[PDF] MATHEMATIQUES Logarithmes exercices et corrig es

Exercices sur le logarithme décimal

Exercices sur le logarithme décimal 1 Soient aet b∈R∗ Simplifier: (a) log0,1· Ã a2 r b2 a3 a b3 (b) log µ 10a3b−2 a √ a2b3 ¶3 µ a−4b3 100 4 √ b2a ¶−2 (c) log 0,001 ³ 3 √ a4b−2

MATHEMATIQUES Logarithmes exercices et corrig es

Logarithmes 1 4 Exercice 4 1 4 Calculer, a l’aide des logarithmes d ecimaux, les nombres : log 4 346 log 6 67 log 9 48 1 5 R esoudre les equations1: 2x= 7 100n= 1428 ln(x+ 1) = 0

LA FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL E04

LA FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL E04 EXERCICE N°1 (Le corrigé) L’échelle de Richter, basée sur les mesures faites par les sismographes, exprime la magnitude M d'un séisme Cette magnitude se calcule selon la formule : M = log(A A0) où A représente l'amplitude maximale relevée par le sismographe et A0 une amplitude de référence

LOGAARRI ITTHHMMEE DDÉÉCCIMMAALL

Logarithme décimal 5/8 Exercice 4 Partie 1 Le sonomètre est un appareil qui permet de mesurer le niveau sonore atteint par une machine Le résultat est donné en décibels Le décibel a pour symbole dB

Dossier Mdp: Logarithme d´ecimal

lnx ou` ln d´esigne le logarithme n´ep´erien 3 (a) Reproduire et compl´eter le tableau de valeurs suivant: x 0,5 1, 25 2,5 3,75 5 g(x) ’ (b) Calculer la puissance du signal re¸cu si l’affaiblissement est de 4 dB 2

EXERCICE N°3 (Le corrigé) On a représenté dans le repère ci

LA FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL E02 EXERCICE N°3 (Le corrigé) On a représenté dans le repère ci-dessous le des fonctions f et g définies sur ]0 ; +∞[par : f (x)=log(5x) et g(x)=log(2x) Identifier chacune des courbes en justifiant la réponse Soit x∈]0 ; +∞[Comme 5 > 2 alors 5x > 2x

BAC PRO 1 MATHEMATIQUES Approche

Logarithme décimal LOGARITHMES L D 02 3 LOGARITHME DECIMAL : APPROCHE DE LA NOTION Dans l’exemple « échelle des temps », à toute date x est associée, un nombre réel sur l’échelle logarithmique des temps tels que x = 10y Ecrivons par exemple 35 000 ( début de l’homo sapiens ) sous forme de puissance de 10

Groupe Mathématiques Liaison Lycée ‐ Université

Exercices de mathématiques sur les fonctions logarithme en base Exercice n°6 : Les fonctions logarithmes Dans cet exercice, le nombre est un réel strictement supérieur à 1 On définit le logarithme en base de le nombre y tel que = Ce nombre est noté log Exemples : 1000=10

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES

Exercice n° 2 Compléter le tableau suivant, à partir de certaines valeurs (arrondies à 0,1) près de la fonction logarithme népérien a 2 3 4 6 9 8 27 72 216 ln (1) 6 ln (1) 16 ln( )a 0,7 1,1 Exercice n° 3 Comparez les réels x et y : x =3ln2 et y =2ln3 x = −ln5 ln2 et y = −ln12 ln5 Exercice n° 4

Fonctions exponentielles de base q et logarithme décimal

fonction logarithme décimal et le log d’une valeur négative n’existe pas qx = a On prend le logarithme décimal de chaque membre log(qx) = log(a) On utilise les propriétés opératoires des logarithmes xlog(q) = log(a) x = log(a) log(q) Exercice : Résoudre les équations suivantes, donner une valeur approchée du résultat au

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MATHEMATIQUES

Logarithmesexercices et corriges

Compile le 29 octobre 2002R. Lefevre28/10/2002Logarithmes

LogarithmesCONTENU DU DOCUMENTContenu du document

1 EXERCICES 2

1.1 Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.2 Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.3 Exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.4 Exercice 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.5 Exercice 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.6 Exercice 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.7 Exercice 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.8 Exercice 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.9 Exercice 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.10 Exercice 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 CORRIGES 7

2.1 Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72.2 Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72.3 Exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72.4 Exercice 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82.5 Exercice 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82.6 Exercice 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92.7 Exercice 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132.8 Exercice 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142.9 Exercice 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152.10 Exercice 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15Exercices & corriges-1/16 -

Logarithmes1 EXERCICES

1.1 Simplier manuellement le plus possible, puis verier avec une calculatrice :

6;234p6;2

3p45 1.2 Il y a au moins deux approches dierentes pour calculer manuellement 64 23.

