SERIES - bagbouton
a) Si, à partir d’un certain rang, 0 ≤ ≤u vn n et ∑vn converge ALORS ∑un converge b) Si, à partir d’un certain rang, 0 ≤ ≤u vn n et ∑un diverge ALORS ∑vn diverge Démonstration : Il existe un rang n p0 ≥ tel que ∀ ≥ ≤ ≤n n , u v0 0 n n Quitte à modifier un nombre fini de termes des suites (n) n p u ≥ et (n) n
PROF: ATMANI NAJIB Suites - AlloSchool
converge vers un réel ℓ, alors (n √ un) converge et a même limite 2) Etudier la réciproque 3) Application : limites de a) n p Cn 2n b) n n √ n c) 1 n2 n r (3n) Exercice no 16 (*) Soient u et v deux suites de réels de [0,1]telles que lim n→+∞ unvn =1 Montrer que (un)et (vn)convergent vers 1 Exercice no 17 (**) Montrer que
Suites numériques 1 Définitions - Weebly
somme : si (un)et (vn)convergent alors (un+vn)converge; multiplication par un nombre réel : si (un) converge alors pour tout λ∈ R, (λun) aussi Cet ensemble est donc stable par combinaisons linéaires et il est non vide; c’est un 2 4 Suites extraites Définition
Analyse mathématiques II - WordPresscom
nj) converge vers ‘, la suite (un) converge vers ‘ ou vers ¡‘ 18– Si la suite (u n) converge vers ‘, alors la suite (un2) converge vers ‘ 19– Si pour tout n 2 N, u n > p n alors (un) tend vers +1 20– Si à partir d’un certain rang u n 6 vn 6 wn et si les suites (un) et (wn) convergent, alors (vn) converge aussi 21– Si
Exercice 1 - WordPresscom
Alors la suite f(u n) converge vers f(l) 5 La suite u n convergent vers 0, doncu n0 5 Exercice 5 Soitu n= P(n) Q(n
Convergence et limite de suites numériques
elle converge vers – 1 alors que la suite (u n) ne converge pas Si les suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) admettent la même limite , alors toute la suite (u n ) admet aussi cette limite commune On peut donc ramener l’étude de convergence d’une suite à celle des suites de rangs pair et impair qui peuvent
A 1) Définition - WordPresscom
convergent si et seulement si On a alo rs si , en notant ¦ 0 1 1 n n S q q q f : 23 12 12 12 ' 11 nn nn q qq f ¦¦ 3) Séries exponentielles : Pour tout réel x, la série de terme général xn n converge et 0 n x n x e n f ¦ C LINEARITE : Si n np u t ¦ et n np v t ¦ convergent, alors La série nn np uv t ¦ converge et on a n p v f
Voie scientifique
convergent si et seulement si On a alors si , en notant 0 1 1 n n q q f ¦: 23 12 12 12 ' 11 nn nn q qq f ¦¦ 3) Séries exponentielles : Pour tout réel x, la série de terme général xn n converge et 0 n x n x e n f ¦ C LINEARITE : Si n np u t ¦ et n np v t ¦ convergent, alors La série nn np uv t ¦ converge et on a ¦ ¦ ¦ n n
Chapitre 3 - Int´egrales impropres
tne−αt dt converge et vaut n αn+1 La propri´et´e est vraie pourZ n = 0 d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent On la suppose vraie au rang n, on a alors pour x > 0, x 0 tn+1e−αt dt = ipp − 1 α tn+1e−αt + n +1 α Z x 0 tne−αt dt Lorsque x tend vers +∞, la derni`ere int´egrale ´ecrite tend vers n αn+1
Exercices série 14 : Estimateur convergent
Exercices série 14 : Estimateur convergent Exercice 0 Estimateur du paramètre d’une loi de Bernoulli À l’issue d’un scrutin uninominal permettant à plusieurs centaines de millier d’électeurs de départager deux candidats A et B
[PDF] un+1=f(un) exercice
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Suites* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficileI : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le coursExercice no1 (**IT)Soient(un)n?Nune suite réelle et(vn)n?Nla suite définie par :?n?N, vn=u0+u1+...+unn+1.1)Montrer que si la suite(un)n?Nconverge vers un réel?, la suite(vn)n?Nconverge et a pour limite?. Réciproque?2)Montrer que si la suite(un)n?Nest bornée, la suite(vn)n?Nest bornée. Réciproque?3)Montrer que si la suite(un)n?Nest croissante alors la suite(vn)n?Nl"est aussi.Exercice no2 (***)Soit(un)n?Nune suite réelle. Montrer que si la suite(un)n?Nconverge au sens deCésaroet est monotone, alors la suite(un)n?Nconverge.Exercice no3 (**IT)Pournentier naturel non nul, on poseHn=n?k=11k(série harmonique).1)Montrer que :?n?N?,ln(n+1)< Hn< 1+ln(n)et en déduire limn→+∞Hn.2)Pournentier naturel non nul, on poseun=Hn-ln(n)etvn=Hn-ln(n+1). Montrer que les suites(un)et(vn)convergent vers un réelγ??12,1?