LIMITES DE SUITES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 3 TI CASIO II Limite de la somme de termes consécutifs Méthode : Calculer la limite de la somme des premiers termes d'une suite
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI LIMITE D UNE SUITE
LIMITE D’UNE SUITE 1 UN PEU DE VOCABULAIRE Définition (Suite réelle) On appelle suite (réelle) toute fonction u de Ndans R Pour tout n ∈ N, on préfère noter un le réel u(n), et (un)n∈Nou (un)n¾0 la suite u On travaillera seulement dans ce chapitre avec des suites définies sur tout N, mais on pourrait bien sûr travailler avec
Limite dune suite Suites convergentes
Limite d'une suite Suites convergentes 1 Limite d'une suite 1 1 Limite infinie a) Définitions On dit que la suite(un)admet pour limite +∞ si et seulement si, pour tout nombre réel A, tous les termes de la suite sont supérieur à A à partir d'un certain rang
LIMITE D’UNE SUITE
LIMITE D’UNE SUITE Etudier la limite d’une suite ( u n) , c’est examiner le comportement des termes u n lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes vers + ∞ 1 ) LES DIFFERENTS CAS POSSIBLES Soit une suite ( u n) cas 1 Si « u n est aussi grand que l’on veut dès que n est assez grand », alors on dit que la suite ( u n) a
Les suites - Partie II : Les limites
Limite d'une somme 7 Limite d'un produit 8 Limite d'un quotient 8 Exercice 9 Souvent pour calculer des limites, on s'appuie sur des limites de suites usuelles que l'on connaît et on applique des opérations sur celles-ci La plupart du temps ces opérations sont intuitives et relèvent du bon sens, mais
Suites arithmético-géométriques Limite et somme d’une suite
Limite et somme d’une suite géométrique cours de TaleES I Suites arithmético-géométriques EXERCICE 6 1 : Etude d’une suite arithmético-géométrique Dans une réserve naturelle, une race de singes est en voie d’extinction à cause d’une maladie Au premier janvier 2014, une
Limites de suites
Déterminer une limite en utilisant la définition 31 Étudier la limite d’une somme, d’un produit et d’un quotient 32 Déterminer une limite par minoration, majoration, encadrement 33 Connaître et utiliser le théorème de convergence des suites monotones 34 Déterminer la limite éventuelle d’une suite géométrique 35
Raisonnement par récurrence Limite d’une suite
2 LIMITE D’UNE SUITE Suites de référence : Les suites définies pour tout entier naturel n 6= 0 par : 1 √ n , 1 n , 1 n2 1 nk avec k ∈ N∗, ont pour limite 0 Algorithme : : Déterminer à partir de quel entier n, le terme un est dans un
Raisonnement par récurrence Limite d’une suite
2) On considère la suite arithmétique (vn) de raison 8 et de premier terme v0 = 16 Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4n 2 +12n 3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : u n = 4n 2 +12n +5
[PDF] limite d'une suite arithmético géométrique
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Chapitre 6
Suites arithmético-géométriques
Limite et somme d"une suite géométriquecours de T aleES I.Suites arithmético-géométriques EXERCICE6.1 :Etude d"une suite arithmético-géométriqueDans une réserve naturelle, une race de singes est en voie d"extinction à cause d"une maladie. Au premier janvier 2014, une
étude a montré que la population de cette race de singes, dans la réserve naturelle, ne comptait plus que5000individus.
On a alors mis en place un programme de soutient pour augmenter le nombre de naissances. A partir de cette date, on
estime que, chaque année, un quart des singes disparait et qu"il se produit 400 naissances.On modélise la population de singes dans la reserve naturelle à l"aide d"une suite. Pour tout entier natureln, le termevn
de la suite représente le nombre de singes au premier janvier de l"année2014 +n.1)Déterminerv0,v1etv2, justifier votre réponse.
2)Justifier que pour tout entier natureln, on a :vn+1= 0;75vn+ 400
3)On considère la suite(wn)définie pour toutnparwn=vn1600.
a)Montrer que(wn)est une suite géométrique de raison0;75. Préciser la valeur dew0. b)Pour tout entier natureln, exprimerwnen fonction den. c)En déduire que pour tout entier natureln, on avn= 1600 + 34000;75n.Définition 6.1 Une suite(un)n2Nest ditearithmético-géométriquelorsqu"il existe deux réelsaetbtels quepour toutn2N,(un)n2Nvérifie la relation de récurrenceun+1=aun+b.Remarque 6.1 :Déterminer le terme général d"une suite arithmético-géométrique
íLa méthode pour étudier une suite arithmético-géométrique(un)définie par récurrence, est de déterminerc2Rtelle que
suite(un+c)soit géométrique. Connaissant le terme général de(un+c), on peut déduire celui de(un).íEn classe de terminale ES, la résolution d"un problème portant sur une suite arithmético-géométrique est toujours guidée
par des questions, où la suite géométrique(un+c)est donnée.1 T aleESCHAPITRE 6. SUITES ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES / LIMITE ET SOMME D"UNE SUITE GÉOMÉTRIQUEM CERISIER - Mme ROUSSENALY
LGT Mansart - 2015-16II.Appr ochegraphique de la notion de limite d"une suite 1.Limite finie d"une suite
S"intéresser à la limite d"une suite(un)n2N, c"est étudier le comportement des termesunquandndevient grand.Exemple 6.1 :
Soit(un)n2N?et(vn)n2N?les suites définies par : pour toutn2N?; un= 11n etvn= 12 nu n510152025300:20:40:60:811:20v n510150:60:40:200:20:4Graphiquement, on conjecture que :limn!+1un= 1etlimn!+1vn= 0Définition 6.2
Soitl2R.
