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[PDF] Chapitre 13 :Fonctions hyperboliques

I Les fonctions hyperboliques directes A) Définition B) Etude de la fonction sh ( sinus hyperbolique) On appelle Argsh la réciproque de cette bijection Argsh 

[PDF] Fonctions hyperboliques et applications r´eciproques

Argsh : R → R,x ↦→ Argshx , l'application réciproque de la fonction sinus hyperbolique B 1 2 Remarque Pour tout x ∈ R, on a sh(Argshx) = x et Argsh(shx ) = x

[PDF] Correction du Devoir Maison - Annuaire IMJ-PRG

argch(y) = ln(y + √ y2 - 1) 5 On sait que la fonction sh est continue et strictement croissante sur R, telle que lim x→±∞

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Vous connaissez déjà des fonctions classiques : exp, ln, cos, sin, tan Dans ce de nouvelles fonctions : ch, sh, th, arccos, arcsin, arctan, Argch, Argsh, Argth

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On appelle Argsh = sh 1 sa bijection réciproque Propriété 2 4 4 La fonction Argsh vérifie les propriétés suivantes : • Argsh : R R est strictement croissante et  

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La fonction ch est continue, strictement croissante de R+ dans [1, +1[ C'est donc une bijection pour ces ensembles On appelle argch la fonction réciproque de ch  

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Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables en tout x0 ∈ R et cos (x0) Proposition 6 6 1 La fonction ArgSh est strictement croissante sur R, continue sur R, 

[PDF] FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4 ( )

Cette fonction est continue et définie sur \ et sa dérivée s'écrit : ( ) ( ) Argsh x x = + 2 La fonction argcosinus hyperbolique ( ) ( ) ( ) 2 1 y Argch x Ln x

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Argsh et Argch La fonction sh : R → R est une bijection, sa réciproque est Argsh : R → R La fonction ch : R+ → [1;+∞[ est une bijection, sa réciproque est

[PDF] Les Fonctions Hyperboliques - Page de Helkanen

On appelle cosinus hyperbolique la fonction : ch : R −→ On appelle tangente hyperbolique la fonction : th : On appelle argsh la fonction réciproque de sh

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Exercice 1

1. Les v ariationsde la fonction c hon t ete etudieesen cours : on sait que c hest u nefon ction continue et strictement croissante sur [0;+1[, telle que ch(0) = 1 et limx!+1ch(x) = +1. Donc ch realise une bijection de [0;+1[ sur [1;+1[. On note dans la suite argch. 2. T outd'ab ord,on sait que la fonction c hest d erivablesur R, et donc en particulier sur [0;+1[. Pour determiner le domaine de derivabilite de la fonction argch, on resout l'equation ch

0(x) = 0

pourx2[0;+1[ : ch

0(x) = 0,sh(x) = 0,x= 0:

La fonction argch est donc derivable sur [1;+1[nfch(0)g=]1;+1[. De plus, pour touty2 ]1;+1[, on a : argch

0(y) =1ch

0(argch(y))=1sh(argch(y)):

Or on sait que ch

2(x)sh2(x) = 1 pour toutx2R, donc sh2(x) = ch2(x)1. Ainsi :

jsh(x)j=qch 2(x)1

Notez que ch

2(x)1 est bien positif puisque ch(x)1 pour toutx2R. Et poury2]1;+1[,

on a argch(y)2]0;+1[ et donc sh(argch(y))>0. D'ou sh(argch(y)) =qch

2(argch(y))1 =py

21:

On obtient nalement que pour touty2]1;+1[ :

argch

0(y) =1py

21:
3. On obtien tdonc le tableau de v ariationsuiv ant,et la courb erepr esentativede argc h ap artirde la courbe representative de ch [0;+1[ par symetrie par rapport a la droitey=x.x argch

0(x)argch(x)1+1+

00+1+1ch

argch O i~ ja 4. (a) On souhaite calculer argc h(2).P ourcela on r esoutl' equationc h(x) = 2. On sait que cette equation a deux solutions : 2 a deux antecedents par la fonction ch, l'un etant positif, l'autre negatif. Puisque argch(2)>0, on en deduite que argch(2) sera l'unique solution strictement positive de cette equation.

Pourx2R, on resout donc :

ch(x) = 2,ex+ex= 4,e2x4ex+ 1 = 0 1

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On poseX=ex. On obtient donc :

X

24X+ 1 = 0,X= 2p3:

D'ou nalementx= ln(2 +p3) oux= ln(2p3). Puisque ln(2p3), on en deduit nalement quex= ln(2 +p3), et donc : argch(2) = ln(2 + p3): (b) Soit y2[1;+1[, on resout l'equationy= ch(x) pourx2R. On a y= ch(x),2y=ex+ex,e2x2yex+ 1 = 0 X=ex X

22yX+ 1 = 0

Ory1, et donc le discriminant = 4y24 de ce polyn^ome est positif. On a donc y= ch(x),( X=ex X=ypy 21
,x= ln(y+py

21) oux= ln(ypy

21)

En eet on notera quey+py

21ypy

21> ypy

2= 0. On peut donc bien

prendre le logarithme (qui est bijectif surR+) dans la derniere equivalence.

