LIMITES DE SUITES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 3 TI CASIO II Limite de la somme de termes consécutifs Méthode : Calculer la limite de la somme des premiers termes d'une suite
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI LIMITE D UNE SUITE
LIMITE D’UNE SUITE 1 UN PEU DE VOCABULAIRE Définition (Suite réelle) On appelle suite (réelle) toute fonction u de Ndans R Pour tout n ∈ N, on préfère noter un le réel u(n), et (un)n∈Nou (un)n¾0 la suite u On travaillera seulement dans ce chapitre avec des suites définies sur tout N, mais on pourrait bien sûr travailler avec
Limite dune suite Suites convergentes
Limite d'une suite Suites convergentes 1 Limite d'une suite 1 1 Limite infinie a) Définitions On dit que la suite(un)admet pour limite +∞ si et seulement si, pour tout nombre réel A, tous les termes de la suite sont supérieur à A à partir d'un certain rang
LIMITE D’UNE SUITE
LIMITE D’UNE SUITE Etudier la limite d’une suite ( u n) , c’est examiner le comportement des termes u n lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes vers + ∞ 1 ) LES DIFFERENTS CAS POSSIBLES Soit une suite ( u n) cas 1 Si « u n est aussi grand que l’on veut dès que n est assez grand », alors on dit que la suite ( u n) a
Les suites - Partie II : Les limites
Limite d'une somme 7 Limite d'un produit 8 Limite d'un quotient 8 Exercice 9 Souvent pour calculer des limites, on s'appuie sur des limites de suites usuelles que l'on connaît et on applique des opérations sur celles-ci La plupart du temps ces opérations sont intuitives et relèvent du bon sens, mais
Suites arithmético-géométriques Limite et somme d’une suite
Limite et somme d’une suite géométrique cours de TaleES I Suites arithmético-géométriques EXERCICE 6 1 : Etude d’une suite arithmético-géométrique Dans une réserve naturelle, une race de singes est en voie d’extinction à cause d’une maladie Au premier janvier 2014, une
Limites de suites
Déterminer une limite en utilisant la définition 31 Étudier la limite d’une somme, d’un produit et d’un quotient 32 Déterminer une limite par minoration, majoration, encadrement 33 Connaître et utiliser le théorème de convergence des suites monotones 34 Déterminer la limite éventuelle d’une suite géométrique 35
Raisonnement par récurrence Limite d’une suite
2 LIMITE D’UNE SUITE Suites de référence : Les suites définies pour tout entier naturel n 6= 0 par : 1 √ n , 1 n , 1 n2 1 nk avec k ∈ N∗, ont pour limite 0 Algorithme : : Déterminer à partir de quel entier n, le terme un est dans un
Raisonnement par récurrence Limite d’une suite
2) On considère la suite arithmétique (vn) de raison 8 et de premier terme v0 = 16 Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4n 2 +12n 3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : u n = 4n 2 +12n +5
[PDF] limite d'une suite arithmético géométrique
[PDF] limite d'une suite arithmético-géométrique
[PDF] limite d'une suite arithmétique
[PDF] limite d'une suite convergente
[PDF] limite d'une suite definition
[PDF] limite d'une suite exercices corrigés
[PDF] limite d'une suite géométrique
[PDF] limite d'une suite géométrique de raison négative
[PDF] limite d'une suite intégrale
[PDF] limite d'une suite première s
[PDF] limite d'une suite récurrente
[PDF] limite d'une suite terminale es
[PDF] limite d'une suite terminale s
[PDF] limite de 1/n
Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
LIMITE D"UNE SUITE
1 UN PEU DE VOCABULAIRE
Définition(Suite réelle)On appellesuite(réelle) toute fonctionude?dans?. Pour toutn??, on préfère noterun
le réelu(n), et(un)n??ou(un)n?0la suiteu.On travaillera seulement avec des suites définies sur tout?, mais on pourrait bien sûr travailler avec des suites définies
sur?n0,+∞?avecn0??. Il existe au moins deux manières courantes de représenter une suite(un)n??: soit comme une fonction de?dans?, c"est-à-dire de manière plane avec?en abscisse et?en ordonnée,
soit comme un ensemble de valeurs le long d"un axe. nu n 012 u 1u 2 u 3u4u5u6u7u8u9u10u11
u 12Définition(Vocabulaire usuel des suites réelles)Soit(un)n??une suite réelle. On dit que(un)n??est :
majoréesi l"ensembleun|n??est une partie majorée de?, i.e. si :?M??,?n??,un?M.Un telMest appeléUNmajorantde(un)n??. On dit alors que(un)n??estmajorée par Mou queM majore(un)n??.
