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2009 - Université Paris VI

Master 1 : Introduction au calcul stochastique pour la finance (MM054) TD 3 et 4 : Processus à temps discret et Martingales

1. Questions basiques sur les filtrations1. Une union de tribus est-elle toujours une

tribu?

2. Soit(Fn)une filtration (suite croissante de tribus) d"un ensemble

.[n2NFnest-elle toujours une tribu?

3. Que dire d"une martingale (resp. d"une sous-martingale, d"une sur-martingale) par

rapport à une filtration constante (i.e. telle queFn=F0pour toutn)? Que dire d"un temps d"arrêt par rapport à une filtration constante?

Solution :1. Non, si

=f1;2;3g, alorsF=f;; ;f1g;f2;3gg,G=f;; ;f1;2g;f3gg sont des tribus, mais pasF[Gcarf2g=f2;3g \ f1;2g=2F[G.

2. Non, si l"on prend

= [0;1[, et pour toutn,Fn=([(i1)=2n;i=2n[;i= 1;;2n), alors[n2NFnest l"ensemble des unions finies d"intervalles du type[(i1)=2n;i=2n[, avec n0,i= 1;;2n. Cet ensemble n"est pas une tribu, sinon, il serait égal à la tribu qu"il engendre, et la tribu qu"il engendre est l"ensemble des boréliens de , par densité des nombres dyiadiques dans

3. C"est une suite p.s. constante (resp. p.s. croissante, décroissante) d"éléments de

1mesurables par rapport à cette tribu. Un temps d"arrêt par rapport à une filtration

constante est une v.a. à valeurs dansNmesurable par rapport à cette tribu.

2. Conditionnement et indépendance1. SoientXetYdeux variables aléatoires

indépendantes de lois de Bernoulli de paramètresp;q2]0;1[. On poseZ=?fX+Y=0get

G=(Z). CalculerE(Xj G)etE(Yj G).

2. Ces deux variables aléatoires sont-elles indépendantes?

3. SoientZ;Tdes variables aléatoires définies sur un même espace de probabilité

;A;P)à valeurs dans des espaces mesurables quelconques(

0;A0),(

00;A00)telles que

pour toute sous-tribuBdeA, pour toutes fonctions numériques mesurables bornées f;gdéfinies respectivement sur(

0;A0),(

00;A00),E(f(Z)jB)etE(g(T)jB)sont indé-

pendantes. Montrer queZouTest p.s. constante. Solution :1. Les ensemblesfZ= 0getfZ= 1gforment une partition de qui engendreG. Ainsi,

E(XjG) =E(XjZ= 0)?fZ=0g+E(XjZ= 1)?fZ=1g:

SurfZ= 0g,X= 0p.s et doncE(XjZ= 0) = 0. De plus,

E(XjZ= 1) =P(X= 1)P(X+Y1)

P(X= 1)1P(X+Y= 0)

p1(1p)(1q)=pp+qpq: 1

Ainsi,

E(XjG) =pp+qpq?fZ1g:

Les rôles deXetYétant symétriques,

E(YjG) =qp+qpq?fZ=1g:

2. Les variables aléatoiresE(XjG)etE(YjG)sont donc proportionnelles p.s et non

constantes, elles ne sont donc pas indépendantes.

3. Supposons que niZ, niTne soient p.s. constantes. Alors il existe les ensembles

mesurablesA;Bdes espaces d"arrivée respectifs deZ;Ttels queX:= 1A(Z);Y:= 1B(T) soient des v.a. de loi de Bernouilli de paramètresp;q2]0;1[.XetYsont indépendantes

(par hypothèse en conditionnant avec la tribuA). Par ce qui précède, l"hypothèse est mise

en défaut.

3. Rappels : Martingales et sur-martingales.

On se place sur une espace de probabilité(

;F;P)muni de la filtrationF= (Fn)n0.

1. SoitY2L1. On définit le processusX= (Xn)n0parXn=E(Yj Fn). Montrer

queXest uneF-martingale.

2. Soit(Xn)une sous-martingale et une fonction convexe croissante':R7!Rtelle

que pour toutn,'(Xn)2L1. Montrer que('(Xn))n0est une sous-martingale pourF.

