Tirages successifs alternés avec remise et sans remise

• Tirage simultané • Tirages successifs sans remises • Tirages successifs avec remise Analysons ces différents cas de ﬁgures par des exemples 1 Tirage simultané Un groupe de cinq personnes est constitué de 2 femmes, désignées par f1 et f2, et de trois hommes, désignés par h1, h2 et h3

Modèles des tirages 31 Introduction : Probabilités, modèles

1) Dans un tirage de nbilles sans remise, la probabilité d’avoir exactement kbilles blanches est donnée par la formule P[X= k] = N 1 k × N−N 1 n−k N n La loi de la variable Xest appelée loi hypergéométrique de paramètres N, N 1 et net sera notée H(N;N 1;n) 2) La moyenne, la variance et l’écart type de la variable Xsont m(X

CHAPITRE III PROBABILITES - LMRL

c’est un « tirage avec ordre », sinon on parle d’un « tirage sans ordre » o La répétition si on remet chaque boule tirée dans l’urne avant de tirer la suivante, on peut tirer plusieurs fois la même boule : on parle alors d’un tirage avec répétition ou avec remise

Tirages successifs alternés avec remise et sans remise

au 2 i ème tirage, ce qui impose que la boule noire soit toujours présente, à savoir qu’elle n’ait pas disparu lors des tirages impairs précédents sans remise Remarquons que juste avant le 2 i ème tirage, il y a N – i boules dans l’urne, et que juste avant le 2 i – 1 ème tirage, il y en avait une de plus

Tirages successifs - Free

Tiragessuccessifs page1de2 Tirages successifs 1 Onsupposequelanaissanced’ungarçonetlanaissanced’uneﬁllesontéquiprobables Quelleestlaprobabilitépourque,dansunefamilledequatreenfants,

Dénombrement 1 Tirages successifs avec remise : listes

A chaque tirage, le nombre d’issues possibles est n et, puisqu’on effectue p tirages successifs, le nombre de listes à p éléments est : np 2 Tirages successifs sans remise : arrangements 2 1 Déﬁnition Soit n et p deux entiers non nuls Dans une population d’effectifs n, on extrait, successivement et sans remise p individus

Exos LOIS DISCRETES USUELLES L oi hypergéométrique

2°) Calculer, à 10 −2 près, la probabilité d’avoir exactement trois rois 3°) Calculer, à 10 −2 près, la probabilité d’avoir au maximum 1 roi Partie B – Tirage successif sans remise Dans la même enveloppe contenant les mêmes douze cartes, Xuan tire trois cartes ( Sans remise)

Probabilité

Etablir la loi de probabilité du dé pipé Un dé pipé est un dé non équilibré La loi de probabilité est alors établie par des données statistiques Sans avoir de certitude sur les probabilités exacte, vu le grand nombre de lancés (1000), on peut suposer que le nombre d’apparition d’une face détermine sa probabilité

Lançons un dé, a

Remarque: Le lancer d’une pièce de monnaie, le lancer d’un dé bien équilibré, le tirage des boules simultanément ou successivement avec remise ou sans remise sont des expériences aléatoires, car avant de les effectuer, on ne peut pas prévoir avec certitude quel en sera le résultat Le résultat dépend en effet du hasard

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1 1 Tirages successifs alternés avec remise et sans remise Une urne contient N boules, dont l"une est noire et les autres blanches. On effectue une succession de tirages. Le premier se fait sans remise, ainsi que tous les tirages impairs, le deuxième et tous ceux qui sont pairs se font avec remise. Il y a ainsi alternance de tirages sans et avec remise. On fait cela jusqu"à ce que l"urne soit vidée.

1) Combien y a-t-il de tirages ?

Le nombre de boules avant chaque tirage est :

N, N - 1, N - 1, N - 2, N - 2, ..., 1, 1, d"où 2(N - 1) + 1 = 2N - 1 tirages.

2) On définit des variables aléatoires X

k qui valent 1 si la boule noire sort au k ème tirage, et 0 sinon. Calculer la probabilité p(X k = 1) pour chaque valeur de k.

Comme on l"a vu, k va de 1 à 2 N - 1.

1 = 1 signifie que la première boule tirée est la noire, d"où p(X1) = 1 / N.

2 = 1 signifie que la deuxième boule tirée est la noire, ce qui impose que la première boule

tirée sans remise est une blanche, d"où p(X

2) = p (BN) = 1 1N

N N -= 1 N. Plus généralement, pour les tirages pairs, l"évènement X

2i = 1 signifie que la boule noire sort

au 2i

ème tirage, ce qui impose que la boule noire soit toujours présente, à savoir qu"elle n"ait pas

disparu lors des tirages impairs précédents sans remise. Remarquons que juste avant le 2i

ème

tirage, il y a N - i boules dans l"urne, et que juste avant le 2i - 1

ème tirage, il y en avait une de

plus. p(X

2i = 1) = p(X1 = 0 et X3 = 0 ... et X 2i - 1 = 0 et X 2i = 1)

1 2 1....1 1

N N N i

N N N i N i

N après simplifications en chaîne.

Passons aux évènements X

2i+1=1 correspondant aux tirages impairs. Comme il y a eu remise

lors du 2i ème tirage, il y a autant de chances d"avoir la boule noire au 2i + 1 ème tirage qu"au 2i

ème tirage :

p(X

2i+1 = 1) = 1

Finalement chaque variable X

k suit la même loi de Bernoulli, de paramètre 1/N.

3) On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de fois où sort la

boule noire au cours d"une expérience. Indiquer quels sont les évènements correspondant

à X = 1, et calculer p(X = 1).

Lorsque la boule noire sort une seule fois, cela signifie qu"elle sort pour la première fois au cours d"un tirage impair sans remise, et qu"auparavant il n"y a que des boules blanches qui sont sorties. Cela donne les évènements : N ..., ou B BN ..., ou B BB BN ..., ou B BB BB BN ..., etc., jusqu"à un mot de longueur

2 N - 1, les points de suspension indiquant qu"après le tirage de la boule noire, il n"y a que des

boules blanches tirées, ce qui correspond à des évènements sûrs de probabilité 1. 2 2 p(N ...) = 1 N p(B BN ...) =

1 2 1 2

1 1 ( 1)

N N N

N N N N N- - -=- - -

p(B BB BN ...) =

1 2 2 3 1 3

1 1 2 2 ( 1)

N N N N N

N N N N N N N- - - - -=- - - - -

avec comme dernier évènement la boule noire qui sort au dernier tirage (c"est-à-dire le tirage

2 N - 1) :

p(B BB BB BB ... BN) = ( 1) 1 ( 1) ( 1) N N

N N N N- -=- -.

La probabilité p(X = 1) s"obtient par addition des probabilités précédentes: p(X = 1) = ( 1) ( 2) ... 1 ( 1) 1 ( 1) 2 ( 1) 2

N N N N

N N N N- + - + + -= =- -

4) Calculer p(X = N).

Il s"agit de la plus grande valeur possible de X. Cela signifie que la boule noire est sortie à tous les tirages avec remise (soit N - 1 fois) et qu"elle sort au dernier tirage sans remise. p(X = 1) = p(B NB NB NB ... NB NN)

1 1 2 1 3 1 2 1 1 11 1...1 1 2 2 3 3 2 2 11 !