Argsh : R → R,x ↦→ Argshx , l'application réciproque de la fonction sinus hyperbolique B 1 2 Remarque Pour tout x ∈ R, on a sh(Argshx) = x et Argsh(shx ) = x
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[PDF] Chapitre 13 :Fonctions hyperboliques
I Les fonctions hyperboliques directes A) Définition B) Etude de la fonction sh ( sinus hyperbolique) On appelle Argsh la réciproque de cette bijection Argsh
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Argsh : R → R,x ↦→ Argshx , l'application réciproque de la fonction sinus hyperbolique B 1 2 Remarque Pour tout x ∈ R, on a sh(Argshx) = x et Argsh(shx ) = x
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argch(y) = ln(y + √ y2 - 1) 5 On sait que la fonction sh est continue et strictement croissante sur R, telle que lim x→±∞
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Argsh et Argch La fonction sh : R → R est une bijection, sa réciproque est Argsh : R → R La fonction ch : R+ → [1;+∞[ est une bijection, sa réciproque est
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Chapitre III
Fonctions hyperboliques et applications
r´eciproquesA Fonctions hyperboliques directes
A.1 Sinus hyperbolique et cosinus hyperboliqueOn va d´efinir de nouvelles fonctions inspir´ees notamment par les formules d"Euler concernant les fonc-
tions sinus et cosinus.A.1.1 D´efinitionOn appelle fonctionsinus hyperboliquela fonction sh :R→R,x?→shx=ex-e-x2 .On appelle fonctioncosinus hyperboliquela fonction ch :R→R,x?→chx=ex+e-x2 .A.1.2 Remarques ?La fonction sh est impaire. En effet, elle est d´efinie surRet, pour toutx?R, on a sh(- x) =e-x-e-(-x)2 =--e-x+ex2 =-sh x.Le graphe de la fonction sh admet donc l"origine pour centre de sym´etrie; en particulier, on a sh0 = 0.?La fonction ch est paire.
En effet, elle est d´efinie surRet, pour toutx?R, on a ch(- x) =e-x+e-(-x)2 =e-x+ex2 = chx.38Chapitre III- Fonctions hyperboliques et applications r´eciproquesLe graphe de la fonction ch admet donc l"axe des ordonn´ees pour axe de sym´etrie.
?Pour toutx?R, on a ch2x-sh2x= 1.En effet, pour toutx?R, on a
ch2x-sh2x=?ex+e-x2
2-?ex-e-x2
2=?ex?2+ 2exe-x+?e-x?24
-?ex?2-2exe-x+?e-x?24 d"o`u ch2x-sh2x=4exe-x4
= 1.?Pour toutx?R, on a chx?1. En effet, soitx?R, on aex>0 ete-x>0 donc chx >0. D"autre part, la relation ch2x= 1+sh2x donne ch2x?1 donc chx?1 ou chx?-1. Comme chx >0, c"est donc que chx?1.A.1.3 Proposition
La fonction sh est d´erivable surRet sa d´eriv´ee est ch.La fonction ch est d´erivable surRet sa d´eriv´ee est sh.D´emonstration
La fonction exponentielle est d´erivable surR, de mˆeme que la fonctionx?→e-x, donc les fonctionch et sh sont d´erivables surR(ce sont des sommes de fonctions d´erivables). Pour toutx?R, on a
sh ?x=?ex-e-x2 ?=ex-?-e-x?2 =ex+e-x2 = chxi.e.sh?= ch. De mˆeme, pour toutx?R, on a ch ?x=?ex+e-x2 ?=ex+?-e-x?2 =ex-e-x2 = shxi.e.ch?= sh.Passons `a l"´etude des variations de ces deux fonctions.?Pour la fonction sh, il suffit de l"´etudier sur [0,+∞[ puisqu"il s"agit d"une fonction impaire. La d´eriv´ee
de sh est ch et on a vu que chx?1>0 pour toutx?Rdonc sh est strictement croissante surR.On a ch0 = 1 donc le graphe de sh admet la droite Δ d"´equationy=xpour tangente en 0.´Etudions
la position du graphe par rapport `a cette tangente. Il convient donc d"´etudier le signe de la fonction
f(x) = shx-x, cette fonction est d´erivable, de d´eriv´eef?(x) = chx-1?0. La fonctionfest donc
croissante surRorf(0) = 0 doncf(x)?0 pour toutx?0i.e.le graphe de sh est situ´e au-dessus de la droite Δ pourx?0 et en-dessous de Δ pourx?0.En ce qui concerne les limites, on aex----→x→+∞+∞ete-x----→x→+∞0 donc shx----→x→+∞+∞. Cherchons
maintenant si le graphe admet une asymptote en +∞; pour toutx >0, on a shxx x→+∞+∞.On dit que le graphe de sh admet en +∞unebranche paraboliquede direction l"axe des ordonn´ees.
