Fonctions d’une variable complexe

III 3 Dérivée d’une fonction uniforme f est dérivable en z0 si le quotient 0 0 z z f(z) f(z ))) admet une limite finie quand z tend vers z0 L’existence d’une dérivée est une condition de régularité très forte imposée à la fonction Une fonction dérivable en tout point d’un ouvert connexe est dite analytique (ou holomorphe ou

Analyse complexe - Accueil

En cons equence, les r egles de calcul concernant la limite d’une somme, d’une di erence, d’un produit ou d’un quotient restent valables De plus, le crit ere de Cauchy suivant lequel la suite fz ng n2N admet une limite si et seulement si lim m;n+1 jz m z nj= 0 est encore vrai Exemple Lorsque z nz, jz njjzjmais il n’est pas sur

Suites et s´eries de fonctions Analyse complexe

s’exprimer cpmme la limite d’une suite ou comme la somme d’une s´erie Il est donc na-turel d’´etudier la repr´esentation de certaines fonctios comme limite d’une suite de fonc-tions ou somme d’une s´erie de fonctions, et une question fondamentale est alors l’´etude des propri´et´es de ces fonvctions limites ou de ces

Fonctions d’une variable complexe

Fonctions d’une variable complexe 2 1 Objets du plan complexe 2 1 1 Le plan complexe C On peut d´eﬁnir un point z du plan complexe C par la donn´ee de deux coordonn´ees r´eelles de diﬀ´erentes mani`eres Par exemple z = x+iy ou` x, y ∈ R ou bien encore z = ρeiθ avec ρ ≥ 0 et θ ∈ [0,2π[ a 2kπ pr`es On a donc x = ρcosθ

Analyse Complexe - UNIGE

Analyse complexe “COMPLEXE adj (lat complexus, qui contient) Qui contient plusieurs e´le´ments diffe´rents et combine´s d’une manie`re qui n’est pas imme´diatement claire pour l’esprit, qui est difﬁcile a` analyser ” (Petit Larousse illustre´ 1983)

Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes

La déﬁnition de l’intégrale s’étend naturellement au cas d’une fonction f déﬁniesurunintervalle[a,b] etàvaleurscomplexes Deﬁnition Soitf,déﬁniesur[a,b] àvaleurscomplexes,continueparmorceaux (tellequeRef etImf soientcontinuesparmorceaux) Alorsl’intégrale def sur[a,b] est: Z b a f(t)dt= Z b a Re(f)(t)dt+i Z b a Im(f)(t)dt

Limites et continuité de fonctions

2 Limites d'une fonction Limite en l'in ni, limite en un réel Limite à gauche, limite à droite Lien entre fonctions et suites Opérations sur les limites Branches in nies Ordre et limites 3 Continuité d'une fonction Continuité en un point Prolongement par continuité Opérations Continuité sur un intervalle 4 Fonctions trigonométriques

5 Int´egration complexe - Paris Diderot University

Int´egration complexe 1 Int´egralesd´eﬁniesd’unefonctioncomplexed’unevariabler´eelle Les int´egrales sont extrˆemement importantes dans l’´etude des fonctions d’une variable complexe Nous ´etablirons l’´equivalence entre les notions de fonction ana-lytique, d’une part, comme fonction d´erivable en chaque point d’un

Quelques exemples de calculs de limites

la fonction tend vers 0, mais même elle vaut 0 sur tout un voisinage à droite de 0) 17e exemple : déterminer la limite de ( x¡ 1) e 1 = ln x quand x 1 + Effectuons le changement de variable x = 1+ h : il s’agit donc de déterminer

Par exemple

z=x+iyo`ux, y?R ou bien encore z=ρeiθ avecρ≥0 etθ?[0,2π[ `a 2kπpr`es. On a doncx=ρcosθ,x=ρsinθ. Rappelons aussi que|z|=? x2+y2=ρ et que z= 0?ρ= 0?x= 0 ety= 0. Remarque 1Onne doit pasutiliser les relations d"ordre>et2.1.2 Disques

Disque ouvert :D(a,r) ={z?C||z-a|< r}.