3. Soit(Xn)une sous-martingale etK2R. Montrer que(Xn_K)n0est une sous-

martingale pourF.

4. On suppose queY2L1estFNmesurable et on définitZ= (Zn)nNparZN=Y

etZn=n_E[Zn+1j Fn]pournN1où= (n)n0estFadapté et borné. Montrer queZest une sur-martingale.

5. Soit(Xn)une martingale etH= (Hn)n0un processusF-prévisible borné. On

définitV= (Vn)n0parVn=Pn k=1Hk(XkXk1)pourn0. Montrer queVest une martingale pourF.

6. Montrer qu"un processus prévisible intégrable est une martingale ssi il est p.s.

constant.

7. Soit(Xn)une martingaleL2et telle queXn+1Xnest indépendant deFnpour

toutn0. Montrer queW= (Wn)n0défini parWn= (XnE[Xn])2Var(Xn)pour n0est une martingale. Solution :1. C"est simplement une application de la transitivité de l"espérance condi- tionnelle : siB Asont des tribus, alors pour toutX2L1,E(XjB) =E(E(XjA)jB).

2. On a, pour toutn,

E('(Xn+1)jFn)'(E(Xn+1jFn))'(Xn)

car'est convexe et croissante et(Xn)une sous-martingale.

3. C"est une application de la question précédente pour'(x) =x^K.

4. a)Znest clairement adapté et on montre par récurrence décroissante queZn, su-

premum de deux fonctions intégrables, est intégrable. b) Pour toutn,ZnE[Zn+1j Fn]. 2

5. Tout d"abord, comme somme de produit de v.a.Fn-mes,VnestFn-mes. Ensuite,

V nest clairementL1car lesHksont bornés et lesXksontL1. Enfin, E(Vn+1jFn) =Vn+E(Hn+1(Xn+1Xn)jFn) =Vn+Hn+1E(Xn+1XnjFn) =Vn:

6. Tout processus p.s. constant est une martingale et réciproquement, siH= (Hn)n0

un processusF-prévisible et uneF-martingale, on a pour toutn, p.s. H n=E(Hn+1jFn) =Hn+1:

7. PosonsYn=XnE[Xn]. Ce processus satisfait les mêmes hypothèses queXn

en étant en plus centré, et l"exercice revient à montrer queZn:=Y2nE(Y2n)est une martingale. Notons que l"on a alorsE(Yn+1Yn) =E(Y2n)(commencer par conditionner par F n). Par ailleurs, par indépendance, on aE((Yn+1Yn)2jFn) =E((Yn+1Yn)2):Il en résulte, en écrivant Z n+1Zn=Y2n+1Y2nE(Y2n+1)+E(Y2n) = (Yn+1Yn)2+2Yn+1Yn2Y2nE(Y2n+1)+E(Y2n); que l"on aE(Zn+1ZnjFn) = 0:

4. Une application du théorème d"arrêt.

On considère une suiteXn=nX

i=1 i, avec(i)i1v.a.i.i.d. de loi12 (1+1). On introduit la filtrationFn=(1;:::;n). Soita <0< bentiers. On définitTa;b= inffn1;Xn= aoubg.

1. Que peut-on dire de(Xn)et deTa;b?

2. Montrer queTa;best presque sûrement fini (on pourra considérer, pourp2N,

l"événementAp=fp(ba)+1==p(ba)+(ba)= 1g).

3. Donner la loi deXTa;b.

Solution :1. Lesiétant indépendants et centrés,Xnest une martingale par rapport

à la filtrationFn.Ta;best un temps d"arrêt.

2. Les événementsApsont indépendants, de probabilité>0, donc on est presque sûr

que l"un d"entre eux se produira. Mais pour toutp, surAp,Ta;bp(ba)+(ba). Donc T a;best presque sûrement fini.