Proposer celle qui vous semble la plus simple.

1.3 Dans les calculs, il est souvent utile de passer de la forme exponentielle a la forme logarithmique, et inversement.

Quelques exemples :

x n=y,logxy=n 7

2= 49,log749 = 2

log(x1) =a,10a=x1 lnx= 1;26,e1;26=x Changer les formes exponentielles, en formes logarithmiques :

3p8 = 2

61=163;6p91;84

Changer les formes logarithmiques, en formes exponentielles : log381 = 4 log51625=4 log927 =32Exercices & corriges-2/16 -

Logarithmes1.4 Exercice 41.4

Calculer, a l'aide des logarithmes decimaux, les nombres : log4346 log667 log948 1.5

Resoudre les equations

1: 2x= 7

100n= 1428

ln(x+ 1) = 0 ln2x= ln(x+ 1) 1.6

Tracer les graphes des fonctions :

f(x)= log3x g(x)= log2x 1.7 Le montant d'un capital, place a inter^et compose, est donne par : C n=Ci

1 +t100

n Ou : 8 :C nest le montant du capital place au bout denannees C iest le capital initial

test le taux, exprime en pour cent.Calculer le taux auquel il faudrait placer un capital initial de 3000, pour

qu'il soit double au bout de 10 ans.Avec le taux ci-dessus, calculer le nombre d'annees qu'il faudrait attendre

pour que le capital soit le triple du capital initial.Tracer la courbeC=f(n), avecn2[0 ; 20] .1La fonction exponentielle est denie sur l'ensemble des nombres reelsR, mais la fonc-

tion logarithme n'est denie que pourx2]0; +1[.Exercices & corriges-3/16 -

Logarithmes1.8 Exercice 81.8

Charge d'un condensateur

La tension aux bornes d'un condensateur sous tension constanteUsuit une loi de croissance exponentielle (Fig- 1). La valeur instantanee de cette tensionuCest une fonction du tempstet sa forme depend de la constante de temps du circuit=RC. Plus la constante de temps sera faible, plus le condensateur sera charge rapidement : u C=U0

1etRC1

ACuCURFig.1 {On considere en pratique, qu'un condensateur est completement charge (uCU), au bout d'un temps egal a 5RC. En eet, le produitRCetant exprime en secondes, on a : t=RC)uC=U1e10;63U t= 2RC)uC=U1e20;86U t= 3RC)uC=U1e30;95U t= 4RC)uC=U1e40;98U t= 5RC)uC=U1e50;99U On voit bien, qu'au bout d'un temps egal a 5RC, le condensateur est charge a plus de 99% de sa valeur nale.

Application numerique

Un condensateurC= 1000Fest charge, au travers d'une resistance

R= 68k

, par une source de tension continueU= 20V.Calculer le temps necessaire pour que la tension aux bornes du conden-

sateur soit egale a 15V.Tracer la courbeuC=f(t)Exercices & corriges-4/16 -

Logarithmes1.9 Exercice 91.9

La loi de Fechner

L'oreille humaine presente une particularite remarquable. Il faut doubler la puissance sonore, la pression acoustique, pour qu'elle percoive une augmenta- tion. Celle-ci est percue comme continue si la puissance initiale est multipliee successivement par 2, puis 4, 8, etc... Autrement dit, la sensation auditive n'est pas proportionnelle a l'exitation, mais a son logarithme : C'est la loi de Fechner

2. Ceci a conduit a exprimer

les accroissements, ou les attenuations, de telle sorte qu'ils varient assez peu alors que les rapports eux-m^emes varient dans des proportions beaucoup plus grandes, d'ou l'utilisation du logarithme decimal. Par convention, on exprime le rapport de deux grandeurs, puissance ou tension, en decibels (dB). On a ainsi :{Le gain en puissance : G

P= 10logPSPE{Le gain en tension :