2.1.3 Chemins

Un cheminL(z1,z2) du plan complexe peut ˆetre caract´eris´e par une fonction γ`a valeurs complexesz(t) =γ(t) du param`etre r´eelt?[α,β]. La fonctionγest continue ent, `a d´eriv´ee entcontinue par morceaux . Remarque 21. On peut consid´erer avec profit une image en terme de cin´ematique du point mat´eriel dans le plan : on consid`ere quez(t)repr´esente la po- sition `a l"instanttd"un point mobileM. Le pointMest autoris´e `a un 1

2CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE

αβz(t)

tγ(t) z

1=γ(α)z

2=γ(β)

changement brusque de direction en certains points de sa trajectoire, en dehors de ces points la vitesse est une fonction continue.

2. On peut avoirγ(t1) =γ(t2)pour des tempst1ett2diff´erents.

2.1.4 Chemins homotopes

Deux cheminsLetL?ayant mˆemes extr´emit´es sont ditshomotopess"il est possible de les d´eformer l"un en l"autre d"une mani`ere continue (intuitivement : sans les d´echirer `a aucun moment au cours de cette d´eformation). Remarque 3Cette derni`ere op´eration si elle est toujours possible dansCtout entier, n"est pas toujours possible dansC- {a}. aL L ?z1z 2

2.1.5 Domaine connexe

C"est un ensembleDde points du plan complexeCtels que

1. Chaque pointz0deDpeut ˆetre le centre d"undisque ouvertenti`erement

contenu dansD.

2. Deux points quelconquesz1etz2deDpeuvent ˆetre reli´es entre eux par

un cheminLenti`erement contenu dansD.

2.2. S´ERIES ENTI`ERES3

Lz 1z 2

2.1.6 Domaine simplement connexe

C"est un domaine connexeDo`u deux chemins quelconques joignant deux points arbitrairesz1etz2deDsont homotopes tout en restant dansD. Exemple 4Un disque ouvert est simplement connexe alors que le domaine pr´ec´edent ne l"est pas.

2.2 S´eries enti`eres

2.2.1 D´efinition

Les polynˆomes `a coefficients complexesz?→ P(z) =a0+a1z+···adzd peuvent ˆetre vus comme des fonctions deCdansC. On a envie de passer des sommes finies aux sommes infinies. D´efinition 5On appelles´erie enti`ereune s´erie de fonctions? n≥0fnde la forme f n(z) =anzn.

On la note

?anzn. Exemple 6On appelles´erie exponentiellela s´erie enti`ere de terme g´en´eral z n/n!,n≥0.

2.2.2 Rayon de convergence

Th´eor`eme 1Soit?anznune s´erie enti`ere. Il existe un nombreR?[0,+∞] tel que

1. Si|z|< R, la s´erie?anznest absolument convergente.

2. Si|z|> R, la s´erie?anznest divergente.

D´efinition 7On appelle le nombre fourni par le th´eor`eme 1 lerayon de conver- gencede la s´erie enti`ere?anzn. Le disqueD={z?C||z|< R}s"appelle le disque de convergencede la s´erie enti`ere?anzn.

4CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE

Exemple 8Le rayon de convergence de la s´erie enti`ere?znest ´egal `a 1. Sur le disque de convergence, la somme de cette s´erie vaut1 1-z. toutztel que|z|<1, doncR≥1. On conclut queR= 1. L"identit´e remarquable

1 +z+···+zN-1=1-zN

1-z montre que si|z|<1, les sommes partielles de la s´erie convergent vers1 1-z. Exemple 9Le rayon de convergence de la s´erie exponentielle est ´egal`a+∞. En effet, pour toutz?C, on peut appliquer le crit`ere de d"Alembert au module |zn/n!|.

