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17 oct 2018 · T = min{n ∈ N,Sn = −a ou Sn = b} On pourra admettre dans un premier temps que T < +∞ p s (c'est une conséquence de l'exercice 6)

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des questions Exercice 1 Les questions de cet exercice sont indépendantes est la martingale Mλ arrêtée au temps d'arrêt T, et qui est donc également une

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Corrigé des exercices du chapitre 5 – Temps d'arrêt Exercice 5 1 Démontrer la Proposition 5 3 1 : 1 Si N et M sont des temps d'arrêt, alors N ∧ M et N ∨ M 

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2 Etant donné un F-temps d'arrêt τ, on peut définir la tribu Fτ = {A ∈ A : A ∩ {τ ≤ t}∈Ft,t ≥ 0} Par définition, une variable aléatoire Z est Fτ -mesurable si et 

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temps d'arrêt par rapport à une filtration constante ? Solution : 1 Non, si Ω = {1 en étant en plus centré, et l'exercice revient à montrer que Zn := Y 2 n − E(Y 2

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Le but de l'exercice est d'étudier la loi de T 1 Montrer que (Xn) est une martingale et que T est un temps d'arrêt relativement à In 2 

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Processus aléatoiresThomas Budzinski

ENS Paris, 2018-2019 Bureau V2thomas.budzinski@ens.fr TD 6 : Conditionnement, martingales, théorème d"arrêt

Corrigé

Mercredi 17 Octobre

1 Espérance conditionnelle dansL2

Exercice 1

On se donne deux variables aléatoires réelles positivesXetY, et on suppose queE[XjY] =Yet

E[YjX] =X.

1.

Mon trerque si XetYsont dansL2, alorsX=Yp.s..

2.

On se place main tenantdans l ecas général. En étudian tde squan titésde la forme E[Y?Xa],

montrer queX=Yp.s..

Solution de l"exercice 11.On calcule

E(XY)2=EX2+EY22E[XY]:

OrE[XY] =E[XE[YjX]] =EX2et de mêmeE[XY] =EY2, doncE(XY)2= 0etX=Y p.s..

On peut aussi le voir autrement en utilisant l"interprétation de l"espérance conditionnelle dansL2:

il existe deux projections orthogonalespetqtelles quep(X) =Yetq(Y) =X, donc kXk=kq(Y)k kYk et de même dans l"autre sens. On a donc égalité, doncY2Im(q), doncX=q(Y) =Y. 2.

Soit a0. L"égalité

E[X?Xa] =E[Y?Xa]

est une conséquence immédiate de la définition de l"espérance conditionnelle. Notons que le membre

de gauche est fini, donc le membre de droite l"est aussi. L"égalité se réécrit

E[(XY)?Xa] = 0;

où la variable(XY)?Xaest intégrable car c"est la différence de deux variables intégrables. De

manière symétrique, on obtient

E[(XY)?Ya] = 0

donc, en faisant la différence des deux,

E[(XY)(?Ya?Xa)] = 0:

Or, si?Ya?Xa>0alorsYa < X, et si?Ya?Xa<0alorsY > aY. La variable (XY)(?Ya?Xa)est donc positive. Comme elle est d"espérance nulle, elle est nulle p.s.. On en déduit

Ya=?Xap:s::

1

Presque sûrement, ceci est vrai pour toutarationnel positif, donc presque sûrement il n"existe pas

dearationnel tel queXa < Y, d"oùXYp.s.. On a de même l"inégalité inverse, d"oùX=Y p.s.. Exercice 2(ConvergenceL2des martingales rétrogrades) Soit(Fn)n0une suite décroissante de sous-tribus deF, avecF0=F. SoitXune variable aléatoire de carré intégrable. 1. Mon trerque les v ariablesE[XjFn]E[XjFn+1]sont orthogonales dansL2, et que la série X n0(E[XjFn]E[XjFn+1]) converge dansL2. 2.

Mon trerque si F1=T

n0Fn, on a lim n!1E[XjFn] =E[XjF1]dansL2:

Solution de l"exercice 21.On calcule, p ourm < n:

E[(E[XjFn+1]E[XjFn])(E[XjFm+1]E[XjFm])]

=E[E[XjFn+1]E[XjFm+1]E[XjFn+1]E[YjFm]E[XjFn]E[YjFm+1] +E[XjFn]E[XjFm]] =EE[XjFm+1]2E[XjFm]2E[XjFm+1]2+E[XjFm]2 = 0; ce qui montre que la famille(E[XjFn]E[XjFn+1])n0est orthogonale. De plus, pourm=n, on a Eh (E[XjFn+1]E[XjFn])2i =EE[XjFn]2E[XjFn+1]2; donc par téléscopage PEh (E(XjFn+1)E(XjFn))2i Eh

E[XjF0]2i

=EX2<+1, d"où la convergence de la série dansL2, par critère de Cauchy dansL2. 2.