On dit qu"une suite(un)n2Na pour limitelquandntend vers+1lorsqu"il existe un seuiln0à partir duquel les termesun
(pourn>n0) sont tous aussi proches que l"on veut del. On note alors :limn!+1un=lExemple 6.2 : Interprétation graphiqueSur le graphique ci-contre, on a représenté
les premiers termes d"une suite(un)qui converge vers un réell.A partir du rangn0, tous les points repré-
sentant les termes de la suite, sont entre les deux droites en traits discontinus.xy n 0l 2.Limite infinie d"une suite
Exemple 6.3 :
Soit(un)n2Net(vn)n2Nles suites définies par : pour toutn2N; un= 1;2netvn=n+ (1)nu n51015202520406080100 0M n 0v n510152025510152025 0M n0Si on choisit un nombreMquelconque, les termesunetvnseront tous supérieurs àMà partir d"un certain rangn0à condition
de prendren0suffisamment grand. Graphiquement, on conjecture que :limn!+1un= +1etlimn!+1vn= +12 T aleESCHAPITRE 6. SUITES ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES / LIMITE ET SOMME D"UNE SUITE GÉOMÉTRIQUEM CERISIER - Mme ROUSSENALY
LGT Mansart - 2015-16Définition 6.3
On dit qu"une suite(un)n2Na pour limite+1quandntend vers+1, lorsque quel que soit le réelMque l"on choisi, il
existe un seuilnMà partir duquel les termesun(pourn>nM) sont tous plus grands queM. On note alors :limn!+1un= +1Exemple 6.4 : Interprétation graphique Sur le graphique ci-contre, on a représenté les premiers termes d"une suite(un) dont la limite est+1. A partir du rangn0, tous les points représentant les termes de la suite sont au- dessus de la droite horizontale en traits discontinus.xy n 0u n> Apourn>n0A 3.Cas par ticulierd"une suite géométrique
Propriété 6.1 :Limite de la suite(qn)n2N(admise)Soitq2R+. íSiq >1alors la suite(qn)n2Nadmet+1pour limite.íSi0< q <1alors la suite(qn)n2Nadmet0pour limite.EXERCICE6.2 :Donner la limite d"une suite de référenceDonner les limites des suites suivantes :(3n)n2N; et23
n n2N4.Utilisation d"un algorithme de rec herchede seuil pour une suite monotoneEXERCICE6.3 :Utilisation d"un algorithme de recherche de seuilVariables:u réel; M réel; n entier;
Debut saisir M; n:=0; u:=1.2^n; tant que u < Mn:=n+1; u:=1.2^n; fin tant queAfficher n;
Fin1)Executer cet algorithme en saisissant5pour la valeur deM, rassembler les étapes dans un tableau.
2)Recommencer en saisissant50pour la valeur deM. Cette fois, donner seulement la réponse finale de l"algorithme.
3)A quoi sert cet algorithme? Donner une réponse précise.
4)Après avoir saisi cet algorithme dans la calculatrice, déterminer le seuil pourM= 10000.3
T aleESCHAPITRE 6. SUITES ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES / LIMITE ET SOMME D"UNE SUITE GÉOMÉTRIQUEM CERISIER - Mme ROUSSENALY
LGT Mansart - 2015-16III.Somme des premier stermes d"une suite géométrique Propriété 6.2(démontrée ci-dessous)Soitq2Rn f1getn2N, on a :1 +q+q2+:::+qn=1qn+11q.DémonstrationSoitq2Rn f1getn2N,
on a :S=1 + q+q2+:::+qn1+qn donc :qS=q+q2+q3+:::+qn+qn+1 Donc par différence :SqS=1 qn+1, c"est à dire(1q)S= 1qn+1.Or,q6= 1donc finalement :S=1qn+11qPropriété 6.3(partiellement démontrée ci-dessous)Soitq2Rn f1g. La somme de tous les premiers termes d"une suite géométrique de raisonqest donnée par la formule :
1erterme1qNombre de termes1qDémonstrationCas d"une suite dont le premier terme estu0Soitq2Rn f1get(un)n2Nla suite géométrique de raisonqet de premier termeu0.
En utilisant l"expression du terme général on a :nX k=0u k=u0+u1+u2+:::+un1+un =u0+u0q+u0q2+:::+u0qn1+u0qn =u01 +q+q2+:::+qn1+qnAinsi,
nX k=0u k=u01qn+11qEXERCICE6.4 :Calculer la somme des premiers termes d"une suite géométrique1)Calculer la somme des20premiers termes de la suite géométrique(un)n2Nde premier termeu0= 100
et de raisonq=12