2.2.3 D´erivation terme `a terme

D´efinition 10Soitz0?C, soitr >0. Soitfune fonction d´efinie sur le disque de centrez0et de rayonrdansC. On dit quefestd´erivable au sens complexe s"il existe??Ctel que lim h→0|f(z0+h)-f(z0) h-?|= 0. Le nombre?s"appelle lad´eriv´eedefenz0, not´eef?(z0). Exemple 11Un polynˆomez?→ P(z) =a0+a1z+···adzdest d´erivable au sens complexe, de d´eriv´eeP?(z0) =a1+ 2a2z0+···+dadzd-10. Th´eor`eme 2Soit?anznune s´erie enti`ere dont le rayon de convergence n"est pas nul. Alors sa sommef(z) =?∞n=0anznest d´erivable au sens complexe sur le disque de convergence, et sa d´eriv´eef?s"obtient en d´erivant terme `a terme, f ?(z) =∞? n=0na nzn-1=∞? n=0(n+ 1)an+1zn. Preuve.Utiliser le th´eor`eme de d´erivation dans l"int´egrale, pour la mesure de d´ecompte.

2.2.4 S´eries de Laurent

D´efinition 12Unes´erie de Laurent, c"est une s´erie de fonctions de la forme? n?Zanzn, i.e. une s´erie de puissances positives et n´egatives dez.

Pour que

n?Zanznconverge, il faut et il suffit que les s´eries?∞n=0anznet?∞n=1a-n(1/z)nconvergent. Par cons´equent, une s´erie de Laurent poss`ede une

couronne de convergenceA={R1<|z|< R2}. Le th´eor`eme de d´erivation terme `a terme (Th´eor`eme 2) s"´etend aux s´eries de Laurent.

2.3. FONCTIONS HOLOMORPHES DANS UN DOMAINE5

2.3 Fonctions holomorphes dans un domaine

2.3.1 D´efinition

Soitz=x+iy?Detz?→f(z)≡f(x+iy) une fonction d´efinie pourz?D. D´efinition 13La fonctionfestholomorphe dansD,si l"une des troiscondi- tions suivantes (I, II ou III) est satisfaite I.La fonctionfest d´erivable au sens complexeen tout pointz0deD. II.Si on d´ecomposef(x,y)en parties r´eelleP(x,y)et imaginaireQ(x,y) f(x,y) =P(x,y) +iQ(x,y)

1. Les fonctionsP(x,y)etQ(x,y)sont continues en tout pointz=x+iy

deD.

2. Les d´eriv´ees partiellesP?xP?yQ?xQ?yexistentet sontcontinuesenx

etyen tout point deD.

3. Les fonctionsP(x,y)etQ(x,y)satisfont auxconditions de Cauchy-Riemann

en tout point deD.∂P ∂x(x,y)-∂Q∂y(x,y) = 0 ∂P ∂y(x,y) +∂Q∂x(x,y) = 0 III.Pour toutz0?D, la fonctionh?→f(z0+h)est ´egale, au voisinage de

0, `a la somme d"une s´erie enti`ere de rayon de convergence non nul

f(z0+h) =∞? n=0a n(z0)hn. Remarque 141. Les propri´et´esI,IIetIIIsont ´equivalentesseulement lorsqu"on consid`ere un domaineD. Elles ne sont plus ´equivalentes si on ne consid`erequ"un seul point. On dit que ce sont des propri´et´eslocalement

´equivalentes mais pas ponctuellement.

2. Les conditions de Cauchy-Riemann seules (cf. la d´efinition II) n"assurent

pas l"holomorphie.

3. La condition III s"appelle traditionellement conditiond"analyticit´e.

Proposition 151. Une fonction holomorphe dansDest continue en tout point deD.

2. Une fonction holomorphe dansDest born´ee sur tout disque ferm´e (plus

g´en´eralement une union finie de tels disques) contenu dansD.

2.3.2 Exemples de fonctions holomorphes

1.z?→z.

2.z?→ P(z) o`uPest un polynˆome enz.

3.z?→eaz= 1 +az+1

2(az)2+...+1n!(az)n+..., o`ua?C.

Ces trois derni`eres fonctions sont holomorphes dans tout le plan complexe.

6CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE

4.z?→1

z, qui est holomorphe dansC- {0}.

5.z?→P(z)

Q(z), o`uPetQsont des polynˆomes enz, est holomorphe dansC priv´e des racines de l"´equationQ(z) = 0.

6. La d´eriv´eep-`emef(p)d"une fonctionfholomorphe dansDest holomorphe

dansD. (En d´eduire quean=1 n!f(n)(z0)).