3. Appliquons le théorème d"arrêt : on sait que pour toutn2N,E(XTa;b^n) =E(X0) =

0. Par convergence dominée, en faisant tendrenvers l"infini, par convergence dominée

(car pour toutn,aXTa;b^nb), on obtient, commeTa;best presque sûrement fini :

E(XTa;b) = 0, soit

aP(XTa;b=a) +bP(XTa;b=b) = 0; ce qui permet de conclure, avec

P(XTa;b=a) +P(XTa;b=b) = 1:

5. Martingales exponentielles.

On reprend l"exercice précédent et on définit le processusZ= (Zn)n0parZn=eXn pourn0. 3

1. Montrer queZest une sous-martingale pourF.

2. Trouver un processusF-prévisibleB= (Bn)n0issu de1en0tel queU= (Un)n0

défini parUn=BnZnpour chaquen0soit une martingale.

3. DonnerE[Zn]pour toutn0.

Solution :1. Il suffit de remarquer queexpest croissante et convexe.

2. On aXn+1=Xn+n, donc

E(Zn+1jFn) =ZnE(en+1jFn) =Zncosh(1)

par indépendance. DoncBn= cosh(1)nconvient.

3.E(Un)est constante égale à un, doncE(Zn) = 1=Bn.

6. Jeu de pile ou face et temps d"arrêts.

On considère deux joueurs qui jouent à pile ou face. Le joueur 1 donne (resp. reçoit) 1

euro si face apparaît (resp. si pile apparaît). Le jeu est répété plusieurs fois. On modélise

le jeux comme suit. SoitX= (Xn)n1une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi de BernouilliB(1=2)définie sur un espace de probabilité( ;F;P). L"évènementfXn= 1g signifie que pile est apparu aun-eme tirage. On définit la suiteY= (Yn)n0parYn=Pn i=1(2Xi1)pourn0. Le processusYcorrespond à la richesse du joueur 1 après les différents tirages. Après chaque tirage, les joueurs connaissent la valeur obtenue aux

tirages précédents, leur information peut donc être modélisée par la filtrationF= (Fn)n0

oùFn=(Xk; kn).

1. Ecrire la dynamique deY(i.e. la relation entreYn+1etYn) et montrer que c"est une

martingale pourF.

2. Le joueur 1 décide d"arrêter de jouer si il a déjà gagné 100 euros où si le nombre

de tirages atteintN2Net le joueur 2 est disposé à continuer à jouer jusqu"à ce que le joueur 1 s"arrête : le jeux s"arrête au temps:= inffn0 :Yn= 100g ^N. Montrer queest unF-temps d"arrêt, i.e. quefng 2 Fnpour toutn0.

3. Quelle est, avec cette stratégie, l"espérance de gain du joueur 1?

4. Y a-t-il une stratégie qui donne au joueur 1 une espérance un gain strictement

positive en un temps borné? Autrement dit, existe-t-il une v.a.à valeur dansN, bornée, telle que pour toutn,f=ng 2 Fnet telle queE(Y)>0?

5. SoitM2Net= inffn0jYn=Mg.est-elle bornée p.s.?

Solution :1. Les v.a.X0i:= 2Xi1sont indépendantes et centrées, la tribu engendrée parX01;:::;X0nestFn, doncYnest uneF-martingale.

2. Pour toutn,fng=

2 FnsinNetfng=fY1100g [ [ fYn

100g 2 Fn.

3. L"espérance de gain du joueur 1 si le jeu s"arrête enestE(Y). Or on sait (théorème

d"arrêt) que(Zn:=Yn^)nest une martingale. De plus,=^N. Donc

E(Y) =E(ZN) =E(Z0) = 0:

4. Une telle v.a.est un temps d"arrêt, donc(Hn:=Yn^)nest une martingale, et si

Kentier est tel queKp.s., alors,Y=HKp.s., doncE(Y) =E(HK) =E(H0) = 0.

Donc il n"existe pas de telle stratégie.

5. Par la question précédente, la réponse est non.

7. Doubling strategies.On considère un jeu répété avec tirages indépendants et même

probabilité de succès que d"échec à chaque tirage. A chaque coup, on mise un montantx, que l"on remporte si on gagne et que l"on paye si on perd. Un joueur, partant de fortune initiale nulle, suit la stratégie suivante. Il joue1au premier tour et si sa dette est de Daunème tirage, il mise un montant2Dau tirage suivant (somme qu"il finance par emprunt) et s"arrête de jouer la première fois qu"il gagne. On suppose que les emprunts sont sans intérêt. On pourra faire comme si les tirages continuent après que le joueur aie arrêté de jouer, mais sa fortune n"évolue plus.