On déduit de la q uestionprécéden teque E[XjFn]converge, on noteYla variable aléatoire limite. On

n"a plus qu"à montrer queY=E[XjF1]. SoitZune variableF1-mesurable bornée. En particulier, pour toutn, elle estFn-mesurable donc

E[E[XjFn]Z] =E[XZ]:

Quandntend vers+1, le membre de gauche tend versE[Y Z](en utilisant la convergence de E[XjFn]et l"inégalité de Cauchy-Schwarz), d"oùE[Y Z] =E[XZ], d"oùY=E[XjF1].

RemarqueIl est aussi possible de résoudre entièrement l"exercice en utilisant seulement le fait que

L

2est un espace de Hilbert. On vérifie facilement que le sous-espace des variablesF1-mesurables est

l"intersection décroissantes des sous-espaces des variablesFn-mesurables. Il suffit donc de montrer que

dans un espace de Hilbert, les projections orthogonales sur une suite décroissante de sous-espaces fermés

convergent vers la projection orthogonale sur l"intersection de ces sous-espaces.

2 Lois conditionnelles

Exercice 3(Un calcul de loi conditionnelle)

SoientX1;:::;Xndes variables i.i.d. exponentielles de paramètre1, etS=Pn i=1Xi. Déterminer la loi conditionnelle deX1sachantS. 2

Solution de l"exercice 3Soientfetgdeux fonctions mesurables bornées. On cherche à calculerE[g(X1)jS].

Pour cela, on calcule

E[g(X1)f(S)] =Z

R n+g(x1)f(x1++xn)nex1:::exndx1:::dxn: En faisant le changement de variablessi=x1++xi, on obtient

E[g(X1)f(S)] =Z

0s1sng(s1)f(sn)nesnds1:::dsn

n(n2)!Z

0xsg(x)f(s)(sx)n2esdxds;

en intégrant selons2;:::;sn1. En prenant pourgla fonction constante égale à1, on obtient

E[f(S)] =n(n1)!Z

+1 0 f(s)sn1esds; doncSa pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue n(n1)!sn1es:

On cherche à faire apparaître cette densité dans l"expression trouvée précédemment :

E[g(X1)f(S)] =n(n1)!Z

+1 0 f(s)sn1esZs 0 g(x)(n1)(sx)n2s n1dx ds =E" f(S)Z S 0 g(x)(n1)(Sx)n2S n1dx#

On a donc

E[g(X1)jS] =Z

S 0 g(x)(n1)(Sx)n2S n1dx: Ceci est vrai pour toute fonctiongmesurable bornée, donc la loi conditionnelle deX1sachantSa pour densité (n1)(Sx)n2S n1

par rapport à la mesure de Lebesgue. Notons qu"en particulier, pourn= 2, cette densité est constante.

Ainsi, conditionnellement àX1+X2, la variableX1est uniforme sur[0;X1+X2]. Exercice 4(Lois conditionnelles et indépendance) SoientXetYdeux variables aléatoires telles que la loi conditionnelle deXsachantYexiste. Montrer que cette loi conditionnelle est déterministe si et seulementXetYsont indépendantes.

Solution de l"exercice 4Notons tout d"abord que ce résultat est intuitif : dire que la loi deXsachantY

est déterministe revient à dire que connaîtreYne donne aucune information surX, ce qui est plus ou

moins la définition de l"indépendance. Plus précisément, supposons queXest indépendante deY, et notonsla loi deY. On veut montrer que la loi conditionnelle deXsachantYest(qui est, en particulier, déterministe). Pour cela, par

définition des lois conditionnelles, il suffit de montrer que pour toute fonctionfmesurable positive, on a

E[f(X)jY] =Z

fd:

Par définition de l"espérance conditionnelle, il suffit donc de montrer que pour fonctiongmesurable

positive, on a

E[g(Y)f(X)] =E

g(Y)Z fd 3 Or, en utilisant l"indépendance puis le fait queest la loi deX, on a

E[g(Y)f(X)] =E[g(Y)]E[f(X)] =E[g(Y)]Z

fd=E g(Y)Z fd ce qui prouve un des deux sens.