2.3.3 Propri´et´es alg´ebriques des fonctions holomorphes

Supposons donn´ees deux fonctionsz?→f(z) etz?→g(z) holomorphes dans un domaine communDdu plan complexe. On a alors

1.af(z) +bf(z) qui est holomorphe dansDpouraetb?C.

2.f(z)g(z) est holomorphe dansD.

3. f(z) g(z)est holomorphe dansDpriv´e des points deDo`ug(z) = 0.

4. (Loi de composition des fonctions holomorphes) Soientz?→f1(z) holo-

morphe dansD1etz?→f2(z) holomorphe dansD2et supposons que l"imagef(D1) soit contenue dansD2, on a alors :z?→f2(f1(z)) qui est holomorphe dansD1.

2.4 Int´egrales le long de chemins du plan com-

plexe

2.4.1 D´efinition

D´efinition 16SoitL: [α,β]→γ(t)un chemin du plan complexe. Soit z?→f(z)une fonction de la variable complexez, qu"on suppose holomorphe dans un domaineDcontenant le cheminL. On appelleint´egrale defle long deL, la quantit´e not´ee?

Lf(z)dzdonn´ee par

L f(z)dz=? [α,β]f(γ(t))dγ(t) dtdt. Remarque 17Bien quef(z)soit une fonction continue enzet quedγ(t) dtsoit continue par morceaux ent, nous consid´erons ici que l"int´egrale est prise au sens de Lebesgue, alors que Riemann suffirait. Cela facilitera la formulation d"un certain nombre de th´eor`emes. Remarque 18En d´ecomposantf(z)en partie r´eelle et imaginaire f(z) =P(x,y) +iQ(x,y) de mˆeme pourγ(t) =x(t) +iy(t). On pourra encore ´ecrire?

Lf(z)dzsous la

forme d"une int´egrale curviligne dans le plan des variables r´eellesxety, L f(z)dz=? L

P(x,y)dx-Q(x,y)dy+i?

P(x,y)dy+Q(x,y)dx

2.4. INT´EGRALES LE LONG DE CHEMINS DU PLAN COMPLEXE7

Il est tr`es instructif de consid´erer l"analogie m´ecanique suivante. On peut dire que? Lf(z)dzrepr´esente le travail accompli par la forcef(z) appliqu´ee sur un point mobile se trouvant au pointz(t) `a l"instanttsur la trajectoireL, lorsqu"il parcourt tout le cheminLavec la vitessedγ(t) dt.

Proposition 19L"int´egrale?

Lf(z)dzestind´ependantede la param´etrisation prise pour d´ecrireL. Ceci veut dire que sit??[α?,β?]→z(t?) =μ(t?) est une autre param´etrisation

´equivalente

1deL, L f(z)dz=? [α,β]f(μ(t?))dμ(t?) dt?dt?=? [α,β]f(γ(t))dγ(t)dtdt. L"analogue en m´ecanique du point de cette propri´et´e n"est autre que l"invariance, par rapport `a la vitesse du point mobile, du travail accompli par une force appliqu´ee sur ce point lors de son d´eplacement le long d"unchemin donn´e. Proposition 20SoitL-un chemin identique `aLmais d´ecrit en sens inverse par la param`etrisation t?[α,β]→z(t) =γ-(t)?L- avecγ-(α) =γ(β)etγ-(β) =γ(α), alors L f(z)dz=-? L -f(z)dz. LL Proposition 21(Formule de majoration). Soitfholomorphe dans un domaine connexeDetL: [α,β]→z(t)un chemin contenu dansD. Alors L z?L|f(z)|, o`uλ(L)est la longueur deL.

1C"est `a dire quet?= Φ(t) etγ(t) =μ(Φ(t)) o`u Φ est une fonction continue croissante `a

d´eriv´ee continue par morceaux, appliquant de fa¸con bijective [α,β] sur [α?,β?].

8CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE

Preuve.On peut ´ecrire

L f(z)dz|=|? [α,β]f(γ(t))γ?(t)dt| [α,β]|f(γ(t))||γ?(t)|dt z?L|f(z)|)? [α,β]|γ?(t)|dt.