G

V= 20logVSVE

Application numerique

Le gain en tension d'un amplicateur (Fig- 2), estGV= 47dB:VVA E

SFig.2 {Calculer la valeur du rapport des tensionsAV=VSVEQuelle est la valeur de la tension de sortie, avecVE= 25mV?2Dans une cha^ne de reproduction sonore, par exemple, le potentiometre est souvent

remplace par un commutateur a plots qui, d'une position a la suivante, permet d'obtenir une puissance double en sortie. Ainsi, a une rotation continue de la commande de volume

de l'amplicateur correspond, a l'oreille, une sensation d'accroissement continu.Exercices & corriges-5/16 -

Logarithmes1.10 Exercice 101.10

La magnitudeMd'un seisme d'intensiteI, est mesuree sur l'echelle de

Richter parM= logII0

ouI0est une intensite de reference. L'energieE (en joules) liberee au foyer du seisme, est liee a la magnitude par la formule, logE=a+bM

ouaetbsont des constantes.Placer sur l'echelle de Richter les seismes :{San Francisco, en 1906 :I= 1;78108I0{Los Angeles, en 1971 :I= 5;01106I0Determiner les valeurs deaetb, sachant qu'un seisme de magnitude 8

met en jeu environ 30 000 fois plus d'energie qu'un seisme de magnitude

5, lui-m^eme liberant une energie de 0;21020J.Exercices & corriges-6/16 -

Logarithmes2 CORRIGES

2.1

6;234p6;2 = 6;2(3+14)

= 6;2134 = 6;23;25376;0743p45=3p210

3p293p2

= 2 33p2
= 8

3p210;082.2

6423=3p642=3p212= 24= 166423=

6413

2=3p642= 42= 162.3

3p8 = 2,813= 2,log82 =1361=16,log616

=13;6p91;84,913;61;84,log91;8413;6log381 = 4,34= 81Exercices & corriges-7/16 -

Logarithmes2.4 Exercice 4log51625

=4,54=1625log927 =32,932= 272.4 log4346 =y,4y= 346 ,log4y= log346 ,ylog4 = log346 ,y=log346log4,log43464;2173log667 =y,6y= 67 ,ylog6 = log67 ,y=log67log6,log6672;3467log948 =y,9y= 48 ,ylog9 = log48 ,y=log48log9,log9481;76192.5

2x= 7,log2x= log7

,xlog2 = log7 ,x=log7log2,x2;807Exercices & corriges-8/16 - Logarithmes2.6 Exercice 6100n= 1428,log100n= log1428 ,nlog100 = log1428 ,n=log14282,n1;5773ln(x+ 1) existe ssi :x+ 1>0,x >1

D'ou :Df= ]1; +1[

Ainsi : ln(x+ 1) = 0,x+ 1 =e0

,x+ 1 = 1,x= 0

D'ou :S=f0gln2xexiste ssi : 2x >0,x >0

ln(x+ 1) existe ssi :x+ 1>0,x >1

D'ou :Df= ]0; +1[

Ainsi : ln2x= ln(x+ 1),2x=x+ 1

,x= 1

D'ou :S=f1g2.6

Pour tracer les graphes des fonctionsf(x)= log3xetg(x)= log2x, il n'est pas possible d'utiliserdirectementun traceur de fonctions, qui ne dispose ge- neralement que des fonctions log

10xet lnx, voire que de cette derniere. Il y a

deux methodes pour y parvenir :

2.6.1 Manuellement

Fonctions reciproques :Les fonctions a tracer sont un cas particulier de la fonction generale log ax, ouaest un nombre entier quelconque, et il faut revenir sur la notion defonction reciproque: La fonction reciproque d'une fonctionf(x)donnee, est une nouvelle fonction notee 3f1 (x), et obtenue en permutant variable et fonction, dans l'ecriture de la

fonction initiale. Deux exemples (Fig- 3) :3C'est cette notation de la fonction reciproque qui la fait souvent appeleeinverse. Ce

terme, bien que largement employe (calculatrices), ne semble pourtant pas tres approprie...Exercices & corriges-9/16 -

Logarithmes2.6 Exercice 6O

OFig.3 { Les fonctionsf(x)=x2,f1

(x2)=pxet,f(x)=ex,f1 (ex)= lnxf(x)=x2,y=x2f1!x=y2,y=px f (x)=ex,y=exf1!x=ey,y= lnx Graphes des fonctions reciproques :Les graphes de deux fonctions reci- proques,dans l'intervalle ou elles sont denies ensemble, est symetrique par rapport a la premiere bissectrice du systeme d'axes. On trace alors point par point les fonctions reciproquesf1 (x)= 3xetg1 (x)= 2xpuis, par symetrie, les fonctionsf(x)= log3xetg(x)= log2x. Autre approche :En utilisant la denition de deux fonctions reciproques, faire un tableau (1) de valeurs pour les fonctionsf1 (x)= 3xetg1 (x)= 2x. (1) xf1x= 3xg1x= 2x1;50;190;35

