SERIES - bagbouton
a) Si, à partir d’un certain rang, 0 ≤ ≤u vn n et ∑vn converge ALORS ∑un converge b) Si, à partir d’un certain rang, 0 ≤ ≤u vn n et ∑un diverge ALORS ∑vn diverge Démonstration : Il existe un rang n p0 ≥ tel que ∀ ≥ ≤ ≤n n , u v0 0 n n Quitte à modifier un nombre fini de termes des suites (n) n p u ≥ et (n) n
PROF: ATMANI NAJIB Suites - AlloSchool
converge vers un réel ℓ, alors (n √ un) converge et a même limite 2) Etudier la réciproque 3) Application : limites de a) n p Cn 2n b) n n √ n c) 1 n2 n r (3n) Exercice no 16 (*) Soient u et v deux suites de réels de [0,1]telles que lim n→+∞ unvn =1 Montrer que (un)et (vn)convergent vers 1 Exercice no 17 (**) Montrer que
Suites numériques 1 Définitions - Weebly
somme : si (un)et (vn)convergent alors (un+vn)converge; multiplication par un nombre réel : si (un) converge alors pour tout λ∈ R, (λun) aussi Cet ensemble est donc stable par combinaisons linéaires et il est non vide; c’est un 2 4 Suites extraites Définition
Analyse mathématiques II - WordPresscom
nj) converge vers ‘, la suite (un) converge vers ‘ ou vers ¡‘ 18– Si la suite (u n) converge vers ‘, alors la suite (un2) converge vers ‘ 19– Si pour tout n 2 N, u n > p n alors (un) tend vers +1 20– Si à partir d’un certain rang u n 6 vn 6 wn et si les suites (un) et (wn) convergent, alors (vn) converge aussi 21– Si
Exercice 1 - WordPresscom
Alors la suite f(u n) converge vers f(l) 5 La suite u n convergent vers 0, doncu n0 5 Exercice 5 Soitu n= P(n) Q(n
Convergence et limite de suites numériques
elle converge vers – 1 alors que la suite (u n) ne converge pas Si les suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) admettent la même limite , alors toute la suite (u n ) admet aussi cette limite commune On peut donc ramener l’étude de convergence d’une suite à celle des suites de rangs pair et impair qui peuvent
A 1) Définition - WordPresscom
convergent si et seulement si On a alo rs si , en notant ¦ 0 1 1 n n S q q q f : 23 12 12 12 ' 11 nn nn q qq f ¦¦ 3) Séries exponentielles : Pour tout réel x, la série de terme général xn n converge et 0 n x n x e n f ¦ C LINEARITE : Si n np u t ¦ et n np v t ¦ convergent, alors La série nn np uv t ¦ converge et on a n p v f
Voie scientifique
convergent si et seulement si On a alors si , en notant 0 1 1 n n q q f ¦: 23 12 12 12 ' 11 nn nn q qq f ¦¦ 3) Séries exponentielles : Pour tout réel x, la série de terme général xn n converge et 0 n x n x e n f ¦ C LINEARITE : Si n np u t ¦ et n np v t ¦ convergent, alors La série nn np uv t ¦ converge et on a ¦ ¦ ¦ n n
Chapitre 3 - Int´egrales impropres
tne−αt dt converge et vaut n αn+1 La propri´et´e est vraie pourZ n = 0 d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent On la suppose vraie au rang n, on a alors pour x > 0, x 0 tn+1e−αt dt = ipp − 1 α tn+1e−αt + n +1 α Z x 0 tne−αt dt Lorsque x tend vers +∞, la derni`ere int´egrale ´ecrite tend vers n αn+1
Exercices série 14 : Estimateur convergent
Exercices série 14 : Estimateur convergent Exercice 0 Estimateur du paramètre d’une loi de Bernoulli À l’issue d’un scrutin uninominal permettant à plusieurs centaines de millier d’électeurs de départager deux candidats A et B
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Faculté des Sciences et Techniques de Limoges 2009-10
Préparation concours DEUG des ENSI
S. VinatierRappels de coursSuites numériques
1 Définition, expression
