈0,95.

PartieB

On définit les évènements :

M:"l"individu est porteur de la maladie V»;

S:"l"individu a plus de 50 ans»;

H:"l"individu a un taux d"hématocrite supérieur àα».

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

1. a.On sait que 90% des porteurs de la maladie V ont plus de 50 ans doncPM(S)=0,9.

b.La probabilité qu"un individu ayant plus de 50 ans soit porteur de la maladie V est P

S(M)=P(M∩S)

P(S). On sait que 30% de la population a plus de 50 ans, doncP(S)=0,3.

On déduit :PS(M)=P(M∩S)

P(S)=0,0090,3=0,03.

2. a.P(H)=P(X>α)=1-P(X?α)=1-0,995=0,005

b.L"individu choisi au hasard a un taux d"hématocrite inférieur ou égal àα(évènement

H); la probabilité qu"il soit porteur de la maladie V estPH(M). P

H(M)=P(M∩

H) P(H) Onsait que 60% desindividus ayantun taux d"hématocrite supérieur àαsont porteurs de la maladie V, doncPH(M)=0,6. On en déduit queP(H∩M)=P(H)×PH(M)=

0,05×0,6=0,003.

D"après la formule des probabilités totales,P(M)=P(M∩H)+P(M∩

H) donc

P(M∩

H)=P(M)-P(M∩H)=0,01-0,003=0,007.

H(M)=P(M∩

P(H)=0,0070,995≈0,007.

La probabilité qu"un individu soir porteur de la maladie sachant qu"il a un taux d"hé- matocrite inférieur ou égale àαest de 0,007.

PartieC

1.L"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquencepde la maladie V

dans un échantillon de taillenest :I=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n? p=P(M)=0,01 etn=1000 donc : I=?

0,01-1,96?

0,01×0,99?1000; 0,01+1,96?

0,01×0,99?1000?

≈[0,003; 0,017]

2.Dans un échantillon aléatoire de 1000 personnes possédant le gène, on a trouvé 14 per-

sonnes porteuses de la maladie V doncf=14

1000=0,014.

l"échantillon étudié peut être considéré comme "normal»; on peut conclure que le gène

ne semble pas avoir d"influence sur la maladie.

Exercice 35 points

Commun à tous les candidats

Soitgla fonction définie sur[-1; 1]parg(x)=1

2a(eax+e-ax)oùaest un réel strictement

positif. On définit sur[0 ;+∞[la fonctionfparf(x)=(x-1)e2x-1-x.

1.Lafonctionfestdérivablesur[0;+∞[comme somme, produitetcomposée defonctions

dérivables :f?(x)=1×e2x+(x-1)×2e2x-1=(2x-1)e2x-1 f ?(0)=-e0-1=-2 lim x→+∞(2x-1)= +∞ lim x→+∞ex=+∞=?limx→+∞e2x= +∞? par produit=?limx→+∞(2x-1)e2x=+∞ =?limx→+∞f?(x)=+∞

3.• Pour toutx, e2x>0 donc la fonctionf??est strictement positive sur]0;+∞[, et donc

la fonctionf?est strictement croissante sur[0;+∞[.

Asie219 juin 2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

• La fonctionf?est continue[0;+∞[. •f?(0)=-2<0 • lim x→+∞f?(x)=+∞ tionf?(x)=0 admet une solution unique dans l"intervalle[0;+∞[; on appellex0cette solution. On aurait pu également établir le tableau de variations de lafonction f?.

4. a.D"après la question précédente :

•f?(x)<0 sur[0;x0[doncfest strictement décroissante sur[0;x0]; •f?(x)>0 sur]x0;+∞[doncfest strictement croissante sur[x0;+∞[. f(0)=-1×e0-1=-2<0 fest décroissante sur[0;x0]? =?f(x)<0 pour toutx?[0;x0]=?f(x0)<0 b.f(2)=1×e4-1-2=e4-3≈51,6>0 • La fonctionfest strictement croissante sur[x0;+∞[. • La fonctionfest continue sur[x0;+∞[. •f(x0)<0 •f(2)=e4-3>0 donc, d"après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut dire que l"équationf(x)=0 admet une solution unique dans l"intervalle[x0; 2]. f(2)>0 etfest strictement croissante sur[2;+∞[doncl"équationf(x)=0 n"a pas de solution dans l"intervalle[2;+∞[. Commef(x)<0 sur[0;x0], l"équationf(x)=0 n"a pas de solution dans[0;x0]. On peut donc dire que l"équationf(x)=0 admet une unique solution dans l"intervallequotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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A. P. M. E. P.

Exercice 14 points

Commun à tous les candidats

Question1 - c.

Question2 - c.

2x+y-z+5=0

3comme valeur àtet qui conduit au point E.

Question3 - d.

On appelle

Question4 - a.

On utilise l"expression du produit scalaire :

AB.--→AC=AB×AC×cos?BAC??12=?

8×?21×cos?BAC

Exercice 26 points

Commun à tous les candidats

PartieA

On noteZla variable aléatoireZ=X-μ

σ=X-45,5σ.

1. a.D"après le cours, la variable aléatoireZ=X-μ

σsuit la loi normale centrée réduite,

P(X?μ)=0,5.

2.En prenantσ=3,8,μ-2σ=45,5-2×3,8=37,9 etμ+2σ=45,5+2×3,8=53,1.

PartieB

On définit les évènements :

M:"l"individu est porteur de la maladie V»;

S:"l"individu a plus de 50 ans»;

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

1. a.On sait que 90% des porteurs de la maladie V ont plus de 50 ans doncPM(S)=0,9.

S(M)=P(M∩S)

On déduit :PS(M)=P(M∩S)

P(S)=0,0090,3=0,03.

2. a.P(H)=P(X>α)=1-P(X?α)=1-0,995=0,005

H(M)=P(M∩

0,05×0,6=0,003.

H) donc

P(M∩

H)=P(M)-P(M∩H)=0,01-0,003=0,007.

H(M)=P(M∩

P(H)=0,0070,995≈0,007.

PartieC

1.L"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquencepde la maladie V

0,01-1,96?

0,01×0,99?1000; 0,01+1,96?

0,01×0,99?1000?

2.Dans un échantillon aléatoire de 1000 personnes possédant le gène, on a trouvé 14 per-

1000=0,014.

Exercice 35 points

Commun à tous les candidats

Soitgla fonction définie sur[-1; 1]parg(x)=1

2a(eax+e-ax)oùaest un réel strictement

1.Lafonctionfestdérivablesur[0;+∞[comme somme, produitetcomposée defonctions

3.• Pour toutx, e2x>0 donc la fonctionf??est strictement positive sur]0;+∞[, et donc

Asie219 juin 2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

4. a.D"après la question précédente :