Enn puisque argch(y)0 et que ln(ypy

21)0 poury2[1;+1[ (je vous laisse

vous en convaincre), on obtient nalement que pour touty2[1;+1[ : argch(y) = ln(y+py 21):
5. On sait que la fonction sh es tcon tinueet strictemen tcroissan tesur R, telle que limx!1sh(x) =

1. Donc sh realise une bijection deRdansR. On la note dans la suite argsh.

Montrons quearshest impaire : son domaine de denition est bien symetrique par rapport a 0. De plus pour touty2R, il existe un uniquex2R(x= argsh(y)) tel que sh(x) =y, et on a : argsh(y) = argsh(sh(x)) = argsh(sh(x)) =x=argsh(y):

Donc argsh est impaire.

Puisque la fonction sh est derivable surR, et que pour toutx2R, sh0(x) =ch(x)6= 0, on en deduit que argsh est derivable surRet pour touty2R: argsh

0(y) =1ch(argsh(y)):

Puisque ch

2(x) = 1+sh2(x) et que la fonction ch est toujours positive, on a ch(x) =q1 + sh

2(x). En remplacant dans la formule de derivation, on obtient : argsh

0(y) =1q

1 + sh

2(argsh(y))=1p1 +y2:

On en deduit le tableau de variation de la fonction argsh et sa representation graphique. 2

PCSI5Lycee Saint Louisx

argsh

0(x)argsh(x)0+1+

00+1+1shO~

j~ iargsh On cherche une ecriture explicite de la fonction argsh. Pour cela, on resout pour touty2R l'equationy= sh(x) pourx2R. On a y= sh(x),2y=exex,e2x2yex1 = 0 X=ex X

22yX1 = 0

Le discriminant = 4y2+ 4 de ce polyn^ome est strictement positif. On a donc y= sh(x),( X=ex X=ypy 2+ 1 ,x= ln(y+py

2+ 1):

En eet on notera que la solutionypy

2+ 1<0 est impossible puisqueex>0. Puisque de

plusy+py

2+ 1>0 pour touty2R, on peut donc bien prendre le logarithme (qui est bijectif

surR+) dans la derniere equivalence.

On obtient nalement que pour touty2R:

argsh(y) = ln(y+py

2+ 1):Exercice 2

On denit la fonction tangente hyperbolique, notee th, par :

8x2R;th(x) =sh(x)ch(x):

1. La fonction th est d enieet con tinuesur Rcomme quotient de fonctions denies et continues surRdont le denominateur ne s'annule pas (rappelons que ch(x)1 pour toutx2R). Elle est de plus derivable sur cet intervalle, et on a pour toutx2R: th

0(x) =ch2(x)sh2(x)ch

2(x)=1ch

2(x)= 1th2(x):

Puisque

1ch

2(x)>0 pour toutx2R, la fonction th est donc strictement croissante surR

Notons que th est une fonction impaire puisque ch est paire et sh est impaire. On a donc th(0) = 0. On calcule la limite en +1: th(x) =sh(x)ch(x)=exexe x+ex=1e2x1 +e2x

D'ou lim

x!+1th(x) = 1. 3

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On obtient le tableau de variation suivant pour la fonction th, ainsi que sa courbe representative.x th

0(x)th(x)0+1+

0011O i~ jth argth 2. (a) La fonction th est strictemen tcroissan tesur Ret continue sur cet intervalle. Elle realise donc une bijection deRsur ] limx!1tah(x);limx!+1tah(x)[=]1;1[. On note argth :]1;1[!R sa reciproque. On montre que argth est impaire de la m^eme maniere que pour argsh. (b) On a vu que th es td erivablesur Ret que pour toutx2R, th0(x) = 1th2(x). On a de plus th

0(x)>0. En particulier sa derivee ne s'annule pas. Donc argth est derivable sur

]1;1[ et on a pour touty2]1;1[ : argth

0(y) =1th

0(argth(y))=11th2(argth(y))=11y2:

On retrouve en particulier que argth est

strictement croissante sur ]1;1[. On a donc le tableau de variation ci-contre, et sa courbe representative est donnee ci- dessus.x argth

0(x)argth(x)01

00+1+1(c)On p eutpro cedede deux fa condi erentes.

?Methode 1 : On resout l'equationy= th(x) poury2]1;1[ etx2R: y= th(x),y=exexe x+ex,y(e2x+ 1) = (e2x1) ,e2x(y1) =1y ,e2x=1yy1cary6= 1 ,2x= ln1 +y1y car ln est bijectif et1 +y1y>0 poury2]1;1[ ,x=12 ln1 +y1y ?Methode 2 : On integre entre 0 ety2]1;1[ la fonction argth0: Z y 0 argth0(t)dt =Z y

01(1t)(1 +t)dt =Z

y 012 (1t) + (1 +t)(1t)(1 +t)dt 12 Z y

01(1 +t)+1(1t)(1 +t)dt =12

[ln(j1 +tj)ln(j1tj)]y 0

D'ou argth(y)argth(0) =12

ln(j1+yj)ln(j1yj), et donc argth(y) =12 ln1 +y1y pour touty2]1;1[.4quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35