1 Limite d’une suite géométrique

Limite d’une suite géométrique (????????) est une suite géométrique de raison non nulle Pour tout entier ????, ???????? = ????0 × ???? I) Théorème Q− -1 < < 1 > 1 ???? > +∞ Pas de limite Converge vers 0 ???? < −∞ II) Cas particuliers : Si = 0 alors ???????? = 0 pour ???? R1 Si = 1 alors ????????

LIMITES DE SUITES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 LIMITES DE SUITES I Limite d'une suite géométrique 1) Suite (qn) q 0

1 Limite d’une suite géométrique - Free

n∈N une suite géométrique positive • Si 0 < q < 1, alors la suite admet 0 comme limite : lim n→+∞ u n = 0 • Si q > 1, alors la suite admet une limite inﬁnie : lim n→+∞ u n = +∞ Propriété 3 Exemple 4 On injecte à une patient une dose de 2 cm3 de médicament Chaque heure, le volume du médicament dans le sang diminue

Suites arithmético-géométriques Limite et somme d’une suite

CHAPITRE 6 SUITES ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES / LIMITE ET SOMME D’UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE M CERISIER - Mme ROUSSENALY LGT Mansart - 2015-16 II Approche graphique de la notion de limite d’une suite 1 Limite ﬁnie d’une suite S’intéresser à la limite d’une suite (u n) n2N, c’est étudier le comportement des termes u n quand n

Maths Limite de suites 9juin - medias2ftvakamaizednet

QUESTION 2 est une suite géométrique de premier terme =2 et de raison Conjecturer sa limite

Terminale S - Limite de suites - ChingAtome

1 La suite (un) est géométrique de premier terme stricte-ment négatif et de raison 2 2 La suite (vn) est géométrique de premier terme stricte-ment positive et de raison 3 3 La suite (wn) est géométrique de premier terme stricte-ment négative et de raison 0,2 4 Limites de somme des termes de suites : Exercice 2559 1 Soit (un) n2N

LIMITES DE SUITES EXERCICES CORRIGES

1) a) Déterminer les cinq premiers termes de cette suite b) Quel semble être la limite de (un)? 2) Montrer que la suite (vn) définie par 2 4 v un = −n est géométrique En déduire la limite de la suite (vn) puis celle de la suite (un) Exercice n°6 Soit la suite (n) n u ∈ℕ définie par 0 1 0 n 2 n u u + u = = +

Les suites - Partie II : Les limites

Si , la suite n'a pas de limite Complément : Limite de q^n quand q>1 Ce premier point a été démontré en ROC précédemment Complément : Limite de q^n quand -1

Limite dune suite Suites convergentes

Limite d'une suite Suites convergentes 1 Limite d'une suite 1 1 Limite infinie a) Définitions On dit que la suite(un)admet pour limite +∞ si et seulement si, pour tout nombre réel A, tous les termes de la suite sont supérieur à A à partir d'un certain rang

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S10 - Suites 2Limite de suitesTaleES

1Limite d"une suite géométrique

L"objectif est de connaître le comportement d"une suite géométrique (un)n?Nlorsquenprend de grandes valeurs : on écrit limn→+∞un=?

le casq= 1 est trivial car 1 n= 1 pour toutn

Remarque.Soitqun réel strictement positif.

Si 0< q <1 alors limn→+∞qn= 0.

Siq >1 alors limn→+∞qn= +∞.

Propriété 1.

Exemple 2

limn→+∞2n= +∞car 2>1 et limn→+∞0,3n= 0 car 0,3<1. une suite géométrique de premier termeu0et de raisonqa pour expression : u n=u0×qn

Rappel.

Soit (un)n?Nune suite géométrique positive.

Si 0< q <1, alors la suite admet 0 comme limite : limn→+∞un= 0. Siq >1, alors la suite admet une limite infinie : limn→+∞un= +∞.

Propriété 3.

Exemple 4

On injecte à une patient une dose de 2 cm3de médicament. Chaque heure, le volume du médicament dans le sang diminue de 12%. Pour tout entiern, on noteunle volume du médicament, en cm

3, présent dans le corps du patient.

(un)n?Nest une suite géométrique de raisonq= 1-12

100= 0,88.

0,88<1, donc, la dose de médicament va diminuer jusqu"à devenir nulle.

Sn=u0×1-qn+11-q.

