1ère S Cours chap 23 calculs de limites

b) Déterminons la limite de la suite u N B : On va réussir à trouver la limite de la suite par une autre expression 2 2 lim 0 car 1 1 3 3 1 1 lim 0 car 1 1 3 3 n n n donc par limite d’une somme, lim 0n n u On peut dire en utilisant le vocabulaire du cours que la suite un converge vers 0

1ère S Cours chap 23 calculs de limites

VI Signe d’une quantité qui tend vers 0 (« signe du 0 ») 1°) Principe Lorsque le résultat d’une limite est 0, on va parfois préciser « son signe » L’écriture lim 0 x a f x signifie que : 1) f x tend vers 0 quand x tend vers a; 2) la fonction f prend des valeurs positives pour x proche de a

Première S - Comportement d’une suite, Problèmes

suite a pour limite 2 et on note : Exemple 3 : On définit la suite : S á ; par : S á = 1 á Etudions le comportement de cette suite lorsque J prends des valeurs de plus en plus grande

NOM : SUITES 1ère S

3 et s 4 b) Expliquer pourquoi la suite (s n) se comporte comme une suite arithmétique pour n < n 0 c) Exprimer s n en fonction de n (pour n < n 0) d) Calculer s 10 2) On s’intéresse maintenant à la somme S n cumulée des montants annuels remboursés au cours des n pre-mières années : S n = s 1 +s 2 + +s n: a) Calculer S 1, S 2, S 3

Fiche suites rappels de première S

D’une façon générale : S n = 1er terme 1 qNbre de termes 1 q 6 Suite arithmético-géométrique Ce sont les suites déﬁnies par la relation de récurrence : u n+1 = au n + b avec a , 1 Pour étudier ces suites, il faut passer par une suite auxiliaire (v n), déﬁnie par : v n = u n b 1 a qui est géométrique 7 Convergence d’une suite

Exercices supplémentaires : Suites

2) A l’aide d’une représentation graphique, conjecturer leurs limites et les comparer 3) Déterminer un entier tel que (≤ ( 4) Justifier que si pour un entier 1 ≥ 34 , on a 2 < 2 alors 2

LIMITES DE SUITES - Maths & tiques

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 3 TI CASIO II Limite de la somme de termes consécutifs Méthode : Calculer la limite de la somme des premiers termes d'une suite

Cours I : SUITES NUMERIQUES - univ-angersfr

III Limite d’une suite 1/ Notion de limite d’une suite Définition : Pour une suite numérique (un), il y a 3 types de limites : - (un) converge vers une limite finie L (un) est dite convergente un+1 = 2-0,5 un - (un) admet une limite +∞ ou -∞ (un) est dite divergente un+1= -1+1,5 un - (un) n’admet pas de limite

GENERALITES SUR LES SUITES Notion de suite Exo1

Exo10: soit la suite définie par : U0 0 U U 2 et, pour tout n : 1 1 2n 1) démontrer par récurrence que est majorée par 4 et minorée par 0 2) démontrer par récurrence que est croissante conseil : relire attentivement le principe de la démonstration, et soigner la rédaction Limite d’une suite

1ère S Chap. 23 Limites de fonctions (2)

Calculs de limites

Les calculs de limites déduites des limites des fonctions de référence sont codifiés par des règles de calcul

précises. Propriétés des limites et calculs de limites Le but est de comprendre comment ça marche pour les calculs de limites. I. Règles d'opérations algébriques sur les limites (admises sans démonstration) a désigne soit un réel, soit +, soit -. m et n sont deux réels.

1°) Limite d'une somme

Si lim

x af x m m m

Si lim

x ag x n

Alors limx af x g x m n FI

2°) Limite d'un produit

Si lim

x af x m 0m 0m 0m 0m 0

Si limx ag x n ou

Alors limx af x g x m n FI

3°) Limite d'un quotient

Si lim x af x m m 0m ou 0m ou 0m ou 0m ou ou 0 Si limx ag x 0n ou

0n 0n 0n 0n

0 en restant positif 0 en restant négatif 0 en restant positif 0 en restant négatif ou 0 Alors lim x a f x g x m n 0 FI FI N.B. Dans les trois lignes de chaque tableau, x doit tendre vers la même chose. 2

II. Compréhension des tableaux

Les trois tableaux du paragraphe précédent ne nécessitent pas vraiment de mémorisation particulière.

Les résultats des trois tableaux sont admis mais se retrouvent intuitivement très facilement comme nous

allons le voir sur des exemples.

1°) Limite d'une somme

Exemples

Si lim 2

x af x et lim 3 x ag x , alors lim 5 x af x g x

Si lim 2

x af x et lim x ag x , alors lim x af x g x Si lim 2x af x et limx ag x , alors limx af x g x .

