Exercices TS Suites - hmalherbefr

Les suite définies sur par √ ont pour limite + Remarques : Limite en - : Suites n’ayant pas de limite : on dit qu’une suite diverge lorsqu’elle n’a pas de limites ex : 2 Limite et comparaison Théorème ) sont deux suites Si à partir d’un certain rang , u n v n et lim n + v n

COURS TERMINALE S LES SUITES NUMERIQUES

sont des suites adjacentes Théorème : Si les deux suites ( un) et ( vn) sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite Démonstration : la suite ( un) est croissante, donc pour tout entier naturel n, u0 un vn ; de même la suite ( vn) est décroissante, donc pour tout entier naturel n, un vn v0

Exercices TS Suites - hmalherbefr

TS Exercices sur les suites 2 Exercice 4: Suites mêlées Soit a un réel et les suites (u n) et (v n) définies par u 0 = a, v 0 = - 3 4 a et pour tout pour tout n de un+1 = 1 5 (u n + 4v n) et v n+1 = 1 5 (3u n + 2v n) 1) A l’aide d’un tableur ou d’un autre logiciel, conjecturer le comportement des deux suites à l’infini

Les suites - Partie II : Les limites

En effet, à partir d'un certain rang , tous ses termes sont dans un intervalle ouvert comme donc la suite est bornée à partir de ce rang Pour ses premiers termes, comme il n'y en a qu'un nombre fini, les valeurs sont également bornées entre la plus grande des valeurs et la plus petite Complément : Par contraposée

Mathématiques Cours, exercices et problèmes Terminale S

• 2 - Suites – Si une suite est croissante et converge vers ℓalors tous les termes de cette suite sont 6ℓ • 2 - Suites – La suite (qn) avec q>1 tend vers +∞ • 2 - Suites – Une suite croissante et non majorée tend vers +∞ • 6 - Exponentielle – Unicité d’une fonction fdérivable sur R vériﬁant f′ = fet f(0) = 1

Cours sur les suites numériques - lewebpedagogiquecom

Suites numériques Cours sur les suites numériques M HARCHY TS2-Lycée Agora-2015/2016 1 Raisonnement par récurrence Théorème 1 : Axiome de récurrence Soit Pune propriété portant sur les entiers naturels Si elle vériﬁe les deux conditions suivantes : 1 P(0) est vraie, 2 pour tout entier naturel p, P(p) implique P(p+1),

exercices suites - Free

3 On considère un nombre réel a positif et les suites (un) et (vn) définies pour tout nombre entier naturel n non nul par : 1 un 1 n = − et 1 v an ln n = + Existe-t-il une valeur de a telle que les suites soient adjacentes ? 1 5 VF justifié, Polynésie, nov 2010, 3 pts

TS Cours sur les limites de suites 1

TS Limites de suites (1) La notion de limite de suite a été abordée en 1 ère On s’est contenté d’une approche intuitive à partir d’exemples (approche numérique, graphique en utilisant notamment la calculatrice et le tableur) Une large place a été faite à l’observation

TS Exercices sur les suites

Exercice 1 :

Déterminer la limite de chaque suite (un)n ³1. a) un = 1 n sin p n b) un = (-1) n n c) un =  n+1 n d)

0,5n + cos(np)

Exercice 2 : la constante d'Apéry

Pour tout entier n ³ 1, un = 1

13 + + 1

23 + .... + 1

n3 1)

Donner un minorant de cette suite.

2) Déterminer le sens de variation de la suite (un). 3) Montrer que, pour tout entier n ³ 1, un £ 2 - 1 n. 4) a) Justifier que la suite (un) converge. b) Que peut-on dire de sa limite ?

Exercice 3

(un) est la suite définie sur V* par u n = n n² + 1 + n n² + 2 + .... + n n² + n = ∑ k=1n n n² + k a)

Calculer u1, u2 et u3.

b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant un ? Quel est le plus petit de ces termes ? Quel est le plus grand ? c) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, n² n² + n £ un £ n² n² + 1

TS Exercices sur les suites

Exercice 4 : Suites mêlées

Soit a un réel et les suites (un) et (vn) définies par u0 = a, v0 = - 3 4 a et pour tout pour tout n de u n+1 = 1

5(un + 4vn) et vn+1 = 1

5(3un + 2vn)

1) A l'aide d'un tableur ou d'un autre logiciel, conjecturer le comportement des deux suites à l'infini.

Semble-t-il dépendre de la valeur de a ?

2) Emettre une conjecture sur la suite (wn) définie sur V par wn = 3un + 4vn.

Démontrer cette conjecture.

3) En déduire vn en fonction de un puis exprimer un+1 en fonction un seulement. 4)

En déduire les limites de (un) et (vn).

