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Feuille de TD n

o1

Conditionnement discret

Exercice 1

SoientXetYdeux variables aléatoires indépendantes à valeurs dansNetS=X+Y. Calculer la loi conditionnelle deX(ainsi que son espérance) sachantS=sdans les cas suivants :

1.XetYsuivent des lois de Poisson de paramètres respectifsλetμ;

2.XetYsuivent des lois géométriques surNde même paramètrep;

3.XetYsuivent des lois binomiales de paramètres respectifs(n,p)et(m,p).

Exercice 2

Soit(Ω,,P)un espace de probabilité,(Ai)iIune famille au plus dénombrable d"événe- ments de probabilitésP(Ai)>0constituant une partition deΩetla sous-tribu de engendrée par ces événements.

1. Montrer que

iJA it.q.J (I).

2. SoitXune fonction définie surΩet à valeurs dans un espace mesuré muni d"une

tribuséparant les points. Montrer queXest(,)-mesurable si et seulement si elle est constante sur chacun des événementsAi.

3. On note, pour toutiIet toute variable aléatoire réelleXpositive ou bornée,

E(XAi)l"espérance deXpour la probabilité conditionnelleP(Ai). Montrer que

E(XAi) =E(X1Ai)

P(Ai).(1)

En déduire que toute variable aléatoire réelle intégrableXest intégrable pour la probabilité conditionnelleP(Ai)et que son espérance pour cette probabilité est donnée par la formule (1).

4. On définit, pour toute variable aléatoire réelle intégrableXdéfinie surΩ, une

variable aléatoire réelle˜Xpar X= iIE(XAi)1Ai.

Montrer que

(i)

˜Xest-mesurable et intégrable,

(ii)E(˜X1A) =E(X1A)pour tout évenementA , (ii")E(˜X Y) =E(X Y)pour toute variable aléatoireY-mesurable bornée.

5. Montrer que les relations (i) et (ii) (resp. (i) et (ii")) caractérisent˜X. On notera˜X=E(X): c"est l"espérance conditionnelle sachant la tribu.

6. Montre que siZest une variable aléatoire bornée et-mesurable, etXune variable

aléatoire réelle intégrable,

E(ZX) =ZE(X),

et que siZest une variable aléatoire intégrable et indépendante de,

E(Z) =E(Z).

7. On suppose queXest de carré intégrable. Montrer que :

E[(X?E(X))2] = min

Xmesurable

E(X2) et que ce problème de minimisation caractériseE(X).

8. On suppose que chacun des événementsAiest réunion disjointe de deux événe-

mentsAietAide probabilités strictement positives. On notela sous-tribu de engendrée par la partition(Ai,Ai)iI. Comparer les tribuset. Montrer que

E(X) =E[E(X)].

9. On considère dans cette questionΩ = [0,1[muni de sa tribu borélienneet de

la mesure de LebesgueP. ExpliciterE(X)siXest une fonction intégrable sur [0,1[etla tribu engendrée par une partition finie de[0,1[en intervalles. Plus particulièrement, que peut-on dire de la suite(E[Xn])nsiXest une fonction continue sur[0,1]et, pour toutnN,nla tribu engendrée par les intervallesk1

2n,k2n(1k2n)?

10. On revient au cas général. Montrer qu"il existe une variable aléatoireZà valeurs

dansI, muni de la tribu discrète, telle que pour toutiI,Aisoit l"événement Z=i. Montrer qu"il existe une fonction mesurablefdeIdansRtelle que

E(X) =f(Z). Cette fonction est-elle unique?

11. Montrer que dans ce cas

˜X=E(X)est caractérisée par les deux propriétés suivantes : (a)

˜Xest intégrable,

(b) il existe une fonction mesurablefdeIdansRtelle que˜X=f(Z); (c) pour toute fonction mesurable bornéegdeIdansR, on aE[Xg(Z)] =

E[f(Z)g(Z)].

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Feuille de TD n

o2

Espérance conditionnelle

Exercice 3

SoientXetYdeux variables aléatoires réelles intégrables définies surun même espace de probabilité(Ω,,P). On supposeE(XY) =YetE(YX) =X. Montrer queX=Y p.s.

Exercice 4

Variance conditionnelle.Soit(Ω,,P)un espace de probabilité etune sous-tribu de. Pour toute variable aléatoireXL2(Ω,,P), on définit la variance conditionnelle

Var(X)par :

Var(X) =E(X?E[X])2.

1. Montrer queVar(X) =E(X2)?E(X)2.

En particulier,E(X)2E(X2).

2. Montrer queVar(X) =E[Var(X)] +Var[E(X)].

En particulier,Var[E(X)]Var(X). Discuter le cas d"égalité.