Commeγ?(t) =x?(t) +iy?(t), on a

|γ?(t)|=? (x?(t))2+ (y?(t))2. D"autre part, il est bien connu en g´eom´etrie que (x?(t))2+ (y?(t))2dt=λ(L). Proposition 22Soitf(z)holomorphe dans un domaine connexeDetL: [α,β]→z(t)un chemin contenu dansD. On a alors L f?(z)dz=f(z(β))-f(z(α)). Preuve.PosonsF(t) =f(z(t)). Par la formule des d´eriv´ees compos´ees (la d´eriv´eez?(t) est d´efiniep.p./dt) dF(t) dt=dfdz.dz(t)dt=f?(z).dz(t)dt, d"o`u L f?(z)dz=? [α,β]f?(z)dz(t) dtdt [α,β]dF(t) dtdt =F(β)-F(α) =f(z(β))-f(z(α)).

2.4.2 Th´eor`eme de Cauchy

D´efinition 23Un chemin ayant ses extr´emit´es confondues est unlacet, on dit aussi souventcircuitoucontour. Th´eor`eme 3Soitfune fonction holomorphe dans un domaine simplement connexeD, soitCun circuit enti`erement contenu dansD. Alors C f(z)dz= 0. Preuve.Nous nous contenterons d"une d´emonstration utilisant lespro- pri´et´es des champs de vecteurs en analyse vectorielle.

2.5. TH´EORIE DE CAUCHY9

Consid´erons les d´ecompositions en parties r´eelles et imaginaires z(t) =x(t) +iy(t), f(z) =P(x,y) +iQ(x,y). Alors C f(z)dz=? C

P(x,y)dx-Q(x,y)dy+i?

P(x,y)dy+Q(x,y)dx.

On suppose connue la formule du rotationnel (formule de Green-Riemann) pour un champ de vecteurs `a deux composantes ?V= (Vx,Vy) : C V xdx+Vydy=?? S (∂Vy ∂x-∂Vx∂y)dxdy, o`uSd´esigne la surface enclose par le lacetC. En appliquant cette derni`ere formule aux deux champs de vecteurs?A= (P,-Q) et?B= (Q,P) et en utilisant les conditions de Cauchy-Riemann on voit imm´ediatement que le th´eor`eme est vrai. Corollaire 24Supposons queLetL?soient deux chemins contenus dans un domaine connexeD, ayant leurs deux extr´emit´esz1etz2communes et qui sont homotopes entre eux dansD(voir figure). Sifest holomorphe dansD, L f(z)dz=? L ?f(z)dz.

Preuve.Il suffit d"appliquer le th´eor`eme de Cauchy au circuitC=L?L?-constitu´e de l"union du cheminLet du cheminL?-: le cheminL?parcouru en

sens inverse.

D"une mani`ere plus g´en´erale,

Corollaire 25Sifest holomorphe dans un domaineDcontenant deux circuits CetC?pouvant ˆetre d´eform´es l"un dans l"autre d"une mani`erecontinueen restant dansD, alors? C f(z)dz=? C ?f(z)dz. Preuve.Il suffit de relierCetC?par deux chemins infiniment voisins et parcourus en sens inverse, puis d"appliquer le th´eor`eme de Cauchy au circuit ainsi constitu´e.

2.5 Th´eorie de Cauchy

C"est l"´etude des propri´et´es des int´egrales de fonctions holomorphes sur des chemins contenus dans le domaine d"holomorphie de ces fonctions.

10CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE

2.5.1 Exemple fondamental

Proposition 26Pourm?Zeta?C, consid´erons la fonction de la variable complexez?→1 (z-a)m. C"est une fonction d´efinie et holomorphe sur le domaine connexe (mais non simplement connexe)D=C-{a}. Consid´erons d"autre part un circuitΓconstitu´e par un cercle de rayonrcentr´e au pointa. Alors Γ1 (z-a)mdz=?0sim?= 1,

2iπsim= 1.

