On appelle Argsh = sh 1 sa bijection réciproque Propriété 2 4 4 La fonction Argsh vérifie les propriétés suivantes : • Argsh : R R est strictement croissante et
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[PDF] Chapitre 13 :Fonctions hyperboliques
I Les fonctions hyperboliques directes A) Définition B) Etude de la fonction sh ( sinus hyperbolique) On appelle Argsh la réciproque de cette bijection Argsh
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Argsh : R → R,x ↦→ Argshx , l'application réciproque de la fonction sinus hyperbolique B 1 2 Remarque Pour tout x ∈ R, on a sh(Argshx) = x et Argsh(shx ) = x
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argch(y) = ln(y + √ y2 - 1) 5 On sait que la fonction sh est continue et strictement croissante sur R, telle que lim x→±∞
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Vous connaissez déjà des fonctions classiques : exp, ln, cos, sin, tan Dans ce de nouvelles fonctions : ch, sh, th, arccos, arcsin, arctan, Argch, Argsh, Argth
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On appelle Argsh = sh 1 sa bijection réciproque Propriété 2 4 4 La fonction Argsh vérifie les propriétés suivantes : • Argsh : R R est strictement croissante et
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La fonction ch est continue, strictement croissante de R+ dans [1, +1[ C'est donc une bijection pour ces ensembles On appelle argch la fonction réciproque de ch
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Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables en tout x0 ∈ R et cos (x0) Proposition 6 6 1 La fonction ArgSh est strictement croissante sur R, continue sur R,
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Cette fonction est continue et définie sur \ et sa dérivée s'écrit : ( ) ( ) Argsh x x = + 2 La fonction argcosinus hyperbolique ( ) ( ) ( ) 2 1 y Argch x Ln x
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Argsh et Argch La fonction sh : R → R est une bijection, sa réciproque est Argsh : R → R La fonction ch : R+ → [1;+∞[ est une bijection, sa réciproque est
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On appelle cosinus hyperbolique la fonction : ch : R −→ On appelle tangente hyperbolique la fonction : th : On appelle argsh la fonction réciproque de sh
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2.Lesf onctionsusuelles
2.1Théorèmesd'analyseadmis
Théorème2.1.1 - Fonctionsconstantes .Soitunefonction f:I!Rdérivablesuruninter- valleI"R.Lafonction festconstantesi etseulement si#x$I,f (x)=0. Théorème2.1.2 - Théorèmede labijection.Soitunefonction f:I!R.Onnote J=f(I).Onsupposeque lafonctionfest:
•continuesurI, •strictementmonotonesur I. Alorslafonction fréaliseunebijection del'intervalle Iversl'intervalleJ,etsa bijection récirpoquef &1 :J!Iestunefonction continuestrictement monotonedemême sensquef. Théorème2.1.3 - Dériv ationdelabijectionréciproque.Soitunefonction f:I!Retun pointx 0 $I.Onsuppose que: •feststrictementmonotone surl'interv alleI, •festdériv ableaupointx 0 •f (x 0 )'=0. Onsaitdéjà quefréaliseunebijection del'interv alleIversl'intervalleJ=f(I)etalors,la fonctionf &1 estdériv ableaupointy 0 =f(x 0 )avec (f &1 (y 0 1 f (x 0Onendéduit quesi
•f:I!Reststrictementmonotone surl'intervalle I, •festdériv ablesurl'intervalleI, •#x$I,f (x)'=0, alorslafonction f &1 estdériv ablesurl'intervallef(I)avec (f &1 1 f (f &128Chapitre2.Lesfonctionsusuelles
2.2Fonctionslogar ithme,exponentielle,puissance
2.2.1Fonctionlogar ithme
Definition2.2.1Onappelle fonctionlogarithme,toutefonctionf:R !Rdérivable,différente delafontion nulle,quivérifie larelation fonctionnelle #x$R et#y$R ,f(x)y)=f(x)+f(y) Théorème2.2.1Lesfonctionslog arithmessontles fonctions R !R x*!k) x 1 dt t2.2.2Fonctionlogar ithmenépérien
Definition2.2.2Sik=1,onappelle logarithme népérienoulog arithmenaturellafonction logarithmeobtenue.Ilestcaractérisé parlne=1. RSoit"unefonctionlog arithmealors ilexistek$R
telleque"(x)=k)lnx,#x$R Proposition2.2.2Ilexiste uneuniquefonction,notéeln :]0,+![!Rtelleque: (lnx) 1 x (pourtoutx>0)etln 1=0.Propriété2.2.3Lafonctionlog arithmenépérien vérifie(pourtousx,y>0)lespropriétés sui-
vantes: •ln(x)y)=ln(x)+ln(y) •ln(x n )=nlnx,#n$N •ln x y =lnx&lny •lim x!+! lnx=+!,lim x!0 lnx=&! •lnestune fonctioncontinue,strictement croissanteetdéfinit unebijectionde ]0,+![surR •lim x!0 ln(1+x) x =1 •lafonctionln estconcav eetln x+x&1(pourtout x>0)