Exercice 5

Soit(Ω,,P)un espace de probabilité,Xune variable aléatoire réelle intégrable définie

sur cet espace etune sous-tribu de.

1. On suppose dans cette question les tribusσ(X)etindépendantes. Que peut-on

dire deE(X)?

2. On suppose dans cette question queXsuit une loi de Bernoulli et queE(X)est

constante. Montrer que les tribusσ(X)etsont indépendantes. Généraliser au cas oùXest une variable aléatoire réelle ne prenant que deux valeurs.

3. On revient au cas général. Si la v.aE(X)est constante, peut-on en déduire que

les tribusσ(X)etsont indépendantes?

Exercice 6

Prédiction linéaire.Soit(X1,...,Xn,Y)un vecteur aléatoire à valeurs dansRn+1, de carré intégrable. Si on observe(X1,...,Xn)avantY, la meilleure prédiction, au sensL2, deYest l"espérance conditionnelleE[YX1,...,Xn]. C"est une fonction de(X1,...,Xn) dont la détermination est parfois compliquée et fait appel àla connaissance de la loi conjointe de tout le vecteur(X1,...,Xn,Y). On peut se poser une question plus simple : quelle est la meilleure approximation, au sensL2, deYpar une fonctionlinéairede (X1,...,Xn)? Dans la suite, on noteΓXla matrice dont le coefficient d"indices(i,j)est

E[XiXj].

1. Prouver le résultat suivant qui montre en particulier quela réponse dépend unique-

ment de la matriceΓXet desE(Y Xi),1in. Proposition 1 (Prédiction linéaire)Il existe une unique v.aYso- lution de : Y

V ect(X1,...,Xn) etE[(Y?Y)2] = min

YV ect(X1,...,Xn)E[(Y?Y)2].(2)

On l"appelle le meilleur prédicteur linéaire deYsachantX1,...,Xnet on le note P(YX1,...,Xn). De plus, (2) est équivalente à : Y

V ect(X1,...,Xn) etj= 1,...,n,E(Y Xj) =E(YXj).

Enfin, pour tout vecteur ligneα= (α1,...,αn)dansRn, P(YX1,...,Xn) =α1X1+...+αnXnαΓX= (E(Y X1),...,E(Y Xn)).

De plus, siY=P(YX1,...,Xn) =α1X1+...+αnXn,

E[(Y?Y)2] =E[Y2]?(α)TΓXα.

2. On suppose désormais queYest à valeurs dansRd. Généraliser la proposition 1.

Exercice 7

Soit(Xi)i1une suite de variables aléatoires réelles indépendantes suivant la même loi de Bernoulli de paramètre0< p <1:P(Xi= 1) =p,P(Xi= 0) = 1?ppour tout i1, etNune v.a intégrable à valeurs dansN, indépendante de la suite(Xi)i1. On notegla fonction génératrice deN,λson espérance et, pour toutn0,Sn=ni=1Xi (en particulier, pourn= 0,S0= 0). On définit une v.aSNà valeurs dansNpar S

N(ω) =SN(ω)(ω) =N(ω)

i=1X i(ω).

1. Calculer, pour toutnN,E(SNN)etE(SN).

2. Exprimer la fonction génératricehdeSNen fonction deget dep.

3. On suppose dans cette question queNsuit la loi de Poisson de paramètreλ >0:

P(N=n) =eλλn

n!pour toutnN. Expliciterh. Montrer queSNetN?SNsont indépendantes. Préciser leurs lois.

4. On suppose dans cette question queSNetN?SNsont indépendantes et on définit

une fonctionGsur[0,1][0,1]par :

G(s,t) =E(sSNtNSN) (0s,t1).

(a) Exprimer de deux manièresG(s,t)en fonction deg,p,s,t. (b) En dérivant la relation obtenue, trouver une équation différentielle vérifiée par g. En déduire queNsuit une loi de Poisson. Université de GrenobleM1 - Processus stochastiques2013-2014

Feuille de TD n

o3

Lois conditionnelles

Exercice 8

On considère(X1,...,Xn)i.i.d et on noteSn=ni=1Xi.

1. CalculerP(X1= 0Sn)lorsque lesXisont de loi de Poisson de paramètreθ.

2. CalculerP(X1tSn)lorsque lesXisont de loi exponentielle de paramètreθet

n2.

Exercice 9

On considère(X,Y)un couple de variables aléatoires oùXest de loi de Bernoulli de paramètrep]0,1[et poura 0,1, la loi deYsachantX=aest une gaussienne de moyennemaet de varianceσ2a. Décrire la loi du couple(X,Y), la loi deYet la loi conditionnelle deXsachantY.