positive(resp.strictement positive) si pout toutn??:un?0 (resp.un>0). croissante(resp.strictement croissante) si pour toutn??:un?un+1(resp.unOn dit enfin que(un)n??est :
bornéesi elle est à la fois majorée et minorée, i.e. si :?K?0,?n??,|un|?K.monotone(resp.strictement monotone) si elle est (resp. strictement) croissante ou (resp. strictement) décrois-
sante. Pour montrer qu"une suite(un)n??est monotone, deux méthodes courantes : étudier le signe deun+1-un,
si(un)n??estSTRICTEMENT POSITIVE, étudier la position deun+1 unpar rapport à 1. Cette méthode est intéressantesurtout lorsqueunest défini par des produits et des quotients et qu"on peut espérer des simplifications.
?Attention !Une suite majorée ne possèdeJAMAIS UN SEUL MAJORANT, une suite majorée par 2 l"est aussi par 3. Par
ailleurs : Les majorants d"une suite sont par définition des constantes. Une majoration deun par un réelQUI DÉPEND DEnne montre pas que la suite(un)n??est majorée.Ce qu"une suite a d"intéressant pour nous dans ce chapitre, ce ne sont pas ses premiers termes mais son comportement
asymptotique, i.e. à l"infini. Si par exemple tous ses termes sont majorés par 1 sauf les 30 premiers, on a bien envie de dire
que la suite est " presque » majorée par 1. On dit qu"elle est majorée par 1à partir d"un certain rang.
Définition(Suite de propositions vraie à partir d"un certain rang)Soit?= (?n)n??une suite de propositions.
On dit que?(ou?npar abus de langage) estvraie à partir d"un certain rangsi :?N??,?n?N,?n.On peut définir une suite principalement de deux façons soitexplicitement, soit implicitement par récurrence. Ceci ne
veut pas dire qu"il y a deux sortes de suites, ce sont là seulement deux manières de les définir. Une suite géométrique, par
exemple, peut être définie aussi bien explicitement :un=qnu0que par récurrence :un+1=qun. 1Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
Suites définies explicitement :Définir une suite(un)n??explicitement, c"est la définir à l"aide d"une certaine fonction
fpar une relationun=f(n). Il n"est alors pas difficile de calculeru1000, on calcule directementf(1000).
De nombreuses propriétés def monotonie, signe, caractère majoré/minoré/borné se transmettent alors telles
quelles à(un)n??, qui n"est après tout que la restriction defà?. fest bornée...... donc(un)n??est bornée. fest croissante... ... donc(un)n??est croissante.Suites récurrentesun+1=f(un):On peut définir une suite(un)n??par récurrence par la donnée de son premier
termeu0et d"une relationun+1=f(un)oùfest une fonction fixée. Une telle définition présente un énorme inconvé-
nient, on est obligé pour calculeru1000de calculer les uns après les autresu1,...,u999,u1000. ?Attention !Pour une suite récurrente u n+1=f(un):fest croissante=?(un)n??est croissante. fest décroissante=? (un)n??est décroissante. y=x u0u1u2u3... fest croissanteMAIS(un)n??décroissante. y=x u0u1u2u3u4 fest décroissanteMAIS(un)n??n"est même pas monotone.2 LIMITE D"UNE SUITE RÉELLE DANS?
