[PDF] [PDF] FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4 ( )

[PDF] Chapitre 13 :Fonctions hyperboliques

I Les fonctions hyperboliques directes A) Définition B) Etude de la fonction sh ( sinus hyperbolique) On appelle Argsh la réciproque de cette bijection Argsh 

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Argsh : R → R,x ↦→ Argshx , l'application réciproque de la fonction sinus hyperbolique B 1 2 Remarque Pour tout x ∈ R, on a sh(Argshx) = x et Argsh(shx ) = x

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argch(y) = ln(y + √ y2 - 1) 5 On sait que la fonction sh est continue et strictement croissante sur R, telle que lim x→±∞

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Vous connaissez déjà des fonctions classiques : exp, ln, cos, sin, tan Dans ce de nouvelles fonctions : ch, sh, th, arccos, arcsin, arctan, Argch, Argsh, Argth

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On appelle Argsh = sh 1 sa bijection réciproque Propriété 2 4 4 La fonction Argsh vérifie les propriétés suivantes : • Argsh : R R est strictement croissante et  

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La fonction ch est continue, strictement croissante de R+ dans [1, +1[ C'est donc une bijection pour ces ensembles On appelle argch la fonction réciproque de ch  

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Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables en tout x0 ∈ R et cos (x0) Proposition 6 6 1 La fonction ArgSh est strictement croissante sur R, continue sur R, 

[PDF] FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4 ( )

Cette fonction est continue et définie sur \ et sa dérivée s'écrit : ( ) ( ) Argsh x x = + 2 La fonction argcosinus hyperbolique ( ) ( ) ( ) 2 1 y Argch x Ln x

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Argsh et Argch La fonction sh : R → R est une bijection, sa réciproque est Argsh : R → R La fonction ch : R+ → [1;+∞[ est une bijection, sa réciproque est

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On appelle cosinus hyperbolique la fonction : ch : R −→ On appelle tangente hyperbolique la fonction : th : On appelle argsh la fonction réciproque de sh

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FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4

A. Fonctions exponentielle, puissance et logarithme

1. La fonction exponentielle de base a (

0a) xLn ax f xyfxae

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : xLn a xLn axx a e Ln a e Ln a a

Cas particulier : l'exponentielle de base e

Propriétés

01

1 ; eee

x xLn e x Ln x xex 2 xyxy xyeee 2 ,, x xy y exy ee 1, nxnxx x neeee ux ux euxe http://ginoux.univ-tln.fr 2

Limites :

0

1lim 1

x x e x lim x x e lim 0 x x e lim ; x x e x

2. La fonction logarithme de Neper

:f xyfx Lnx

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit :

1'Ln x

x

Propriétés

10Ln 1Ln e x xLn e x Ln x xex 2 ,, xy Lnx y Lnx Lny 2 ,, xxyLnLnxLnyy n n Lnx n Lnx

01 , 0xLnx

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Limites

lim x Ln x 0 lim x Ln x 1 lim 11 x Ln x x lim 0 ; x Ln x x 00

1lim lim 11

xx Ln xx xLnx 0 lim 0 ; 0 x xLnx

3. La fonction puissance

mLn xm f xyfxxe

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 1 mm xmx http://ginoux.univ-tln.fr 4

4. La fonction cosinus hyperbolique

2 xx f eexychx

La fonction

ychx est une fonction PAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 'ch x sh x

5. La fonction sinus hyperbolique

2 xx f eexyshx

La fonction

yshx est une fonction IMPAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 'shx chx http://ginoux.univ-tln.fr 5

6. La fonction tangente hyperbolique

xx xx f sh xeexythxch x e e

La fonction

ythx est une fonction IMPAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 2

1'th xch x

Relations importantes

22

1ch x sh x

x ch x sh x e x ch x sh x e 2 2

11th xch x

Lien hypertexte

: http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_hyperbolique http://ginoux.univ-tln.fr 6

B. Fonctions hyperboliques inverses

1. La fonction argsinus hyperbolique

2

1 y Argsh x Ln x x x sh y

Cette fonction continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argsh xx

2. La fonction argcosinus hyperbolique

2

1 y Argch x Ln x x x ch y

Cette fonction continue et définie sur

1, et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argch xx

3. La fonction argtangente hyperbolique

11 21xyArgthx Ln xthyx

Cette fonction continue et définie sur

1, 1 et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argth x

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T.D. N°3 FONCTIONS HYPERBOLIQUES

N°1

: Étudier le passage de la trigonométrie circulaire à la trigonométrie hyperbolique.

N°2

: Étudier les fonctions :

1, , , 1x

ch x sh x th x th x

N°3

: Démontrer que : 2 2tan2 1tan 2 x sin x x 2 22
1 2 x th sh x x th

N°4

: Démontrer que

Arctan sh x Arcsin th x

N°5

: Étudier la fonction 2 2 1 1x fx Argch x

N°6

: Démontrer que 11 21x

Argth x Ln

x

N°7

: Étudier la fonction

1fx Argth

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