Exercice 5 : Approximation de e

On pose, pour n appartenant à V* : un = 1 + 1

1! + 1

2! + 1

3! + ..... + 1

n! et vn = un + 1 n´n! 1)

Vérifier que u1 = 2, v1 = 3.Calculer u2 et v2.

2) a) Etudier le sens de variation de chaque suite. b) Comparer u n et vn et en déduire que la suite (un) est majorée par v1 et la suite (u n) minorée par (u1). c) En déduire que ces suites convergent et montrer qu'elles ont la même limite l.

3) Pour n fixé dans V* on pose, f(x) = 

1! + x²

2! + ... + x

n n!e-x et g(x) = f(x) + x n! pour 0 £ x £ 1. a) Calculer f(0) et vérifier que f(1) = u n´e-1. b) Etudier les variations de f et g sur [0 ;1] et en déduire que pour tout n

³ 1, e - e

n! £ un £ e. c) En déduire la valeur exacte de l et justifier que pour tout n de V*, u n £ e

£ vn.

d) Ecrire puis programmer un algorithme qui affiche un encadrement de e

à une précision 10

-k (k Î V*) ainsi que la plus petite valeur de n pour laquelle il est obtenu. Qu'obtient-t-on pour k = 6 ? k = 12 ?

TS Exercices sur les suites

CORRECTION

3 Exercice 1 :

Déterminer la limite de chaque suite (un)n ³1. a) un = 1 n sin p n b) un = (-1) n n c) un =  n+1 n d)

0,5n + cos(np)

a) On a pour n > 0, -1 £ sin p n £ 1

Donc -

1 n

£ un £ 1

Or lim

n = lim 1 n = 0

Donc selon le théorème des gendarmes lim u

n = 0

Exercice 2 : la constante d'Apéry

Pour tout entier n ³ 1, un = 1

13 + + 1

23 + .... + 1

n3 1)

Donner un minorant de cette suite.

2) Déterminer le sens de variation de la suite (un). 3) Montrer que, pour tout entier n ³ 1, un £ 2 - 1 n. 4) a) Justifier que la suite (un) converge. b) Que peut-on dire de sa limite ?

1) 0 est un minorant évident de un.

2) un+1 - un = 1

(n + 1)3 > 0

Donc (u

n) est croissante.

3) Montrons par récurrence que u

n £ 2 - 1 n.

Soit P

n la proposition un £ 2 - 1 n. u

1 = 1 £ 2 - 1

Donc P

1 est vraie.

TS Exercices sur les suites

CORRECTION

Supposons Pn vraie pour entier n fixé.

u n+1 = un + 1 (n+1)3

L'hypothèse de récurrence au rang n donne :

u n £ 2 - 1 n

On a donc u

n+1 £ 2 - 1 n + 1 (n + 1)3

Or Comme -

1 n

£ 0 alors 2 - 1

n + 1 (n + 1)3 £ 2 - 1 (n + 1)3

Donc u

n+1 £ 2 - 1 (n + 1)3.

Donc la proposition P

n+1 est vraie. Donc selon le principe de récurrence, la proposition P n est héréditaire

On a donc bien pour n

³ 1, un £ 2 - 1

quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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TS Exercices sur les suites

Exercice 1 :

0,5n + cos(np)

Exercice 2 : la constante d'Apéry

Pour tout entier n ³ 1, un = 1

13 + + 1

23 + .... + 1

Donner un minorant de cette suite.

Exercice 3

Calculer u1, u2 et u3.

TS Exercices sur les suites

Exercice 4 : Suites mêlées

5(un + 4vn) et vn+1 = 1

5(3un + 2vn)

Semble-t-il dépendre de la valeur de a ?

Démontrer cette conjecture.

En déduire les limites de (un) et (vn).

Exercice 5 : Approximation de e

On pose, pour n appartenant à V* : un = 1 + 1

1! + 1

2! + 1

3! + ..... + 1

Vérifier que u1 = 2, v1 = 3.Calculer u2 et v2.

3) Pour n fixé dans V* on pose, f(x) = 

2! + ... + x

³ 1, e - e

£ vn.

à une précision 10

TS Exercices sur les suites

CORRECTION

3 Exercice 1 :

0,5n + cos(np)

Donc -

£ un £ 1

Or lim

Donc selon le théorème des gendarmes lim u

Exercice 2 : la constante d'Apéry

Pour tout entier n ³ 1, un = 1

13 + + 1

23 + .... + 1

Donner un minorant de cette suite.

1) 0 est un minorant évident de un.

2) un+1 - un = 1

Donc (u

3) Montrons par récurrence que u

Soit P

1 = 1 £ 2 - 1

Donc P

1 est vraie.

TS Exercices sur les suites

CORRECTION

Supposons Pn vraie pour entier n fixé.

L'hypothèse de récurrence au rang n donne :

On a donc u

Or Comme -

£ 0 alors 2 - 1

Donc u

Donc la proposition P

On a donc bien pour n

³ 1, un £ 2 - 1