10;330;5

0;50;580;7

011

0;51;731;4

132

1;55;22;8Exercices & corriges-10/16 -

Logarithmes2.6 Exercice 6Faire ensuite un tableau de valeurs par fonction a tracer, en permutant variable et fonction (2 et 3), puis construire point par point chacun des graphes (Fig- 4 et 5). (2) xf(x)= log3x0;191;5 0;331

0;580;5

10

1;730;5

31

5;21;5

(3) xg(x)= log2x0;351;5 0;51

0;70;5

10

1;40;5

21

2;81;5

2.6.2 Par le calcul, avec un traceur de fonctions

Le probleme se ramene a calculer

4le logarithme a base quelconque d'un

nombre. Avecy= logax, et en passant a la forme exponentielle, on a : y= logax,ay=x ,lnay= lnx ,ylna= lnx ,y=lnxlna)logax=lnxlnaCette formule est tres interessante en pratique. On en voit un exemple ici,

puisque :{tracerf(x)= log3x, revient a tracerf(x)=lnxln3{tracerg(x)= log2x!g(x)=lnxln24Ici,faire calculerpar la machine... Avec les logarithmes neperiens, disponibles sur

tous les traceurs.Exercices & corriges-11/16 -

Logarithmes2.6 Exercice 6ij

OFig.4 {f(x)= log3x, etf1

(x)= 3xij

OFig.5 {g(x)= log2x, etg1

(x)= 2xExercices & corriges-12/16 - Logarithmes2.7 Exercice 7Graphes :Ils sont realises avec Gnuplot, traceur ou la fonctionlogcorres- pond au logarithme neperien et ou la fonctionlog10correspond au logarithme decimal, (Fig- 6, et documentation du programme).-6 -4 -2 0 2 4 6

0246810

log(x)/log(3) log(x)/log(2)Fig.6 {2.7On ecrit que le capital a double en dix ans : 2 =

1 +t100

10 ,log2 = 10log

1 +t100

log210= log

1 +t100

,1 +t100= 10log 210 ,t= 100

10log 2101

,t7;18 %Avect7;18 %, on ecrit qu'au bout denannees le capital a triple : 3 =

1 +t100

n ,log3 =nlog

1 +t100

,n=log3log

1 +t100

,n16ansExercices & corriges-13/16 - Logarithmes2.8 Exercice 8Graphe deC=f(n)(Fig- 7) :3000 4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
13000

05101520

3000*(1+7.18/100)**nFig.7 {2.8DeuC=Uh

1e(tRC)i

, on tire : u

CU= 1e(tRC),uCU1 =e(tRC)

,1uCU=e(tRC) tRC= ln 1uCU ,t=RCln

1uCUAvecuC= 15VetRC= 68s, on a :

t=68ln 11520
)t94;27sGraphe deuC=f(t)(Fig- 8) :Exercices & corriges-14/16 -

Logarithmes2.9 Exercice 9V

s

05101520

05010015020025030020*(1-exp(-t/68))Fig.8 {2.9DeGv= 20logVSVE, on tire :

20log

VSVE= 47,logAV=4720

,AV= 10(4720))AV224D'ou la valeur de la tension de sortie : V

S=AVVE)VS25103224

)VS5;6V2.10San Francisco :

M= log1;78108

= 8 + log1;78)M8;25Los Angeles :

M= log5;01106

= 6 + log5;01)M6;7Exercices & corriges-15/16 - Logarithmes2.10 Exercice 10D'apres l'enonce, on a le systeme : log0;21020=a+ 5b(1) log(300000;21020) =a+ 8b(2) L

2L1!3b= log300000;21020log0;21020

,3b= log30000 ,3b= 4 + log3 ,b=4 + log33)b1;4924De l'equation (1), on tire : a= log0;210205b)a11;84D'ou l'equation complete, que l'on peut trouver par ailleurs, et qui donne

l'energie mise en jeu dans un seisme, en fonction de la magnitude :logE= 11;8 + 1;5MExercices & corriges-16/16 -

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