A- Fonctions hyperboliques directes39
On peut pr´eciser ce r´esultat puisque
shx-ex2 =-e-x2 ----→x→+∞0- i.e.le graphe de sh et celui de la courbeCd"´equationy=ex2 sont asymptotes en +∞; de plus, la limite´etant 0
-, le graphe de sh est situ´e en-dessous deC.On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction sh et tracer son graphe.x-∞0 +∞
sh?x= chx+ + shx+∞ -∞0 0ΔC?Pour la fonction ch, il suffit l`a aussi de l"´etudier sur [0,+∞[ puisqu"il s"agit d"une fonction paire. La
d´eriv´ee de ch est sh et on a vu que shx >0 pourx >0 donc ch est strictement croissante sur ]0,+∞[.
On a sh0 = 0 donc le graphe de sh admet la droite Δ ?d"´equationy= 1 pour tangente en 0. Comme chx?1 pour toutx, le graphe de ch est situ´e au-desus de Δ?.En ce qui concerne les limites, on aex----→x→+∞+∞ete-x----→x→+∞0 donc chx----→x→+∞+∞. De mˆeme
que pour la fonction sh, le graphe de ch admet en +∞unebranche paraboliquede direction l"axe des
ordonn´ees; plus pr´ecis´ement, on a chx-ex2 =e-x2 ----→x→+∞0+40Chapitre III- Fonctions hyperboliques et applications r´eciproquesi.e.le graphe de ch et celui de la courbeCd"´equationy=ex2
sont asymptotes en +∞; de plus, le graphe de ch est situ´e au-dessusC.On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction ch et tracer son graphe.x-∞0 +∞
ch?x= shx-+ chx+∞+∞10Δ
CA.2 Tangente hyperbolique
Le fait que la fonction cosinus hyperbolique ne s"annule pas permet d"introduire la fonction suivante :
A.2.1 D´efinition
On appelle fonctiontangente hyperboliquela fonction th :R→R,x?→thx=shxchx=ex-e-xe x+e-x.A.2.2 Remarques ?La fonction th est impaire. En effet, elle est d´efinie surRet, pour toutx?R, on a th(-x) =sh(-x)ch(-x)=-shxchx=-thx.Le graphe de la fonction th admet donc l"origine pour centre de sym´etrie; en particulier, on a th0 = 0.?Pour toutx?R, on a 1-th2x=1ch
2x.En effet, pour toutx?R, on a
1-th2x= 1-sh2xch
2x=ch2x-sh2xch
2x=1ch
2x.A- Fonctions hyperboliques directes41
?On rencontre parfois la fonctioncotangente hyperboliquequi est la fonctionx?→1thx(mais qui n"est
pas d´efinie en 0).A.2.3 Proposition La fonction th est d´erivable surRet sa d´eriv´ee est donn´ee par : th?(x) = 1-th2x=1ch2x.D´emonstration
Les fonctions sh et ch sont d´erivables surRet la fonction ch est d´efinie sur toutRdonc le quotientth =
shch d´efinit bien une fonction d´erivable surR. Pour toutx?R, on a th ?x=?shxchx? ?=sh?xchx-shxch?xch2x=ch2x-sh2xch
2x=1ch
2x.Passons `a l"´etude des variations. Il suffit d"´etudier th sur [0,+∞[ puisqu"il s"agit d"une fonction impaire.
La d´eriv´ee de th est?1ch
2donc th est strictement croissante surR.
On a ch0 = 1 donc le graphe de th admet la droite Δ d"´equationy=xpour tangente en 0.´Etudions
la position du graphe par rapport `a cette tangente. Il convient donc d"´etudier le signe de la fonction
g(x) = thx-x, cette fonction est d´erivable, de d´eriv´eeg?(x) =?1-th2x)-1?0. La fonctiongest donc
d´ecroissante surRorg(0) = 0 doncg(x)?0 pour toutx?0i.e.le graphe de th est situ´e en-dessous de la droite Δ pourx?0 et au-dessus de Δ pourx?0.En ce qui concerne les limites, on a :
thx=ex-e-xe x+e-x=exe x1-e-2x1 +e-2x=1-e-2x1 +e-2xmaise-2x----→x→+∞0 donc le num´erateur et le d´enominateur du quotient ci-dessous tendent tous deux
vers 1. Donc lim x→+∞thx= 1. Il s"ensuit que le graphe de th admet la droite d"´equationy= 1 pourasymptote en +∞(donc, par imparit´e, il admet la droite d"´equationy=-1 pour asymptote en-∞).
On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction th et tracer son graphe.x-∞0 +∞
th?x=1ch2x+ + thx1 -10 0 -1142Chapitre III- Fonctions hyperboliques et applications r´eciproquesB Fonctions hyperboliques r
´eciproquesB.1 R
´eciproque de la fonction sinus hyperbolique?La fonction sh est continue et strictement croissante surR, elle r´ealise donc une bijection de cet
intervalle sur son imageRet on peut d´efinir son application r´eciproque.B.1.1 D´efinition On appellefonction argument sinus hyperbolique, et on note Argsh :R→R,x?→Argshx ,l"application r´eciproque de la fonction sinus hyperbolique.B.1.2 Remarque
Pour toutx?R, on a sh?Argshx?=xet Argsh?shx?=x.