(γest appelée la constante d"Euler). Donner une valeur approchée deγà10-2près.Exercice no4 (**)Soit(un)n?Nune suite arithmétique ne s"annulant pas. Montrer que pour tout entier natureln, on an?k=01ukuk+1=n+1u0un+1.Exercice no5 (***)Calculer limn→+∞n?k=1112+22+...+k2(on sera amené à déterminer trois réelsa,betctels que pour tout entier naturel nonnulk,6k(k+1)(2k+1)et on utilisera l"exercice no3 : il existe une suite(εn)tendant vers0telle quen?k=11k=lnn+γ+εn).Exercice no6 (**I)(moyenne arithmético-géométrique)Soientaetbdeux réels tels que0 < a < b. On poseu0=aetv0=bpuis, pour tout entier natureln,un+1=⎷unvnetvn+1=un+vn2.Montrer que les suites(un)et(vn)convergent vers une limite commune que l"on ne cherchera pasà calculer (cette limites"appelle la moyenne arithmético-géométrique des nombresaetb).Exercice no7 (***)Soientaetbdeux réels tels que0 < a < b. On poseu0=aetv0=bpuis, pour tout entier natureln,un+1=un+vn2etvn+1=⎷un+1vn.Montrer que les suites(un)et(vn)sont adjacentes et que leur limite commune est égale àbsin?Arccos?ab??Arccos?ab?.1
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Exercice no8 (**I)Soit(un)n?Nune suite réelle ne s"annulant pas. Montrer que si????un+1un????tend vers un réel?élément de[0,1[quandntendvers+∞, alorsuntend vers0quandntend vers+∞.Exercice no9 (**)Limite quandntend vers+∞de1)sinnn2)?1+1n?n3)n!nn4)E??n+12?2?E??n-12?2?5)n⎷n26)⎷n+1-⎷n7)n?k=1k2n38)n?k=12k/22k.Exercice no10 (**)Etudier la suite(un)définie par⎷n+1-⎷n=12⎷n+un.Exercice no11 (**T)(Récurrences homographiques).Déterminerunen fonction denquand la suiteuvérifie :1)?n?N, un+1=un3-2un2)un+1=4(un-1)un(ne pas se poser de questions d"existence).Exercice no12 (**)Soient(un)et(vn)les suites définies par la donnée deu0etv0et les relations de récurrenceun+1=2un+vn3etvn+1=un+2vn3.Etudier les suitesuetvpuis déterminerunetvnen fonction denen recherchant des combinaisons linéaires intéressantesdeuetv. En déduire limn→+∞unet limn→+∞vn.Exercice no13 (**)Même exercice avecun+1=vn+wn2etvn+1=un+wn2etwn+1=un+vn2.Exercice no14 (***)Soituune suite complexe etvla suite définie parvn=|un|.On suppose que la suite(n⎷vn)converge vers un réel positif?.Montrer que si0?? < 1, la suite(un)converge vers0et si? > 1, la suite(vn)tend vers+∞.Montrer que si?=1, tout est possible.Exercice no15 (***I)1)Soituune suite de réels strictement positifs. Montrer que si la suite?un+1un?converge vers un réel?, alors(n⎷un)converge et a même limite.2)Etudier la réciproque.3)Application : limites de a)n?Cn2nb)nn⎷n!c)1n2n?(3n)!n!.Exercice no16 (*)Soientuetvdeux suites de réels de[0,1]telles que limn→+∞unvn=1. Montrer que(un)et(vn)convergent vers1.Exercice no17 (**)Montrer que si les suites(u2n)et(u3n)convergent alors(un)converge.2PROF: ATMANI NAJIB
Exercice no18 (***T)Etudier les deux suitesun=?1+1n?netvn=?1+1n?n+1.Exercice no19 (**T)Même exercice avecun=n?k=01k!etvn=un+1n×n!.Exercice no20 (**T)Même exercice avecun=?n?k=11⎷k?-2⎷n+1etvn=?n?k=11⎷k?-2⎷n.Exercice no21 (**T)Déterminerunen fonction denet de ses premiers termes dans chacun des cas suivants :1)?n?N, 4un+2=4un+1+3un.2)?n?N, 4un+2=un.3)?n?N, 4un+2=4un+1+3un+12.4)?n?N,2un+2=1un+1-1un.5)?n?2, un=3un-1-2un-2+2n.Exercice no22 (***)Montrer que, pourn?2,cos?π2n?=12?2+?2+...+⎷2(n-1radicaux) et sin?π2n?=12?2-?2+...+⎷2(n-1radicaux).En déduire limn→+∞2n?2-?2+...+⎷2(nradicaux).Exercice no23 (***)1)Montrer que pourxréel strictement positif, on a : ln(1+x)< x <(1+x)ln(1+x).2)Montrer quen?k=1?1+1k?k< en2)On suppose dans cette question quea2πest irrationnel .a)Montrer que(un)converge si et seulement si(vn)converge .b)En utilisant différentes formules de trigonométrie fournissant des relations entreunetvn, montrer par l"absurdeque(un)et(vn)divergent.Exercice no29 (***)Calculer infα?]0,π[(supn?N(|sin(nα)|)).Exercice no30 (**I)Soit(un)une suite réelle non majorée. Montrer qu"il existe une suiteextraite de(un)tendant vers+∞.Exercice no31 (***)Soit(un)une suite de réels éléments de]0,1[telle que?n?N,(1-un)un+1>14. Montrer que(un)converge vers12.4PROF: ATMANI NAJIB
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