2°) Limite d'un produit

Exemples

Si lim 2

x af x et lim 3 x ag x , alors lim 6 x af x g x

Si lim 2

x af x et lim x ag x , alors limx af x g x .

Si lim 2

x af x et lim x ag x , alors limx af x g x .

Si lim

x af x et lim x ag x , alors lim x af x g x

3°) Limite d'un quotient

Si lim 2

x af x et lim 3 x ag x , alors

2lim3x a

f x g x.

Si lim 2

x af x et lim x ag x , alors lim 0 x a f x g x (" 2 sur un très grand nombre ça fait 0 »).

Si lim 2

x af x et lim x ag x , alors lim 0 x a f x g x.

Si lim

x af x et lim 0 x ag x , alors lim x a f x g x (2 sur un nombre positif très proche de 0, ça fait

Si lim

x af x et lim 0 x ag x , alors lim x a f x g x . 3

III. Formes indéterminées

1°) Examen

Si lim

x af x et lim x ag x , alors les règles sur la limite d'une somme ne permettent pas de donner lim x af x g x ; on dit que l'on a une forme indéterminée ou une indétermination du type " ».

Pour déterminer la limite, il faut transformer l'écriture de f x g x pour voir le terme qui tend le plus vite

vers + (croissance comparée).

Si lim 0x af x et limx ag x , alors les règles sur la limite d'un produit ne permettent pas de donner

lim x af x g x ; on dit que l'on a une forme indéterminée ou une indétermination du type " 0 ». N.B. : On apprend que " 0 n'importe quoi ça fait 0 ». Cela dit le n'importe quoi doit être un nombre (et non pas ou qui ne sont pas des nombres).

Si lim

x af x et lim x ag x , alors les règles sur la limite d'un quotient ne permettent pas de donner lim x a f x g x; on dit que l'on a une forme indéterminée ou une indétermination du type "

Si lim 0

x af x et lim 0 x ag x , alors les règles sur la limite d'un quotient ne permettent pas de donner lim x a f x g x; on dit que l'on a une forme indéterminée ou une indétermination du type " 0

0 ».

2°) Bilan : 4 types de FI qu'on écrit symboliquement

" 0 » " 0

0 »

3°) Commentaires

A noter " » est bien une FI mais pas " » n'est pas une FI.

Lorsque l'on rencontre une FI, on ne peut pas déterminer la limite à partir des opérations algébriques.

Pour lever l'indétermination, on doit utiliser des méthodes particulières (croissance comparée pour une somme

par exemple).

Les FI seront étudiées en Tale.

IV. Exemples de calculs de limites

1°) Exemple 1

Déterminer

2lim 3

xx x

On sépare :

2 2lim donc par limite d'une somme (tableau 1) lim 3lim 3 x x x x x xx

2°) Exemple 2

Déterminer 3lim 2xxx

lim 23donc par limite d'une somme (tableau 1) lim 23lim 0 x x x x xxx

3°) Exemple 3

Déterminer

1lim 3

xxx 00 0 0 00

1lim1donc par limite d'une somme (tableau 1) lim 3

lim 3 3 xx x x xx x x

4°) Exemple 4

Déterminer

5lim 2

xx xx 00 0 0 00 lim 2 0

5donc par limite d'une somme (tableau 1) lim 25lim

xx x x xx x xx x 5

5°) Exemple 5

Déterminer

2 2lim 1

xx x 2 2 2 2 lim donc par limite d'un produit (tableau 2) lim 1lim 1 x x x x x xx

C'est plus-moins (règle des signes)

(On pense " » mais on ne l'écrit pas !)

6°) Exemple 6

Déterminer 4lim2 1xx.

lim 4 44donc par limite d'un limite d'un quotient (tableau 3) lim 02 1lim 2 1 x x xxx

V. Limite à droite ; limite à gauche

1°) Tendre vers un nombre par valeurs supérieures ou inférieures

Nous verrons dans la suite du cours, que l'on doit parfois faire tendre x vers un réel a par valeurs supérieures ou

par valeurs inférieures.

On a déjà vue cette notion pour la limite en 0 de la fonction inverse ; on a vu qu'il y avait deux cas suivant que

x tendait vers 0 par valeurs positives ou par valeurs négatives.

2°) Exemple

On peut faire tendre x vers 2 par valeurs supérieures ou on peut faire tendre x vers 2 par valeurs inférieures.

x 2 x 2 x < 2 x > 2

à gauche à droite 2

x x x < 2 x > 2

1,9 ; 1,99 ; 1,999... 2,1 ; 2,01 ; 2,001 ...