Unesuite de nombres réels(resp.complexes) est une fonction deN, ou d"une partie deN, dansR(resp. dansC). Ainsi la suite(un)n?Nassocie à chaque entier naturelnle nombreun. Exemple : la suite(vn)n≥1définie parvn=n2pour toutn≥1. Plutôt que de donnerundirectement en fonction den, la suite(un)nest souvent définie par récurrence: on donne le premier terme (disonsu0) et on exprimeun+1en fonction deun, pour toutn. Par exemple, étant donné un nombrer(" raison »), on peut produire des suites arithmétiques:an+1=an+ret des suitesgéométriques:gn+1=rgn. De nombreux problèmes sur les suites consistent à passer d"une écriture à l"autre. Exercice 1Donner l"expression dean(resp.gn) en fonction dea0(resp.g0),netrpour tout n; calculer la somme desnpremiers termes de chacune des deux suites. Exercice 2Soita= 0,26 = 0,26262626.... Ecrireacomme somme (infinie) des termes d"une suite géométrique; en déduire une écriture rationnelle dea. On sait multiplier une suite réelle (resp. complexe) par un réel (resp. complexe) et étantdonnés deux suites, on peut définir leurs somme, différence, produit, quotient (à condition que
la seconde ne s"annule pas à partir d"un certain rang). Toutes ces opérations se font simplement
terme à terme. Elles munissent l"ensemble des suites réelles (resp. complexes) d"une structure deR-algèbre (resp.C-algèbre).De plus, dans le cas réel, si on connaît le comportement des suites considérées à l"infini
(voir section suivante), on peut en déduire celui de la suite résultant de l"opération (règle des
signes,...), hormis pour quelques cas indéterminés.2 Propriétés des suites réelles
Etant donnée une suite réelle(un)n, on se demande si elle est croissante / décroissante (à
partir d"un certain rang), majorée / minorée / bornée, convergente / divergente. Exercice 3Que signifie "(un)nest majorée à partir du rangn0»? Montrer que ceci estéquivalent à "(un)nest majorée ».
Quelques définitions indispensables :
1 •(un)nestconvergentes"il existe??Rtel que(un)nconverge vers?; •(un)nconverge vers??Rsi?ε >0,?n0?N, n≥n0? |un-?|< ε; •(un)nestdivergentesi elle n"est pas convergente. Exercice 4Ecrire la définition de l"assertion(un)ntend vers+∞. Une telle suite est-elle convergente? Donner un exemple. Si les termes de la suite(un)nsont donnés en fonction den, disonsun=f(n)pour toutn,c"est (souvent) l"étude des propriétés de la fonctionfqui permettra de déterminer les propriétés
de la suite(un)n. Exercice 5Montrer quefcroissante entraîne(un)ncroissante; construire un contre-exempleà la réciproque.
Du fait que toute partie majorée non vide deRadmet une borne supérieure, on déduit la très importante propriété : Proposition 1Toute suite croissante et majorée converge. On montre en fait que la borne supérieure de l"ensemble des termes de la suite est sa limite. Ilsuffit bien sûr que la suite soit croissante et majorée à partir d"un certain rang. On en déduit
aisément quetoute suite décroissante et minorée converge(considérer la suite opposée). Enfin,
si la suite est majorée parM?R, sa limite sera inférieure ou égale àM. Ceci est un cas particulier du résultat suivant (pourquoi?) : On utilisera aussi le fameuxthéorème des gendarmes: et(wn)nconvergent vers la même limite?, alors(vn)naussi. Enfin, deux suites(un)net(vn)nsont ditesadjacentessi l"une est croissante, l"autre décroissante et la différenceun-vntend vers0. Proposition 4Deux suites adjacentes convergent vers la même limite. Par exemple, les suites desvaleurs décimales approchéesà l"ordrenpar défaut(dn)net par excès(en)nd"un réelasont adjacentes, et convergent versa. Considérons maintenant le cas d"une suite définie par récurrence:u0fixé etun+1=f(un), ce qui n"est possible que siunappartient au domaine de définitionDdefpour toutn; il suffit pour cela d"avoiru0? Detf(D)? D, ce que l"on suppose désormais. Exercice 6Démontrer par récurrence que(un)nest monotone sifest croissante surD. 2Dans ce cas, il suffit alors d"établir que(un)nest bornée pour montrer qu"elle converge. Sifest