2.1 DÉFINITION
Définition(Limite d"une suite)Soient(un)n??une suite réelle et???.Définition générale :On dit que(un)n??admet?pour limitesi tout voisinage de?contient tous lesunà partir
d"un certain rang, i.e. si :?V?? ??(?),?N??,?n?N,un?V?. Cas particulier d"une limite finie :Si???, on dit que(un)n??admet?pour limitesi : ?? >0,?N??,?n??,n?N=? |un-?|< ?, ou bien de manière plus concise, si :?? >0,?N??,?n?N,|un-?|< ?. Cas particulier de la limite+∞:On dit que(un)n??admet+∞pour limitesi : ?A>0,?N??,?n??,n?N=?un>A, ou bien de manière plus concise, si :?A>0,?N??,?n?N,un>A. Cas particulier de la limite-∞:On dit que(un)n??admet-∞pour limitesi : ?A<0,?N??,?n??,n?N=?unChristophe Bertault Mathématiques en MPSIOn peut montrer que les inégalités strictes :|un-?|< ?,un>Aetun inégalités larges :|un-?|??,un?Aetun?A, cela n"affecte pas la notion de limite. J"utiliserai généralement Obscures au premier abord, ces définitions satisfont en réalité parfaitement l"intuition que nous avons des limites. Trois voisinagesV1,V2etV3ne suffisent pas à forcer(un)n??à tendre vers?. Il est essentiel que la définition de la Les premiers termes de la suite(un)n??ne comptent pas quand on s"intéresse à sa limite, raison pourlaquelle la DémonstrationSoient?,????. On veut montrer, sous l"hypothèse que(un)n??admet?et??pour limites, que ?=??. Supposons par l"absurde??=??. Il existe alors un voisinageV?de?et un voisinageV??de??pour lesquels ?∩V??=∅. Or, par hypothèse,un?V?à partir d"un certain rangNetun?V??à partir d"un certain rangN?. Cette preuve illustre une idée importante que nous retrouverons souvent. Si une suite de propositions?1est vraie à partir d"un rangN1, une suite de propositions?2vraie à partir d"un rangN2... et enfin une suite de propositions?kvraie à partir d"un rangNk,les suites depropositions?1,...,?ksontalorsTOUTESvraies en mêmetemps àpartir durang maxN1,...,Nk. Définition(Convergence/divergence)Soit(un)n??une suite réelle. On dit que(un)n??estconvergenteou qu"elle DémonstrationSoit(un)n??une suite convergente, disons de limite?. Pour?=1, la définition de la limite affirme que l"inégalité|un-?|<1 est vraie à partir d"un certain rangN. Ainsi pour toutn?N, d"après l"inégalité Une suite non bornée n"admet pas forcément+∞ou-∞pour limite. Par exemple, la suite(-1)nn La manipulation des définitions de la limite n"est pas trop difficile si on se conforme aux recommandations qui suivent. commence sans réfléchir par " Soit? >0. » Ensuite, pour trouver un rangNà partir duquel|un-?|< ?, on essaie de sans réfléchir par " SoitA>0. » Ensuite, pour trouver un rangNà partir duquelun>A, on essaie deMINORERunEN joreTEND TOUJOURS VERS0.On arrête de majorer quandon se sent capable de trouverle rangNcherché. noreTEND TOUJOURS VERS+∞.On arrête de minorer quandon se sent capable de trouverle rangNcherché. Soient(un)n??et(vn)n??deux suites réelles,?,????etλ??. On suppose dans tout ce paragraphe que les limites indétermination, i.e. une impossibilité de conclure en toute généralité, qui nécessite donc un traitement au cas par cas. tuant une opération(+∞)-(+∞)ou 0×(+∞), on peut tomber a priori surN"IMPORTE QUEL RÉSULTAT. On peut obtenir n"importe quel réel?: limn→+∞(n+?) = +∞et limn→+∞n= +∞, mais limn→+∞(n+?)-n=?. On peut obtenir±∞: limn→+∞2n= +∞et limn→+∞n= +∞, mais limn→+∞(2n-n) = +∞. Somme de deux limites finies :On suppose que limn→+∞un=?et limn→+∞vn=??. Soit? >0. Pour toutn??, Or par hypothèse,|un-?|2à partir d"un certain rangNet|vn-??|2à partir d"un certain rangN?, Somme d"une limite finie et d"une limite+∞:On suppose que limn→+∞un=?et limn→+∞vn= +∞. Soit Somme de deux limites+∞:On suppose que limn→+∞un= +∞et limn→+∞vn= +∞. SoitA>0. Par hypothèse,un>Aà partir d"un certain rangNetvn>0 à partir d"un certain rangN?, donc pour tout Produit de deux limites finies :On suppose que limn→+∞un=?et limn→+∞vn=??. Soit? >0. Pour toutn??,Tous lesun
à partir deN1
??V2 ?2 Tous lesun
à partir deN2
??V3 ?3 Tous lesun
à partir deN3
Pour tout??
?, la relation limn→+∞un=?est souvent notée :un-----→n→+∞?. Tous lesun
à partir den0
V?? Tous lesun
à partir den0
FOLIE!
