[PDF] Analyse mathématiques II - WordPresscom

SERIES - bagbouton

a) Si, à partir d’un certain rang, 0 ≤ ≤u vn n et ∑vn converge ALORS ∑un converge b) Si, à partir d’un certain rang, 0 ≤ ≤u vn n et ∑un diverge ALORS ∑vn diverge Démonstration : Il existe un rang n p0 ≥ tel que ∀ ≥ ≤ ≤n n , u v0 0 n n Quitte à modifier un nombre fini de termes des suites (n) n p u ≥ et (n) n

PROF: ATMANI NAJIB Suites - AlloSchool

converge vers un réel ℓ, alors (n √ un) converge et a même limite 2) Etudier la réciproque 3) Application : limites de a) n p Cn 2n b) n n √ n c) 1 n2 n r (3n) Exercice no 16 (*) Soient u et v deux suites de réels de [0,1]telles que lim n→+∞ unvn =1 Montrer que (un)et (vn)convergent vers 1 Exercice no 17 (**) Montrer que

Suites numériques 1 Définitions - Weebly

somme : si (un)et (vn)convergent alors (un+vn)converge; multiplication par un nombre réel : si (un) converge alors pour tout λ∈ R, (λun) aussi Cet ensemble est donc stable par combinaisons linéaires et il est non vide; c’est un 2 4 Suites extraites Définition

Analyse mathématiques II - WordPresscom

nj) converge vers ‘, la suite (un) converge vers ‘ ou vers ¡‘ 18– Si la suite (u n) converge vers ‘, alors la suite (un2) converge vers ‘ 19– Si pour tout n 2 N, u n > p n alors (un) tend vers +1 20– Si à partir d’un certain rang u n 6 vn 6 wn et si les suites (un) et (wn) convergent, alors (vn) converge aussi 21– Si

Exercice 1 - WordPresscom

Alors la suite f(u n) converge vers f(l) 5 La suite u n convergent vers 0, doncu n0 5 Exercice 5 Soitu n= P(n) Q(n

Convergence et limite de suites numériques

elle converge vers – 1 alors que la suite (u n) ne converge pas Si les suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) admettent la même limite , alors toute la suite (u n ) admet aussi cette limite commune On peut donc ramener l’étude de convergence d’une suite à celle des suites de rangs pair et impair qui peuvent

A 1) Définition - WordPresscom

convergent si et seulement si On a alo rs si , en notant ¦ 0 1 1 n n S q q q f : 23 12 12 12 ' 11 nn nn q qq f ¦¦ 3) Séries exponentielles : Pour tout réel x, la série de terme général xn n converge et 0 n x n x e n f ¦ C LINEARITE : Si n np u t ¦ et n np v t ¦ convergent, alors La série nn np uv t ¦ converge et on a n p v f

Voie scientifique

convergent si et seulement si On a alors si , en notant 0 1 1 n n q q f ¦: 23 12 12 12 ' 11 nn nn q qq f ¦¦ 3) Séries exponentielles : Pour tout réel x, la série de terme général xn n converge et 0 n x n x e n f ¦ C LINEARITE : Si n np u t ¦ et n np v t ¦ convergent, alors La série nn np uv t ¦ converge et on a ¦ ¦ ¦ n n

Chapitre 3 - Int´egrales impropres

tne−αt dt converge et vaut n αn+1 La propri´et´e est vraie pourZ n = 0 d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent On la suppose vraie au rang n, on a alors pour x > 0, x 0 tn+1e−αt dt = ipp − 1 α tn+1e−αt + n +1 α Z x 0 tne−αt dt Lorsque x tend vers +∞, la derni`ere int´egrale ´ecrite tend vers n αn+1

Exercices série 14 : Estimateur convergent

Exercices série 14 : Estimateur convergent Exercice 0 Estimateur du paramètre d’une loi de Bernoulli À l’issue d’un scrutin uninominal permettant à plusieurs centaines de millier d’électeurs de départager deux candidats A et B

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Université Ibn Zohr

Faculté des Sciences Juridiques Économiques et Sociales

TravauxDirig´es

Analyse

mathématiques II

Mohamed HACHIMI

FILIÈRE SCIENCES ÉCONOMIQUES ET GESTION

PREMIÈRE ANNÉEEG

Semestre 2

2011
Faculté des Sciences Juridiques Économiques et Sociales

Suites1

Vrai ou Faux

Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ? +Vrai Faux 1 Si la suite(junj)est majorée, la suite(un)est bornée. 2 Si les suites(un)et(vn)divergent, la suite(un+vn)diverge aussi. 3 Si la suite(junj)est divergente, il en est de même de la suite(un). 4 La convergence d"une suite extraite implique la convergence de la suite elle-même. 5 Si(un)et(vn)sont deux suites telles qu"on aitun6vn, alors(vn)converge implique(un)converge. 6 Si(un)et(vn)sont deux suites telles qu"on aitun6vn, alors(un)diverge implique(vn)diverge. 7 Le produit de deux suites croissante est une suite croissante. 8 Le produit d"une suite ayant une limite et une suite n"ayant pas de limite est une suite n"ayant pas de limite. 9 Si la suite(un)tend vers0alors la suite((¡1)n£un)tend vers0. 10