Rappel.Soit (un)n?Nune suite géométrique de premier termeu0>0 de raison q?= 1. On noteSnla somme desn+ 1 termes de la suite.

Si 0< q <1, alors limn→+∞Sn=u0

1-q.

Siq >1 alors limn→+∞Sn= +∞.

Propriété 5.

Il faudra 2000 ans pour

comprendre ce paradoxe

Remarque.

Le paradoxe d"Achille :un paradoxe de Zénon d"Elée met en scène le Grec Achille pour sa rapidité. Imaginons qu"Achille ait à parcourir 100 m à la vitesse uniforme de 10 m/s. Il lui faut d"abord franchir la moitié de cette distance, puis la moitié de la distance restante, puis la moitié suivante, et ainsi de suite. Ce processus peut être poursuivi indéfiniment, puisque la longueur restant à parcourir, bien que de plus en plus petite, peut toujours être divisée en deux parties égales. Donc, concluait Zénon, puisque Achille doit franchir un nombre infini d"intervalles finis, il n"atteindra jamais son but. N.Daval - mathematiques.daval.free.fr 1/2 Lycée Georges Brassens

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2Algorithmes de calcul

Un algorithme est une suite finie d"instructions données dans un certain ordre permettant de résoudre un problème. Ce mot vient du nom du mathématicien perse Muhammad ibn Musa al-Khuwarizmi (8 èsiècle après J.C.), surnommé le pere de l"algèbre. Étant donné une suite géométrique de raisonq?[0,1], on souhaite mettre en oeuvre un algorithme permettant de déterminer un seuil à partir duquel la suite est inférieure à un réeladonné.

Exemple 6

On reprend l"exercice 4, on souhaite connaître la " demi-vie» du médicament, c"est à dire le moment où le médicament sera absorbé à 50%.

On rappelle que pour toutnpositif,un= 2×0,88n.

on peut également utiliser la table de la calculatrice en mode "suite» :

Calculatrice.

Variables{

Initialisation{

Traitement{

Sortie{

AlgorithmeSeuil pour une suite géométrique

Variable

n:un nombre entier naturel u:un nombre réel

Début

Affecter à n la valeur 0

Affecter à u la valeur 2

TantQueu est supérieur à 1Faire

Affecter à n la valeur n+1

Affecter à u la valeur 2×0,88n

FinTantQue

Affichern

Fin

En langage de programmation, on a par exemple :

Calculatrice TI

Algobox

Python

n=0 u=2 whileu>1: n=n+1 u=2* pow(0.88,n) print(n) L"algorithme nous donne un seuil de 6, c"est à dire qu"à partir de 6 heures après l"injection du médicament, il en restera moins de la moitié dans le corps du patient. N.Daval - mathematiques.daval.free.fr 2/2 Lycée Georges Brassensquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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1Limite d"une suite géométrique

Remarque.Soitqun réel strictement positif.

Si 0< q <1 alors limn→+∞qn= 0.

Siq >1 alors limn→+∞qn= +∞.

Propriété 1.

Exemple 2

Rappel.

Soit (un)n?Nune suite géométrique positive.

Propriété 3.

Exemple 4

3, présent dans le corps du patient.

100= 0,88.

0,88<1, donc, la dose de médicament va diminuer jusqu"à devenir nulle.

Sn=u0×1-qn+11-q.

Si 0< q <1, alors limn→+∞Sn=u0

Siq >1 alors limn→+∞Sn= +∞.

Propriété 5.

Il faudra 2000 ans pour

Remarque.

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2Algorithmes de calcul

Exemple 6

On rappelle que pour toutnpositif,un= 2×0,88n.

Calculatrice.

Variables{

Initialisation{

Traitement{

Sortie{

AlgorithmeSeuil pour une suite géométrique

Variable

Début

Affecter à n la valeur 0

Affecter à u la valeur 2

TantQueu est supérieur à 1Faire

Affecter à n la valeur n+1

Affecter à u la valeur 2×0,88n

FinTantQue

Affichern

En langage de programmation, on a par exemple :

Calculatrice TI

Algobox

Python

Si 0< q <1 alors limn→+∞qn= 0.

Siq >1 alors limn→+∞qn= +∞.

Si 0< q <1, alors limn→+∞Sn=u0

Siq >1 alors limn→+∞Sn= +∞.