Pour l"autre sens, les calculs sont essentiellement les mêmes. Si la loi deXsachantYest déterministe

et égale à, alors pour toutes fonctionsfetgmesurables positives, on a

E[g(Y)f(X)] =E

g(Y)Z fd =E[g(Y)]Z fd: En particulier, en prenantg= 1, on obtientE[f(X)] =Rfd, doncest aussi la loi deX, donc finalement

E[g(Y)f(X)] =E[g(Y)]E[f(X)]

pour toutesfetgmesurables positives. Par conséquent,XetYsont bien indépendantes.

3 Temps d"arrêt

Exercice 5(Vrai ou faux)

Soit(Sn)une marche aléatoire simple symétrique surZetFn=(S0;S1;:::;Sn). Lesquelles des variables

suivantes sont des temps d"arrêt pour(Fn)?

1.T1= minfn0jSn= 2018g,

2.T2= minfn2018jSn=Sn2018g,

3.T3= minfn0jSn=Sn+2018g,

4.T4= minfnT1jSn= 0g,

5.T5= maxfn2[[0;2018]]jSn= 0g,

6.T6= minfn2[[0;2018]]j8m2[[0;2018]];SmSng.

Solution de l"exercice 5Les tempsT1,T2etT4sont des temps d"arrêts, car à chaque fois l"événement

fTngne dépend que de(S0;S1;:::;Sn). En revanche,T3,T5etT6n"en sont pas puisque les événements

fT3= 0g,fT5= 0getfT6= 0gne sont pasF0-mesurables.

Exercice 6(Ce qui peut arriver, arrivera)

SoitTun temps d"arrêt pour une filtration(Fn)n0. On suppose qu"il existe" >0etn02Ntels que pour toutn0, on a p.s.

P(Tn+n0jFn)> ":

Montrer queTest fini presque sûrement et queE[T]<+1. Solution de l"exercice 6On montre par récurrence surkque pour toutk0:

P(Tkn0)(1")k:

C"est vrai pourk= 0et on a

P(T(k+ 1)n0) =E?Tkn0?T(k+1)n0

=E[?Tkn0P(Tkn0+n0j Fkn0)]

E[?Tkn0(1")]

(1")k+1;

par hypothèse de récurrence. On en déduit aisément queE[T]<+1et en particulier queTest presque

sûrement fini. 4

4 Martingales et marches aléatoires

Exercice 7(À la pêche aux martingales)

Soit(Sn)une marche aléatoire simple symétrique surZ, etFn=(S1;Sn). 1. Mon trerque (Sn)est une martingale pour la filtration(Fn). 2. Mon trerque (S2nn)est une martingale pour la filtration(Fn). 3. Mon trerque (S3n3nSn)est une martingale pour la filtration(Fn). 4. Soit P(X;Y)un polynôme à deux variables. Montrer que(P(Sn;n))est une martingale pour la filtration(Fn)si pour touss;n2Z, on a

P(s+ 1;n+ 1)2P(s;n) +P(s1;n+ 1) = 0:

5. Soit 2R. Trouver2Rtel queexp(Snn)est une martingale pour(Fn). Solution de l"exercice 7On noteXn=SnSn1les pas de la marche aléatoire. Tous les processus

considérés dans la suite sont des fonctions mesurables denet deSn, donc sont(Fn)-adaptés. De plus,

au tempsn, ils sont toujours bornés par une fonction den(npour le premier,n2+npour le second...), donc intégrables. 1. On a

E[Sn+1jFn] =E[Sn+Xn+1jFn] =Sn+E[Xn+1] =Sn

par indépendance des accroissements. 2. On a ES2n+1jFn=ES2njFn+ 2SnE[Xn+1jFn] +EX2n+1jFn=S2n+ 1: On a doncES2n+1(n+ 1)jFn=S2nn, donc on a bien une martingale. 3.

Le calcul est similaire :

E (Sn+1)33(n+ 1)Sn+1jFn=S3n+ 3S2nE[Xn+1jFn] + 3SnEX2n+1jFn+EX3n+1jFn

3(n+ 1)E[Sn+1jFn]

=S3n+ 3Sn3(n+ 1)Sn =S3n3nSn: 4.