Toute suite croissante et minorée tend vers+1

11 Toute suite décroissante et non minorée tend vers¡1 12

Toute suite monotone et bornée converge

13 Une suite à termes positifs qui converge vers0est décroissante à partir d"un certain rang. 14 Si la suite(un)tend vers0, alors pour toutn2N,un<1. 15 Si la suite(un)tend vers0, alorsun<1pournassez grand. 16 Si la suite(un)tend vers2, alorsun>1pournassez grand. 17 Si la suite(junj)converge vers`, la suite(un)converge vers`ou vers¡`. 18 Si la suite(un)converge vers`, alors la suite(un2)converge vers`. 19

Si pour toutn2N,un>p

nalors(un)tend vers+1. 20 Si à partir d"un certain rangun6vn6wnet si les suites(un)et(wn) convergent, alors(vn)converge aussi. 21
Si à partir d"un certain rangun6vn6wnet si les suites(un)et(wn) convergent, alors(vn)est bornée. 22
Si(un)une suite croissante et non majorée, alors(un)est positive à partir d"un certain rang. 23
Si(un)une suite croissante, alors la suite(1=un)est décroissante.

HACHIMI²T.D²Semestre2²2011

1Suites3Exercice 1

Étudier le sens de variation de la suite de terme general : u n=3n¡1 n+ 2

Exercice 2

u n= 1 +1 1! +1 2! +1 3! +¢¢¢+1 n!=nX k=01 k!

Exercice 3

Monter que la suite de terme généralun= (¡1)nn n+ 1est divergente.

Exercice 4

u n= 1¡1 2! +1 4! ¡1 6! +¢¢¢+ (¡1)n1 (2n)!¢ Montrer que les suites extraites(u2n)et(u2n+1)sont adjacentes et en déduire que(un) converge.

Exercice 5

Calculer la limite, si elle existe, des suites définies par :

1)un=n¡p

n

2¡n2)vn=p

n+ 1¡p n3)wn=Log(n+ 1) Logn

Exercice 6

Calculer la limite de la suite définie par :

u n=nX k=11 p n 2+k

Exercice 7

Montrer la convergence et déterminer la limite des suites suivantes :

1)un=sinn

n

2)vn=n!

n n3)wn=an n!;a>0

Exercice 8

Déterminer la raisonret le premier termeu0d"une suite arithmétique(un), telle que u

HACHIMI²T.D²Semestre2²2011

Faculté des Sciences Juridiques Économiques et Sociales

Séries2

Vrai ou Faux

Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ? +Vrai Faux 1

Silimn!1un= 0, alors la série(Pun)converge.

2 Si la somme de deux séries est convergente et si l"une des deux converge, il en est de même de l"autre. 3 La somme de deux séries divergentes est une série divergente. 4 Si la suite(un)est croissante majorée, la série(Pun)est convergente. 5 Si la série(Pun)converge, alors la série(Pu2n)converge. 6 Si la série(Pun)absolument converge, alors la série(Pu2n)converge. 7 Si une série est alternée, elle peut converger sans que son terme général tend vers0. 8 Soit(un)une suite à termes positifs. Alors, les séries(Pun)et(Pu2n)sont de même nature. 9 Soit(Pun)une série à termes positifs. Alors,(Pun)converge ssi il existe

M >0tel queu1+u2+¢¢¢+un6M, pour toutn2N.

10 Soit(Pun)une série à termes positifs. Siun+1< unpournassez grand, alors(Pun)converge. 11 Soient(un)et(vn)deux suites telles queun6vnpour toutn. Alors,(Pvn) converge implique(Pun)converge. 12

Si la série

¡Pp

u n¢converge, alors la série(Pun)converge. 13 Si(un)est une suite positive qui converge vers0en décroissant, alors (P(¡1)nun)converge. 14 Si les séries(Pvn)et(Pvn)convergent, alors la série(Punvn)converge. 15 Une série est divergente si et seulement si elle n"est pas convergente. 16 Si on modifie un nombre fini des termes d"une série, la nature de cette série ne change pas. 17 Soit(Pun)une série à termes positifs. Silimnp u n= 1, alors(Pun)n"est ni convergente ni divergente. 18 Une série de Riemann(Pn¡®)converge si et seulement si®>1. 19 Si la série(Pun)converge, alors il en est de même de la série Soit(Pjunj). 20

Toute série géométrique est convergente.

21
La série(Pun)de terme généralun= (¡1)nest convergente. 22
La série de terme généralun= (¡1)nn¡®converge si0< ®61.

HACHIMI²T.D²Semestre2²2011

2Séries5Exercice 1

Montrer que les séries suivantes sont convergentes et calculer leurs sommes : 1) ÃX n>01 2 n!

2)ÃX

n>21 2 n!

3)ÃX

n>11 n(n+ 3)!

Exercice 2

Étudier la convergence des séries de termes généraux ci-dessous et calculer leurs sommes

éventuelles :

1)un=p

quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14