1. Modéliser le jeu en introduisant un espace de probabilité muni d"une filtration

adéquate. Donner l"espérance de la fortune du joueur après len-ème tirage.

2. Montrer que le joueur gagne en un nombre de coups fini avec probabilité1. Ce

nombre est-il presque sûrement borné? Solution :1. Introduisons une suite(Xi)de vaiid valant1avec probas1=2;1=2 représentant les tirages successifs (1 =succès,1 =échec). Soit= minfi=Xi= 1g. Alors la fortune du joueur au tempsnest(Zn^), oùZ0= 0,Z1=X1et pour toutn1, Z n+1=(

3ZnsiXn+1=1,

Znsinon.

Il faut donc calculerE(Zn^). Pour ce faire, on va montrer que(Zn)est une martingale par rapport à la filtrationFn:=(X1;:::;Xn). Le processus est clairement a dapté, jZnj 3ndonc on a intégrabilité, et l"égalité de martingale peut se monter en écrivant

8n1;Zn+1=Zn(12Xn+1)

8n1;Zn+1=h(Zn;Xn+1)

avech(z;x) = 3zsix <0etzsix0. On en déduit, commeest un temps d"arrêt, queE(Zn^) =E(Z0) = 0.

2. La probabilité que le joueur perde aux coups1;2;:::;nvaut2n. Ces événement

sont imbriques les uns dans les autres, donc la probabilité que le joueur perde tout le temps est la limite de cette probabilité, soit0. Ainsi, le joueur gagne en un nombre de coups fini (égal à) avec probabilité1.n"est pas presque sûrement borné : sinon, on auraitE(Z) =E(Z0) = 0, ce qui est absurde carZ>0. On peut aussi dire que pour toutn, la proba quesoit supérieur ànest2n>0.

8. Une réciproque du théorème d"arrêt.Soit(Xn)n0un processus sur un espace de

probabilité filtré( ;F;(Fn)n0;P)intégrable et adapté. Montrer que, si l"on aE(X) = E(X0)pour tout temps d"arrêt borné, alors(Xn)n0est une martingale.

Solution :

On remarque queE(Xn) =E(X0)pour toutn0. De plus, pourn0, etAun ensembleFn-mesurable, on considère =n?A+ (n+ 1)?Ac:

Pour tout0kn1,fkg=;;fng=A; et pour toutkn+1,fkg=

Donc,est un temps d"arrêt et il est borné. Donc

E(X) =E(Xn?A) +E(Xn+1?Ac) =E(Xn+1)

5 ce qui implique queE(Xn?A) =E(Xn+1?A). Cette égalité étant vérifiée pour tous les ensemblesFn-mesurables, on aE(Xn+1jFn) =Xn. 6quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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2009 - Université Paris VI

1. Questions basiques sur les filtrations1. Une union de tribus est-elle toujours une

2. Soit(Fn)une filtration (suite croissante de tribus) d"un ensemble

3. Que dire d"une martingale (resp. d"une sous-martingale, d"une sur-martingale) par

Solution :1. Non, si

2. Non, si l"on prend

3. C"est une suite p.s. constante (resp. p.s. croissante, décroissante) d"éléments de

1mesurables par rapport à cette tribu. Un temps d"arrêt par rapport à une filtration

2. Conditionnement et indépendance1. SoientXetYdeux variables aléatoires

G=(Z). CalculerE(Xj G)etE(Yj G).

2. Ces deux variables aléatoires sont-elles indépendantes?

3. SoientZ;Tdes variables aléatoires définies sur un même espace de probabilité

0;A0),(

00;A00)telles que

0;A0),(

00;A00),E(f(Z)jB)etE(g(T)jB)sont indé-

E(XjG) =E(XjZ= 0)?fZ=0g+E(XjZ= 1)?fZ=1g:

SurfZ= 0g,X= 0p.s et doncE(XjZ= 0) = 0. De plus,

E(XjZ= 1) =P(X= 1)P(X+Y1)

P(X= 1)1P(X+Y= 0)

Ainsi,

E(XjG) =pp+qpq?fZ1g:

