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On appelle cosinus hyperbolique la fonction : ch : R −→ On appelle tangente hyperbolique la fonction : th : On appelle argsh la fonction réciproque de sh

I Les fonctions hyperboliques directes A) Définition B) Etude de la fonction sh ( sinus hyperbolique) On appelle Argsh la réciproque de cette bijection Argsh

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Argsh : R → R,x ↦→ Argshx , l'application réciproque de la fonction sinus hyperbolique B 1 2 Remarque Pour tout x ∈ R, on a sh(Argshx) = x et Argsh(shx ) = x

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argch(y) = ln(y + √ y2 - 1) 5 On sait que la fonction sh est continue et strictement croissante sur R, telle que lim x→±∞

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Vous connaissez déjà des fonctions classiques : exp, ln, cos, sin, tan Dans ce de nouvelles fonctions : ch, sh, th, arccos, arcsin, arctan, Argch, Argsh, Argth

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On appelle Argsh = sh 1 sa bijection réciproque Propriété 2 4 4 La fonction Argsh vérifie les propriétés suivantes : • Argsh : R R est strictement croissante et

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La fonction ch est continue, strictement croissante de R+ dans [1, +1[ C'est donc une bijection pour ces ensembles On appelle argch la fonction réciproque de ch

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Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables en tout x0 ∈ R et cos (x0) Proposition 6 6 1 La fonction ArgSh est strictement croissante sur R, continue sur R,

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Cette fonction est continue et définie sur \ et sa dérivée s'écrit : ( ) ( ) Argsh x x = + 2 La fonction argcosinus hyperbolique ( ) ( ) ( ) 2 1 y Argch x Ln x

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Argsh et Argch La fonction sh : R → R est une bijection, sa réciproque est Argsh : R → R La fonction ch : R+ → [1;+∞[ est une bijection, sa réciproque est