On calcule

E[P(Sn+1;n+ 1)jFn] =12

P(Sn+ 1;n+ 1) +12

P(Sn1;n+ 1):

Il suffit donc deP(X+ 1;n+ 1)2P(X;n) +P(X1;n+ 1) = 0. 5.

On calcule

E eSn+1jFn=EeSneXn+1jFn =eSnEeXn+1jFn e+e2 eSn:

Il faut donc choisir= ln(ch()).

Exercice 8(Temps de sortie)

Soit(Sn)n0une marche aléatoire simple symétrique surZ. Soienta;b0et

T= minfn2N;Sn=aouSn=bg:

On pourra admettre dans un premier temps queT <+1p.s. (c"est une conséquence de l"exercice 6). 5

1.En utilisan tla première martingale de l"exercice précéd entet le théorème d"arrêt, mon trerque

P(ST=b) =aa+b:

2.

En utilisan tla seconde m artingalede l"exercice préc édentet le théorème d"arrêt, mon trerque

E[T] =ab:

Solution de l"exercice 81.Soit t >0. AlorsT^test un temps d"arrêt borné, auquel on peut appliquer le théorème d"arrêt :

E[ST^t] =E[S0] = 0:

De plus,T <+1p.s. doncST^tconverge p.s. versST, et on aaST^tbpour toutt. Par convergence dominée, on a donc

E[ST] = limt!+1E[ST^t] = 0:

D"autre part, en notantp=P(ST=b), on a

0 =E[ST] = (1p)(a) +pb;

d"oùp=aa+b. 2. Soit t >0. En appliquant le théorème d"arrêt àS2nnet au temps d"arrêtT^t, on obtient

E[T^t] =E[S2T^t]:

Comme dans la première question, en utilisantT <+1p.s., le membre de gauche converge vers E[T]par convergence monotone et le membre de droite versE[S2T]par convergence dominée. On a donc, en utilisant la première question :

E[T] =E[S2T]

ba+b(a)2+aa+bb2 =ab:

RemarqueSi vous n"êtes pas fatigués par les calculs : en utilisant la troisième martingale de l"exercice

précédent (ainsi que les deux questions précédentes), on peut calculer

E[TjST=b] =13

2ab+b2:

Exercice 9(Martingales et marche biaisée)

Soitp6=12

et(Sn)n0une marche aléatoire biaisée surZ, i.e.Sn=X1++XnavecXii.i.d. et

P(Xi= 1) =petP(Xi=1) = 1p.

1.

T rouvertel queSnsoit une martingale.

2. Soien ta,betTcomme dans l"exercice précédent. CalculerP(ST=b). Solution de l"exercice 91.On a E[Sn+1jFn] =SnE[Xn+1] =Snp+ (1p)1. Le processus(Sn)est donc une martingale ssi p+ (1p)1= 1;

ce qui est une équation de degré2en. En la résolvant, on obtient= 1(ce qui n"est pas très

intéressant) ou=1pp 6

2.En reprenan texactemen tle raisonnemen tde l"exercice précéden t(question 1), on trouv e

P(ST=b) =1a1a+b

avec=1pp

Notons que si par exemplep >12

, alors <1donc, en faisant tendrebvers+1, on obtient

P(Ta<+1) = 1a= 11pp

a poura0, oùTa= minfn0jSn=ag. On en déduit queminfSnjn0gsuit une loi géométrique de paramètre=1pp

Exercice 10(Un contre-exemple)

Trouver un processus(Mn)n0avecE[jMnj]<+1pour toutn0et tel queE[Mn+1jMn] =Mnpour toutn0, mais sans queMsoit une martingale.

Solution de l"exercice 10On considère une marche aléatoire simple démarrant de0avec des pas indépen-

dants1, mais au premier retour en0, la marche est obligée de faire le même pas que son tout premier.

Pourn1, on a alors

E[Mn+1jFn] =8

:M nsiMn6= 0,

1siMn= 0etM1=1,

1siMn= 0etM1= 1.

En particulier,E[Mn+1jFn]6=MnsiMn= 0, doncMn"est pas une martingale.