Exercice 10

Loi conditionnelle dans un espace gaussien.Rappelons qu"un vecteur aléatoire Xà valeurs dansRnest gaussien si et seulement si pour toutλRn,λ,Xa une loi gaussienne

1. De plus, siXest gaussien et siIetJsont deux sous-ensembles de

1,...,n, les processus(Xi)iIet(Xj)jJsont indépendants si et seulement si les cova-

riancesCov(Xi,Xj)sont nulles pour tousiIetjJ.

1. Montrer que l"espérance conditionnelle de(Xj)jJsachant(Xi)iIest le meilleur

prédicteur linéaire de(Xj)jJsachant(1,(Xi)iI).

2. Déterminer la loi conditionnelle de(Xj)jJsachant(Xi)iI.

3.Application.On suppose queXest un vecteur gaussien centré de matrice de

covariance : 1 0 0

0 1 1/2

0 1/2 1

CalculerE(X23X1,X2).

1. Ainsi l"espace vectoriel engendré par les coordonnées deXest composé de v.a gaussiennes, c"est

le prototype de ce qu"on appelle unespace gaussien: un sous-espace vectoriel fermé deL2(Ω,,P) constitué de variables aléatoires gaussiennes. Exercice 11On considère(X,Y)un couple de variables aléatoires à valeurs dans( ). On suppose queYadmet une loi conditionnelle sachantX, notée(ν(x,.))x. On suppose également que pour toutx ,ν(x,.)admet une densitéfxpar rapport à une mesure de référence μ σ-finie, et que la fonction qui à(x,y)associefx(y)est mersurable pour la tribu produit sur .

1. Montrer queXadmet une loi conditionnelle sachantYet la décrire.

2.Application.On suppose queXsuit une loi de Bernoulli de paramètre1/2, que

la loi deYsachantX= 0est la loi géométrique de paramètrep, et la loi deY sachantX= 1est la loi normale centrée réduite. Décrire la loi de(X,Y), la loi de

Yet la loi conditionnelle deXsachantY.

Exercice 12

SoientXetYdeux variables aléatoires réelles indépendantes de même loi de densitéf etZ= sup(X,Y).

1. Le couple(X,Z)admet-il une densité surR2? Expliciter la loi de ce couple.

2. Montrer que la loi conditionnelle deXsachantZ=zest1

2δz(dx) +121x pourF(z)>0(cette loi pouvant être choisie arbitrairement siF(z) = 0), oùFest la fonction de répartition deXetY. Université de GrenobleM1 - Processus stochastiques2013-2014

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o4

Filtrations, temps d"arrêt, martingales

Exercice 13

Soit(Ω,,(n)n0,P)un espace de probabilité filtré etTune variable aléatoire à valeurs dansN +définie sur cet espace.

1. On considère les deux propriétés :

(a) pour toutnNl"événementT > nappartient àn; (b)Test un temps d"arrêt de la filtration(n)n0. Ces deux propriétés sont-elles équivalentes? L"une implique-t-elle l"autre?

2. Mêmes questions en remplaçantT > nparTn.

Exercice 14

Soit(Ω,,(n)n0,P)un espace de probabilité filtré, etTun temps d"arrêt fini de la filtration(n)n0. Montrer qu"une variable aléatoireXestT-mesurable si et seulement siX1T=nestn-mesurable pour toutnN.

Exercice 15

Soit(Ω,,(n)n0,P)un espace de probabilité filtré,SetTdeux temps d"arrêt de la filtration(n)n0.

1. Montrer que les événementsST,S < TetS=Tappartiennent à

S T.

2. Montrer queST=S T.

Exercice 16

Soit(Ω,,(n)n0,P)un espace de probabilité filtré et(Xn)n0un processus intégrable adapté à cette filtration. Montrer l"équivalence des trois propriétés suivantes :

1.(Xn)n0est une martingale pour la filtration(n)n0;

2.E(XT) =E(X0)pour tout temps d"arrêt bornéTde la filtration(n)n0;

3.E(XT) =E(X0)pour tout temps d"arrêtTde la filtration(n)n0prenant au plus

deux valeurs. Donner un exemple de processus adapté vérifiantE(Xn) =E(X0)pour toutn0qui n"est pas une martingale. Exercice 17Soit(Ω,,(n)n0,P)un espace de probabilité filtré,(Mn)n0une(n)n0-martingale, Nun entier positif,A Nun événement de probabilitéP(A)>0. Montrer que le processus(MN+n)n0est une(N+n)n0-martingale pour la probabilité conditionnelle P(A).

Exercice 18

Soit(Xk)k1une suite indépendante de variables aléatoires de même loi

P(Xk= 0) =P(Xk= 2) = 1/2.

On définit une suite(Mn)n0de variables aléatoires parMn=nk=1Xk(en particulier M

0= 1).

1. Montrer que(Mn)n0est une martingale.

2. Expliciter la loi deMnpour toutn0.

3. On définit une variable aléatoireTà valeurs dansN +par

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