décroissante surD, alorsf◦fest croissante et on considère les sous-suites(u2n)net(u2n+1)n (voir section suivante). On a la condition nécessaire suivante pour qu"un nombre soit limite de la suite. Proposition 5Sifest continue surDet si(un)nconverge vers?? D, alors?est un point fixe def, c"est-à-diref(?) =?. L"existence d"un point fixe est assurée sous les hypothèses suivantes. Proposition 6On suppose queD=Iest un intervalle fermé deRet quefestcontractante surI:f(I)?Iet il existek?[0,1[tel que, pour tousx,y?I, Alorsfa un unique point fixe dansI, vers lequel la suite(un)nconverge.3 Sous-suites, suites de Cauchy, comparaison
Les suites considérées dans cette section sont indifféremment réelles ou complexes. On appellesous-suiteousuite extraitede(un)ntoute suite de la forme(u?(n))n, où?est une application strictement croissante deNdansN, ce qui signifie que l"ordre dans lequel sont rangés les termes n"est pas modifié. Proposition 7(un)nconverge vers?si et seulement si toute sous-suite de(un)nconverge vers On peut en déduire :si(u2n)net(u2n+1)nconvergent vers la même limite, alors(un)naussi.Autre façon d"utiliser ce résultat : la suite constante égale à 1 et la suite constante égale à-1
sont deux sous-suites de ((-1)n)n, qui est donc divergente. Cet exemple de suite illustre aussi la propriété suivante. Proposition 8 (Bolzano-Weierstrass)De toute suite bornée, on peut extraire une sous- suite convergente. On appellevaleur d"adhérencede(un)nla limite d"une sous-suite convergente. Exercice 7Montrer que 1 est valeur d"adhérence de la suite(e2iπ⎷n )n. Cette suite converge- t-elle? On dit que la suite(un)nvérifiela condition de Cauchysi ?ε >0,?n0?N,(n,m≥n0=? |un-um|< ε).On rappelle qu"un corps estcompletsi toute suite d"éléments du corps qui vérifie la condition
de Cauchy converge. On sait queRetCsont complets, en d"autres termes : Proposition 9Une suite réelle ou complexe converge si et seulement si elle est de Cauchy. 3Cette propriété fournit une méthode pour montrer qu"une suite converge sans avoir à détermi-
ner sa limite, ou pour montrer qu"une suite diverge :Exercice 8Pourn≥1, on noteun= 1 +12
+13 +···+1n . Montrer queu2n-un≥12 pour toutn. La suite converge-t-elle? Citons pour mémoire le théorème deCesaro: Proposition 10Soit(un)nune suite (réelle ou complexe) qui converge vers?, alors la suite de terme général u0+u1+···+unn converge aussi vers?. Terminons avec les notions de comparaisons de suites. Étant données deux suites(un)net (vn)n, on définit les notions suivantes :•(un)net(vn)nsontéquivalentes, notéun≂vn, s"il existe(εn)ntelle queun= (1 +εn)vn
pour toutnet(εn)ntend vers 0; •(un)nestnégligeabledevant(vn)n, notéun=o(vn)ouun<< vn, s"il existe(εn)ntelle queun=εnvnpour toutnet(εn)ntend vers 0; •(un)nestdominéepar(vn)n, notéun=O(vn), s"il existe(εn)ntelle queun=εnvnpour toutnet(εn)nbornée.Noter que≂est effectivement unerelation d"équivalence(réflexive, symétrique, transitive),
tandis queoetOsont seulement transitives; lorsque(vn)nest non nulle à partir d"un certain rang, on a les équivalences : u n≂vn?limnu nv n= 1 ;un=o(vn)?limnu nv n= 0 ;un=O(vn)?unv nbornée. Bien sûr, si(un)ntend vers une limite finie??= 0, alorsun≂?. Exercice 9Soienta,bdeux réels>0. Montrer que(lnn)a=o(nb). On peut écrire plusieurs propriétés relatives aux relations de comparaison, notamment : Proposition 11Deux suites équivalentes se comportent de la même façon quandntend vers +∞. Si une suite est négligeable devant une suite bornée, alors elle tend vers 0. ... Exercice 10Écrire (et montrer) d"autres propriétés du même type! Notons enfin que l"équivalence se comporte bien par rapport au produit (quotient) de suites, mais pas nécessairement par rapport à la somme (considérer par exempleun=n2+ 1≂n2et v n=-n2). 4quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14