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TD Master 2 { Martingales et calcul stochastique

Corrige des exercices du chapitre 5 { Temps d'arr^et

Exercice 5.1

Demontrer la Proposition 5.3.1 :

1.SiNetMsont des temps d'arr^et, alorsN^MetN_Msont des temps d'arr^et.

La decomposition

fN^M=ng= fN=ng \ fM>ng[ fN>ng \ fM=ng fN=ng \ fM < ngc[ fN < ngc\ fM=ng montre quefN^M=ng 2 Fnpour toutn, et donc queN^Mest un temps d'arr^et.

De m^eme, la decomposition

fN_M=ng= fN=ng \ fM6ng[ fN6ng \ fM=ng montre quefN_M=ng 2 Fnpour toutn, et donc queN_Mest un temps d'arr^et. Remarque :On peut egalement observer queNest un temps d'arr^et si et seulement sifN6ng 2 Fnpour toutn. Cela permet d'utiliser la decomposition fN^M6ng=fN6ng \ fM6ng pour montrer queN^Mest un temps d'arr^et.

2.SiNk,k2N, est une suite de temps d'arr^et telle queNk%N, alorsNest un temps

d'arr^et.

Il sut d'observer que le fait queNk%Nimplique

fN6ng=\ k2NfNk6ng 2 Fn:

Exercice 5.2

Soient1;2;:::des variables aleatoires i.i.d. telles queE(m) = 0, et soit la martingale X n=Pn m=1m. On se donne >0, et soit P n() =Pn max16m6njXmj>o

1.On suppose lesmde variance nie. Donner une majoration dePn()en appliquant

l'inegalite de Doob aX2n. Notons2la variance desm.X2netant une sous-martingale, on a P n() =Pn max16m6nX2m>2o 61

2E(X2n) =n2

2.Ameliorer la borne precedente en appliquant l'inegalite de Doob a(Xn+c)2et en

optimisant surc. Pour toutc >0, (Xn+c)2est une sous-martingale et on a (x7!(x+c)2etant croissante surR+) P n() =Pn max16m6n(Xm+c)2>(+c)2o

61(+c)2E(Xn+c)2=n2+c2(+c)2;

puisqueE(Xn) = 0. Cette borne est minimale pourc=n2=, et donne P n()6n2 2+n2: Contrairement a la premiere borne, celle-ci est toujours inferieure a 1.

3.On suppose que lesmsuivent une loi normale centree reduite. MajorerPn()en

appliquant l'inegalite de Doob aecX2net en optimisant surc. Pour toutc >0, ecX2nest une sous-martingale et on a P n() =Pn max16m6necX2m>ec2o

6ec2EecX2n:

Or commeXnest normale centree de variancen, on a

E ecX2n=Z 1 1 ecx2ex2=2np2ndx=1p12nc; et donc P n()6ec2p12nc: Le meilleure borne est obtenue pour 2nc= 1n=2et donne P n()6pn e(2n)=2n: Cette borne est utile lorsque2n. Dans ce cas elle fournit une decroissance exponentielle en2=2n.

4.Pour desmnormales centrees reduites, majorerPfmax16m6nXm>gen appli-

quant l'inegalite de Doob aecXnet en optimisant surc. Pour toutc >0, ecXnest une sous-martingale et on a P n max16m6nXm>o =Pn max16m6necXm>eco

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