2x 2x

Attention : le + et le ne signifient pas positif ou négatif ici.

3°) Significations des écritures

x a signifie x ax a x a signifie x ax a 6

On retiendra que l'on peut écrire sous deux formes " x tend vers a par valeurs supérieures » :

x ax a ou plus simplement x a De même, on peut écrire sous deux formes " x tend vers a par valeurs inférieures » : x ax a ou plus simplement x a

Par exemple,

on peut écrire sous deux formes : 22xx ou plus simplement 2x. on peut écrire sous deux formes : 22xx ou plus simplement 2x.

4°) Remarque

Attention à la présence de parenthèses lorsque le a : est précédé d'un signe -

Exemples : 11xx s'écrit 1x

(présence de parenthèses obligatoires).

11xx s'écrit 1x

(présence de parenthèses obligatoires). est écrit comme une somme, un produit, un quotient :

Exemples : 1

2 1 2xx s'écrit 1 2x

2 32 3xx s'écrit 2 3x

VI. Signe d'une quantité qui tend vers 0 (" signe du 0 »)

1°) Principe

Lorsque le résultat d'une limite est 0, on va parfois préciser " son signe ».

L'écriture lim 0

x af x signifie que :

1) f x tend vers 0 quand x tend vers a ;

2) la fonction f prend des valeurs positives pour x proche de a.

Même signification pour l'écriture : lim 0

x af x Nous verrons dans le paragraphe l'utilisation et l'importance de cette précision. 7

2°) Exemples simples

0lim 0

xx (écriture symbolique) 2

1lim 1 0

xx (un carré est toujours positif)

1lim 0xx

; 1lim 0xx

3°) Exemples plus compliqués ; utilisation d'un tableau de signes

Déterminer 1lim 1

xx et 1lim 1 xx.

On a : 1lim 1 0xx

Donc au début, on se contente d'écrire 1lim 1 0 xx et 1lim 1 0 xx .

On fait le tableau de signes de 1x.

On complète ensuite après avoir observé le tableau : 11 lim 1 0 xx x et 11 lim 1 0 xx x

Déterminer

2lim 4

xx et 2

2lim 4

xx .

Pour l'instant, on se contente d'écrire

2lim 4 0

xx et 2

2lim 4 0

xx .

On fait un tableau de signes de 24x.

x - -2 2 +

Signe de 24x + 0 - 0 +

On complète ensuite après avoir observé dans le tableau.quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

[PDF] 1ère S Cours chap 23 calculs de limites

1ère S Chap. 23 Limites de fonctions (2)

Calculs de limites

1°) Limite d'une somme

Si lim

Si lim

Alors limx af x g x m n FI

2°) Limite d'un produit

Si lim

Si limx ag x n ou

Alors limx af x g x m n FI

3°) Limite d'un quotient

0n 0n 0n 0n

II. Compréhension des tableaux

1°) Limite d'une somme

Exemples

Si lim 2

Si lim 2

2°) Limite d'un produit

Exemples

Si lim 2

Si lim 2

Si lim 2

Si lim

3°) Limite d'un quotient

Si lim 2

2lim3x a

Si lim 2

Si lim 2

Si lim

Si lim

III. Formes indéterminées

1°) Examen

Si lim

Si lim

Si lim 0

0 ».

2°) Bilan : 4 types de FI qu'on écrit symboliquement

0 »

3°) Commentaires

Les FI seront étudiées en Tale.

IV. Exemples de calculs de limites

1°) Exemple 1

Déterminer

2lim 3

On sépare :

2°) Exemple 2

Déterminer 3lim 2xxx

3°) Exemple 3

Déterminer

1lim 3

1lim1donc par limite d'une somme (tableau 1) lim 3

4°) Exemple 4

Déterminer

5lim 2

5donc par limite d'une somme (tableau 1) lim 25lim

5°) Exemple 5

Déterminer

2 2lim 1

C'est plus-moins (règle des signes)

6°) Exemple 6

Déterminer 4lim2 1xx.

V. Limite à droite ; limite à gauche

1°) Tendre vers un nombre par valeurs supérieures ou inférieures

2°) Exemple

à gauche à droite 2

1,9 ; 1,99 ; 1,999... 2,1 ; 2,01 ; 2,001 ...

2x 2x

3°) Significations des écritures

Par exemple,

4°) Remarque

Exemples : 11xx s'écrit 1x

11xx s'écrit 1x

Exemples : 1

2 32 3xx s'écrit 2 3x

1°) Principe

L'écriture lim 0

1) f x tend vers 0 quand x tend vers a ;

2) la fonction f prend des valeurs positives pour x proche de a.

Même signification pour l'écriture : lim 0