Les variations de la fonction Argsh surRsont les
mˆemes que celles de la fonction sh surR.x-∞0 +∞Argshx+∞
-∞0 0ΔB.1.3 Proposition
La fonction Argsh est d´erivable surRet
pour toutx?R,Argsh?(x) =1⎷1 +x2.D´emonstrationEn effet, pour toutx?R, on a
Argsh ?(x) =1sh ?(Argshx)=1ch(Argshx).Mais la fonction ch est positive donc on peut ´ecrire Argsh ?(x) =1? ch2(Argshx)=1?
1 + sh
2(Argshx)et la conclusion vient du fait que sh(Argshx) =x.
B- Fonctions hyperboliques r´eciproques43
B.2 R´eciproque de la fonction cosinus hyperbolique?La fonction ch est continue et strictement croissante sur [0,+∞[, elle r´ealise donc une bijection de
cet intervalle sur son image [1,+∞[ et on peut d´efinir son application r´eciproque.B.2.1 D´efinition
On appellefonction argument cosinus hyperbolique, et on noteArgch : [1,+∞[→[0,+∞[,x?→Argchx ,l"application r´eciproque de la restriction de la fonction cosinus hyperbolique `a l"intervalle [0,+∞[.B.2.2 Remarques
?Pour toutx?1, on a ch?Argchx?=x.?Pour toutx?0, on a Argch?chx?=x. Il faut, de nouveau, prendre garde au fait que l"expression Argch?chx?est d´efinie pour toutx?R mais ne vaut exactementxque lorsquex?0. Les variations de la fonction Argch sur [1,+∞[ sont les mˆemes que celles de la fonction ch sur [0,+∞[.x1 +∞Argchx+∞
00 1B.2.3 Proposition
La fonction Argch est d´erivable sur ]1,+∞[ et pour toutx?R,Argch?(x) =1⎷x2-1.D´emonstration
En effet, pour toutx?R, on a
Argch ?(x) =1ch?(Argchx)=1sh(Argchx).Mais Argchx?0 et la fonction sh est positive sur [0,+∞[ donc sh(Argchx)?0 et on peut ´ecrire
Argch ?(x) =1? sh2(Argchx)=1?
ch2(Argchx)-1et la conclusion vient du fait que ch(Argchx) =x.
44Chapitre III- Fonctions hyperboliques et applications r´eciproquesB.3 R
´eciproque de la fonction tangente hyperbolique?La fonction th est continue et strictement croissante surR, elle r´ealise donc une bijection de cet
intervalle sur son image ]-1,1[ et on peut d´efinir son application r´eciproque.B.3.1 D´efinition
On appellefonction argument tangente hyperbolique, et on noteArgth :]-1,1[→R,x?→Argthx ,l"application r´eciproque de la fonction tangente hyperbolique.
B.3.2 Remarques
?Pour toutx?]-1,1[, on a th?Argthx?=x.?Pour toutx?R, on a Argth?thx?=x. Les variations de la fonction Argth sur ]-1,1[ sont les mˆemes que celles de la fonction th surR.x-1 0 1Argthx+∞
-∞0 0-11ΔB.3.3 Proposition
La fonction Argth est d´erivable sur ]-1,1[ et
pour toutx?]-1,1[,Argth?(x) =11-x2.D´emonstrationEn effet, pour toutx?]-1,1[, on a
Argth ?(x) =1th ?(Argthx)=11-th2(Argthx).et la conclusion vient du fait que th(Argthx) =x.C- Identit´es et relations45
C Identit
´es et relationsC.1 Quelques formules de trigonom´etrie hyperboliqueLes formules de trigonom´etrie classiques ont des analogues en"trigonom´etrie hyperbolique». Outre la
formulech2a-sh2a= 1, on a par exemplech(a+b) = chachb+ shashb ch(a-b) = chachb-shashb sh(a+b) = shachb+ chashb sh(a-b) = shachb-chashb th(a+b) =tha+ thb1 + thathb th(a+b) =tha-thb1-thathb d"o`u l"on d´eduitch(2a) = ch2a+ sh2a= 2ch2a-1 = 1 + 2sh2a sh(2a) = 2shacha th(2a) =2tha1 + th 2a.Notons en outre le lien suivant entre les fonctions trigonom´etriques et les fonctions hyperboliques :
cha= cos(ia) et sha=-isin(ia).C.2 Expression des fonctions hyperboliques r ´eciproques avec le logarithme n´ep´erienC.2.1 Proposition (a)Pour toutx?R, on a : Argshx= ln?x+?x