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Exercice 1 (Vrai ou faux) Soit (Sn) une marche aléatoire simple symétrique sur Z et Fn = σ(S0,S1, ,Sn) Lesquelles des variables suivantes sont des temps 

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17 oct 2018 · T = min{n ∈ N,Sn = −a ou Sn = b} On pourra admettre dans un premier temps que T < +∞ p s (c'est une conséquence de l'exercice 6)

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Université d'Angers 2010-11 TD Processus Stochastiques 1 : Temps d'arrêt Exercice 1 Aujourd'hui lundi, vous avez un dollar dans votre tirelire `A partir de

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Le processus stochastique (Yn)n∈N est donc une martingale Exercice 3 : Propriétés des temps d'arrêt Soit (Fn)n∈N une filtration et soient S et T deux temps d 

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Processus stochastiques et temps d'arrêt Exercices Geneviève Gauthier Dernière mise à jour : 13 mars 2004 Exercice 2 1 Aujourd'hui lundi, vous avez un 

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des questions Exercice 1 Les questions de cet exercice sont indépendantes est la martingale Mλ arrêtée au temps d'arrêt T, et qui est donc également une

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Corrigé des exercices du chapitre 5 – Temps d'arrêt Exercice 5 1 Démontrer la Proposition 5 3 1 : 1 Si N et M sont des temps d'arrêt, alors N ∧ M et N ∨ M 

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2 Etant donné un F-temps d'arrêt τ, on peut définir la tribu Fτ = {A ∈ A : A ∩ {τ ≤ t}∈Ft,t ≥ 0} Par définition, une variable aléatoire Z est Fτ -mesurable si et 

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temps d'arrêt par rapport à une filtration constante ? Solution : 1 Non, si Ω = {1 en étant en plus centré, et l'exercice revient à montrer que Zn := Y 2 n − E(Y 2

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Le but de l'exercice est d'étudier la loi de T 1 Montrer que (Xn) est une martingale et que T est un temps d'arrêt relativement à In 2 

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Master 1 MIM TD Processus stochastiques

Universite d'Angers 2010-11

TD Processus Stochastiques 1 : Temps d'arr^et

Exercice 1Aujourd'hui lundi, vous avez un dollar dans votre tirelire.A partir de demain matin et ce, tous les matins jusqu'a vendredi inclusivement, vous tirez a pile ou face pour savoir si vous retirez un dollar (si possible) de la tirelire (pile) ou si vous y en mettez un (face). Modelisez l'evolution du contenu de votre tirelire en repondant aux questions suivantes :

1. Quel est l'ensemble fondamental?

2. Denissez le processus stochastique que vous utilisez et donnez en la signication. N'ou-

bliez pas de denir ce que vous signiez par une periode de temps.

3. Quelle tribu utilisez-vous pour construire votre espace probabilisable?

4. Quelles sont les tribus de la ltration engendree par le processus pour les journees de

lundi, mardi, mercredi et vendredi?

5. Interpretez, en fonction de l'information disponible, la structure d'information que vous

avez construite a la question precedente pour la journee du mercredi.

6. Quelle est la distribution du contenu de la tirelire vendredi midi?

7. Demontrez que le premier instant ou la tirelire est vide est un temps d'arr^et.

Exercice 2On lance deux des et on observe le nombreXde points sur le premier et le nombreYde points sur le deuxieme. Nous recevrons un paiment d'un montant de max (X;Y) au temps=min(X;Y). Le processusfSt:t2 f1;2;:::;6ggmodelise l'evolution des paiments qui nous seront verses.

1. Quel est l'ensemble fondamental?

2. Determinez la ltrationfFt:t2 f1;2;:::;6ggengendree par le processus stochastique

S t:t2 f1;2;:::;6gg.

3. Est-ce que t est unfFt:t2 f1;2;:::;6gg-temps d'arr^et? Justiez votre reponse.

Exercice 3Un collectionneur de cartes POKEMON achete des pochettes d'une carte qu'il colle dans une pochette ayantmemplacement.On noteTnl'achat ou il obtient unenieme carte dierente. On poseUn=TnTn1.

1. Determiner la loi de (U1;:::;Um).

2. Les v.a. (Un) sont-elles independantes?

3. Calculer la fonction generatrice deTmet en deduire son esperance.

1

Exercice 4

On considere une suite independante de lancers d'une piece (probabilite de pile egalep). On noteYnla variable aleatoire egale a 1 si on obtient un pile au lancern. Un joueur decide de s'arreter des qu'il obtient pile. Modeliser cette situation a l'aide d'un temps d'arr^et. Verie-t-on l'identite de Wald? En deduire l'esperance du temps d'arr^et. Exercice 5Deux joueurs possedant initialement des fortunes deretnrdollars respectivement (retnsont des entiers positifs tels quer < n), misent et jouent jusqu'a la ruine de l'un d'eux. Disons que le deuxieme joueur represente le croupier tandis que le premier joueur determine la mise. Ce dernier gagne sa mise avec probabilitep(0< p <1) ou la perd avec probabiliteq= 1p, et ce, independamment de l'histoire du jeu. Les seules mises possibles sont des multiples d'un dollar et il n'y a pas d'emprunt possible.Etudions deux strategies populaires pour ce jeu :

1. l'approche audacieuse qui consiste pour le premier joueur a miser a chaque tour le mini-

mum entre sa fortune personnelle et le montant requis pour sa victoire;

2. l'approche timide qui consiste pour le premier joueur a miser un dollar a chaque tour.

Supposons queXtrepresente la fortune du premier joueur apres letieme jeu lorsque ce dernier emploi la strategie timide. La variable aleatoireYtrepresente la fortune du premier joueur apres lenieme jeu lorsque ce dernier emploi la strategie audacieuse.

3. Pour les ns de cet exercice, nous supposerons que les joueurs jouent a pile ou face avec un

sou possiblement mal balance. Le premier joueur remporte sa mise si le sou tombe du c^ote pile et la probabilite d'obtenir pile lors d'un lance de ce sou est dep. Nous etudierons les resultats des quatre premiers lancers seulement. Le croupier debute avec 4 dollars tandis que le premier joueur possede initialement 6 dollars. (a) Quel est l'ensemble fondamental correspondant a cette experience aleatoire? (b) Quelle tribu utilisez-vous pour construire votre espace probabilisable? (c) Quelles sont les tribus de la ltration engendree par le processusX=fXt:t2 f0;1;2;3;4ggpour les instants 0, 1, 2 et 4? (d) Quelles sont les tribus de la ltration engendree par le processusY=fYt:t2 f0;1;2;3;4ggpour les instants 0, 1, 2 et 4? (e) Interpretez, en fonction de l'information disponible, la structure d'information que vous avez construite a la question c) pour l'instantn= 3. (f) Donnez les fonctions de masse deX4et deY4. Pour les prochaines questions, nous ne nous limiterons pas a l'etude des quatre premiers lancers mais laisserons le jeu se poursuivre jusqu'a la ruine d'un des deux joueurs. (g) Soit la variable aleatoire t donnant l'instant auquel le jeu s'est arr^ete, c'est-a-dire que(!) =minft2 f0;1;2;:::g:Xt= 0 ouXt=ng. Montrer queest un temps d'arr^et. 2quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15