Preuve.Param´etrons le circuit Γ de la mani`ere suivante z(t) =a+reit, t?[0,2π], de sorte que dz(t) dt=ireit et f(z(t)) =r-me-imt, ce qui permet d"´ecrire I=? Γ1 (z-a)mdz=? [0,2π]f(z(t)).dz(t)dtdt [0,2π]r-me-imtireitdt =ir1-m? [0,2π]ei(1-m)tdt, d"o`u le r´esultat

[PDF] Fonctions d’une variable complexe

Par exemple

Disque ouvert :D(a,r) ={z?C||z-a|< r}.

2.1.3 Chemins

2CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE

αβz(t)

1=γ(α)z

2=γ(β)

2. On peut avoirγ(t1) =γ(t2)pour des tempst1ett2diff´erents.

2.1.4 Chemins homotopes

2.1.5 Domaine connexe

1. Chaque pointz0deDpeut ˆetre le centre d"undisque ouvertenti`erement

2. Deux points quelconquesz1etz2deDpeuvent ˆetre reli´es entre eux par

2.2. S´ERIES ENTI`ERES3

2.1.6 Domaine simplement connexe

2.2 S´eries enti`eres

2.2.1 D´efinition

On la note

2.2.2 Rayon de convergence

1. Si|z|< R, la s´erie?anznest absolument convergente.

2. Si|z|> R, la s´erie?anznest divergente.

4CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE

1 +z+···+zN-1=1-zN

2.2.3 D´erivation terme `a terme

2.2.4 S´eries de Laurent

Pour que

2.3. FONCTIONS HOLOMORPHES DANS UN DOMAINE5

2.3 Fonctions holomorphes dans un domaine

2.3.1 D´efinition

1. Les fonctionsP(x,y)etQ(x,y)sont continues en tout pointz=x+iy

2. Les d´eriv´ees partiellesP?xP?yQ?xQ?yexistentet sontcontinuesenx

3. Les fonctionsP(x,y)etQ(x,y)satisfont auxconditions de Cauchy-Riemann

0, `a la somme d"une s´erie enti`ere de rayon de convergence non nul

´equivalentes mais pas ponctuellement.

2. Les conditions de Cauchy-Riemann seules (cf. la d´efinition II) n"assurent

3. La condition III s"appelle traditionellement conditiond"analyticit´e.

2. Une fonction holomorphe dansDest born´ee sur tout disque ferm´e (plus

2.3.2 Exemples de fonctions holomorphes

1.z?→z.

2.z?→ P(z) o`uPest un polynˆome enz.

3.z?→eaz= 1 +az+1

2(az)2+...+1n!(az)n+..., o`ua?C.

6CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE

4.z?→1

5.z?→P(z)

6. La d´eriv´eep-`emef(p)d"une fonctionfholomorphe dansDest holomorphe

2.3.3 Propri´et´es alg´ebriques des fonctions holomorphes

1.af(z) +bf(z) qui est holomorphe dansDpouraetb?C.

2.f(z)g(z) est holomorphe dansD.

4. (Loi de composition des fonctions holomorphes) Soientz?→f1(z) holo-

2.4 Int´egrales le long de chemins du plan com-

2.4.1 D´efinition

Lf(z)dzdonn´ee par

Lf(z)dzsous la

P(x,y)dx-Q(x,y)dy+i?

P(x,y)dy+Q(x,y)dx

2.4. INT´EGRALES LE LONG DE CHEMINS DU PLAN COMPLEXE7

Proposition 19L"int´egrale?

´equivalente

1C"est `a dire quet?= Φ(t) etγ(t) =μ(Φ(t)) o`u Φ est une fonction continue croissante `a

8CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE

Preuve.On peut ´ecrire

Commeγ?(t) =x?(t) +iy?(t), on a

2.4.2 Th´eor`eme de Cauchy

2.5. TH´EORIE DE CAUCHY9

P(x,y)dx-Q(x,y)dy+i?

P(x,y)dy+Q(x,y)dx.

D"une mani`ere plus g´en´erale,

2.5 Th´eorie de Cauchy

10CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE

2.5.1 Exemple fondamental

2iπsim= 1.

I= 0,sim?= 1;

I= 2iπ,sim= 1.

2.5.2 Les fonctionsz?→logz,z?→Logzetz?→zαα?C

Consid´erons la fonctionu→1