Exercice 11(Une fausse blague)

Un mathématicien, un économiste et un trader discutent dans un bar. L"économiste dit :

" La valeur en euros d"un dollar au cours du temps est une martingale! Sinon, il serait possible de gagner

de l"argent en moyenne, en achetant et vendant des dollars au bon moment! »

Le mathématicien répond :

" Mais si cela est vrai, d"après l"inégalité de Jensen pour l"espérance conditionnelle, la valeur en dollars

d"un euro est une sous-martingale! »

Le trader ne dit rien, réfléchit quelques secondes, puis s"enfuit en courant pour aller acheter des euros.

Qu"en pensez-vous?

Solution de l"exercice 11Pour commencer, le mathématicien a bien sûr raison. SoitMune martingale

strictement positive pour une filtration(Fn). La fonction inverse est convexe, donc l"inégalité de Jensen

conditionnelle donne

EM1n+1jFnE[Mn+1jFn]1=M1n;

donc(M1n)n0est bien une sous-martingale. De plus, siMn+1n"est pasFn-mesurable (ce qui doit être

le cas en pratique), alors l"inégalité est stricte. Enfin, siMnest la valeur en euros d"un dollar, alorsM1nest la valeur en dollars d"un euro, donc le cours euro/dollar serait une sous-martingale stricte.

Le raisonnement du trader est le suivant. Si le cours euro/dollar est une sous-martingale stricte, alors

en achetant des euros aujourd"hui pour le revendre demain, l"espérance du gain en dollar est strictement

positive. Il faut donc le faire! D"un autre côté, cette réaction semble bizarre : elle suggère qu"on aurait

systématiquement intérêt à acheter des euros pour les vendre le lendemain, alors que le même raison-

nement donnerait l"inverse si on échangeait les rôles de l"euro et du dollar. C"est donc que l"affirmation

de l"économiste doit être fausse : le taux euro/dollar et le taux dollar/euro seraient tous les deux des

sous-martingales!

Cela signifierait qu"en achetant un jour des euros et en les revendant le lendemain, l"espérance de

gains en dollars serait positive. On a donc à nouveau l"impression de pouvoir gagner à tout les coups!

Cependant, le cas où l"on gagne des dollars est le cas où le cours du dollar a baissé, donc si on se retrouve

avec plus de dollars, alors chacun de ces dollars vaut moins qu"au début. On a donc une espérance de

gains en dollars positive, mais une fois les dollars convertis en marchandises, l"espérance de gain devrait

devenir nulle. 7

5 Deux images intéressantes

Exercice 121.Les images ci-dessus on t-ellesl"air de représen terdes martingales ? 2.

Que représ entent-elles?Expliquer p ourquoiles pro cessusreprésen tésdevraien têtre des martingales.

3.

Que p eut-onen conclure ?

Solution de l"exercice 121.La première image ne ressem blepas à une martingale, car le pro cessusobserv éa tendance à con tinuer

à augmenter s"il vient d"augmenter, et à diminuer s"il vient de diminuer. Une martingale devrait en

moyenne autant augmenter que diminuer si elle vient d"augmenter.

Pour la seconde, c"est difficile à dire : le processus semble progresser par grands sauts. Comme on

n"observe qu"un petit nombre de ces sauts, on ne peut pas vraiment se faire une idée de leur loi. 2.

La première image vien tdu site du New Y orkT imes,la n uitdes de rnièresélections présiden tielles

américaines. À chaque instantt, un algorithme donnait en direct, en fonction des résultats par-

tiels disponibles à l"instantt, la probabilité que chacun des deux candidats remporte l"élection

présidentielle.

Si on noteFtla tribu engendré par les résultats partiels disponibles à l"instantt, alors(Ft)est une

filtration, et le processus à l"instanttdevrait être égal à la probabilité, conditionnellement àFt,

qu"un certain candidat remporte l"élection. Or, si(Ft)est une filtration etXune variable aléatoire,

on sait que(E[XjFt])t0est une martingale.

La seconde image vient du site Five Thirty Eight. Elle a été obtenue en suivant la même idée,

mais en cherchant à prédire le résultat final d"un match de foot. Les sauts correspondent aux buts

marqués par une des deux équipes, le sens d"un saut indiquant l"équipe qui vient de marquer.

8

3.On p euten conclure que l"algorithme utilisé par le New Y orkT imesn"est probablemen tpas tout

à fait au point : au moment où les courbes se sont croisées, le candidat rouge avait en fait déjà de

fortes chances de remporter l"élection. Pour l"algorithme de Five Thirty Eight, il est plus difficile

de se prononcer (d"autant que le match étudié a été choisi exprès pour la forme "intéressante" de

la courbe). 9quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16