Les rôles deXetYétant symétriques,

E(YjG) =qp+qpq?fZ=1g:

2. Les variables aléatoiresE(XjG)etE(YjG)sont donc proportionnelles p.s et non

3. Supposons que niZ, niTne soient p.s. constantes. Alors il existe les ensembles

3. Rappels : Martingales et sur-martingales.

On se place sur une espace de probabilité(

1. SoitY2L1. On définit le processusX= (Xn)n0parXn=E(Yj Fn). Montrer

2. Soit(Xn)une sous-martingale et une fonction convexe croissante':R7!Rtelle

3. Soit(Xn)une sous-martingale etK2R. Montrer que(Xn_K)n0est une sous-

4. On suppose queY2L1estFNmesurable et on définitZ= (Zn)nNparZN=Y

5. Soit(Xn)une martingale etH= (Hn)n0un processusF-prévisible borné. On

6. Montrer qu"un processus prévisible intégrable est une martingale ssi il est p.s.

7. Soit(Xn)une martingaleL2et telle queXn+1Xnest indépendant deFnpour

2. On a, pour toutn,

E('(Xn+1)jFn)'(E(Xn+1jFn))'(Xn)

3. C"est une application de la question précédente pour'(x) =x^K.

4. a)Znest clairement adapté et on montre par récurrence décroissante queZn, su-

5. Tout d"abord, comme somme de produit de v.a.Fn-mes,VnestFn-mes. Ensuite,

6. Tout processus p.s. constant est une martingale et réciproquement, siH= (Hn)n0

7. PosonsYn=XnE[Xn]. Ce processus satisfait les mêmes hypothèses queXn

4. Une application du théorème d"arrêt.

On considère une suiteXn=nX

1. Que peut-on dire de(Xn)et deTa;b?

2. Montrer queTa;best presque sûrement fini (on pourra considérer, pourp2N,

3. Donner la loi deXTa;b.

à la filtrationFn.Ta;best un temps d"arrêt.

2. Les événementsApsont indépendants, de probabilité>0, donc on est presque sûr

3. Appliquons le théorème d"arrêt : on sait que pour toutn2N,E(XTa;b^n) =E(X0) =

0. Par convergence dominée, en faisant tendrenvers l"infini, par convergence dominée

E(XTa;b) = 0, soit

P(XTa;b=a) +P(XTa;b=b) = 1:

5. Martingales exponentielles.

1. Montrer queZest une sous-martingale pourF.

2. Trouver un processusF-prévisibleB= (Bn)n0issu de1en0tel queU= (Un)n0

3. DonnerE[Zn]pour toutn0.

2. On aXn+1=Xn+n, donc

E(Zn+1jFn) =ZnE(en+1jFn) =Zncosh(1)

3.E(Un)est constante égale à un, doncE(Zn) = 1=Bn.

6. Jeu de pile ou face et temps d"arrêts.

1. Ecrire la dynamique deY(i.e. la relation entreYn+1etYn) et montrer que c"est une

2. Le joueur 1 décide d"arrêter de jouer si il a déjà gagné 100 euros où si le nombre

3. Quelle est, avec cette stratégie, l"espérance de gain du joueur 1?

4. Y a-t-il une stratégie qui donne au joueur 1 une espérance un gain strictement

5. SoitM2Net= inffn0jYn=Mg.est-elle bornée p.s.?

2. Pour toutn,fng=

2 FnsinNetfng=fY1100g [ [ fYn

100g 2 Fn.

3. L"espérance de gain du joueur 1 si le jeu s"arrête enestE(Y). Or on sait (théorème

E(Y) =E(ZN) =E(Z0) = 0:

4. Une telle v.a.est un temps d"arrêt, donc(Hn:=Yn^)nest une martingale, et si

Donc il n"existe pas de telle stratégie.

5. Par la question précédente, la réponse est non.

7. Doubling strategies.On considère un jeu répété avec tirages indépendants et même

1. Modéliser le jeu en introduisant un espace de probabilité muni d"une filtration

2. Montrer que le joueur gagne en un nombre de coups fini avec probabilité1. Ce

3ZnsiXn+1=1,

Znsinon.