Limite
finieLimite ±∞Pas de
limite Convergence
Divergence?Attention !Converger, cen"estpasavoir unelimitemais avoir unelimite FINIE. Diverger, ce n"est pas avoir±∞pour limite, mais éventuellementNE PAS AVOIR DE LIMITE.
Théorème(Convergence et caractère borné)Toute suite convergente est bornée. PosonsK=max
|u0|,|u1|,...,|uN-1|,|?|+1 . Le réelKest alors plus grand que|u0|,...,|uN-1|, mais aussi que |un|pour toutn?N. Finalement|un|?KpourTOUTn??, donc(un)n??est bornée. ?Attention ! La réciproque est fausse, la suite(-1)n
n??est bornée sans être convergente. Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
MAJORER|un-?|EN RESPECTANT DEUX
RÈGLES:
La majoration obtenue doitTENDRE VERS0QUANDnTEND VERS+∞. Sans cela, nous ne pourrons pas trouver un rangNà partir duquel|un-?|< ?quand?est trop petit. La majoration obtenue doitÊTRE SIMPLE VIS-À-VIS DE LA RECHERCHE DU RANGN. Par exemple, la majoration|un-?|?1 npeut être considérée simple car on peut dans ce cas choisirN=!1?! +1. Dans le cas où?= +∞, on s"adapte. Pour montrer que :?A>0,?N??,?n?N,un>A, on commence RESPECTANT DEUX
RÈGLES:
La minoration obtenue doitTENDRE VERS+∞QUANDnTEND VERS+∞. La minoration obtenue doitÊTRE SIMPLE VIS-À-VIS DE LA RECHERCHE DU RANGN. Par exemple, la minorationun?n2peut être considérée simple car on peut dans ce cas choisirN=? A+1. Exemplelimn→+∞nsinnn2+2=0.
DémonstrationNous devons montrer que :?? >0,?N??,?n?N,???nsinnn2+2??? Soit? >0. Pour toutn??, majorons :???nsinn
n2+2??? =n|sinn|n2+2?nn2+2?nn2=1n. On majore enSIMPLIFIANTet en
vérifiant que ce par quoi on ma- PosonsN=!1?!
+1. À partir deN, l"inégalité1n< ?est vraie, donc l"inégalité???nsinnn2+2??? < ?aussi. Exemplelimn→+∞
n2+(-1)nn DémonstrationNous devons montrer que :?A>0,?N??,?n?N,n2+(-1)nn>A. SoitA>0. Pour toutn??, minorons :n2+(-1)nn?n2-n=n(n-1)?(n-1)2. On minore enSIMPLIFIANTet en
vérifiant que ce par quoi on mi- 2.2 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
PRODUIT
limn→+∞(unvn)lim n→+∞vnlim n→+∞un +∞+∞? >0 ou+∞ +∞-∞? <0 ou-∞ -∞? >0 ou+∞ +∞? <0 ou-∞??? 0+∞
ou-∞ MULTIPLICATION
PAR UN RÉEL
limn→+∞(λun)lim n→+∞unλ >0λ=0λ <0 0peu importe
INVERSE
limn→+∞1unlim n→+∞un 1???=0
0+∞
ou-∞ +∞0u n>0 à partir d"un
certain rang 0u n<0 à partir d"un
certain rang??? 0sinon
Mais finalement, c"est quoi uneforme indéterminée? C"est une formeÀ déterminer. Le symbole???signifie qu"en effec- On peut ne pas obtenir de limite : lim
n→+∞n+(-1)n= +∞et limn→+∞n= +∞, maisn+(-1)n-n= (-1)nn"a pas de limite. Cas de la forme indéterminée0×(+∞): On peut obtenir n"importe quel réel?: limn→+∞? n=0 et limn→+∞n= +∞, mais limn→+∞! ?n×n! On peut obtenir±∞: limn→+∞1 n=0 et limn→+∞n2= +∞, mais limn→+∞! 1n×n2!
On peut ne pas obtenir de limite : lim
n→+∞(-1)n n=0 et limn→+∞n= +∞, mais (-1)n n×n= (-1)nn"a pas de limite. DémonstrationNous ne démontrerons pas tous les résultats des tableaux précédents. Ici,SIMPLIFIER, c"est faire ap-
paraître les quantités|un-?| et|vn-??|de l"hypothèse.On majore enSIMPLIFIANTet en vérifiant que ce par quoi on ma- joreTEND TOUJOURS VERS0. 2+?2=?.
Christophe Bertault Mathématiques en MPSI