Les trois sortes de tirages
• Tirage simultané • Tirages successifs sans remises • Tirages successifs avec remise Analysons ces différents cas de figures par des exemples 1 Tirage simultané Un groupe de cinq personnes est constitué de 2 femmes, désignées par f1 et f2, et de trois hommes, désignés par h1, h2 et h3
Modèles des tirages 31 Introduction : Probabilités, modèles
1) Dans un tirage de nbilles sans remise, la probabilité d’avoir exactement kbilles blanches est donnée par la formule P[X= k] = N 1 k × N−N 1 n−k N n La loi de la variable Xest appelée loi hypergéométrique de paramètres N, N 1 et net sera notée H(N;N 1;n) 2) La moyenne, la variance et l’écart type de la variable Xsont m(X
CHAPITRE III PROBABILITES - LMRL
c’est un « tirage avec ordre », sinon on parle d’un « tirage sans ordre » o La répétition si on remet chaque boule tirée dans l’urne avant de tirer la suivante, on peut tirer plusieurs fois la même boule : on parle alors d’un tirage avec répétition ou avec remise
Tirages successifs alternés avec remise et sans remise
au 2 i ème tirage, ce qui impose que la boule noire soit toujours présente, à savoir qu’elle n’ait pas disparu lors des tirages impairs précédents sans remise Remarquons que juste avant le 2 i ème tirage, il y a N – i boules dans l’urne, et que juste avant le 2 i – 1 ème tirage, il y en avait une de plus
Tirages successifs - Free
Tiragessuccessifs page1de2 Tirages successifs 1 Onsupposequelanaissanced’ungarçonetlanaissanced’unefillesontéquiprobables Quelleestlaprobabilitépourque,dansunefamilledequatreenfants,
Dénombrement 1 Tirages successifs avec remise : listes
A chaque tirage, le nombre d’issues possibles est n et, puisqu’on effectue p tirages successifs, le nombre de listes à p éléments est : np 2 Tirages successifs sans remise : arrangements 2 1 Définition Soit n et p deux entiers non nuls Dans une population d’effectifs n, on extrait, successivement et sans remise p individus
Exos LOIS DISCRETES USUELLES L oi hypergéométrique
2°) Calculer, à 10 −2 près, la probabilité d’avoir exactement trois rois 3°) Calculer, à 10 −2 près, la probabilité d’avoir au maximum 1 roi Partie B – Tirage successif sans remise Dans la même enveloppe contenant les mêmes douze cartes, Xuan tire trois cartes ( Sans remise)
Probabilité
Etablir la loi de probabilité du dé pipé Un dé pipé est un dé non équilibré La loi de probabilité est alors établie par des données statistiques Sans avoir de certitude sur les probabilités exacte, vu le grand nombre de lancés (1000), on peut suposer que le nombre d’apparition d’une face détermine sa probabilité
Lançons un dé, a
Remarque: Le lancer d’une pièce de monnaie, le lancer d’un dé bien équilibré, le tirage des boules simultanément ou successivement avec remise ou sans remise sont des expériences aléatoires, car avant de les effectuer, on ne peut pas prévoir avec certitude quel en sera le résultat Le résultat dépend en effet du hasard
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Tirages successifspage 1 de 2
Tirages successifs
1.On suppose que la naissance d"un garçon et la naissance d"une fille sont équiprobables.
Quelle est la probabilité pour que, dans une famille de quatre enfants,1) L"aîné soit un garçon :
Réponse :
122) Il y ait autant de filles que de garçons :
Réponse :
6163) Il n"y ait que des filles :
1162.Une urne contient 2 boules rouges et une boule verte. Dans cette urne, on effectue 2
tirages successifs d"une boule, sans remise. Quelle est la probabilité d"obtenir exactement une boule rouge?Réponse :
46=23
3.Dans une urne sont placés 26 cartons contenant chacun une lettre de l"alphabet. On
tire successivement et sans remise 5 cartons.Réponse :
126252423222) Probabilité d"obtenir les lettres L, U, N, D, I dans un ordre quelconque
Réponse :
5432126252423223) Probabilité d"obtenir exactement deux voyelles
Réponse :
5426520191826252423224.On lance deux dés (un vert et un rouge). Avec le résultat, on forme un nombrexà
deux chiffres : vert = chiffre des dizaines, rouge = chiffre des unités.1) Probabilité quexsoit multiple de 11Réponse :
6622) Probabilité quexsoit pair
Réponse :
18625.On lance trois fois de suite une pièce de monnaie (résultats possibles : pile ou face).
Soitpn= probabilité d"obtenir exactementnfois face (avec06n63).Calculerpnpour toutes les valeurs den
n0 1 2 3 p n1 2 332332
312
3 On vérifie que la somme des probabilités vaut 1 (1 + 3 + 3 + 1 = 23).
6.Une urne contient 5 boules blanches, 4 boules rouges et 2 boules vertes. On tire 3
boules successivement et sans remise.1) Probabilité de tirer 3 boules de la même couleur
Réponse :
(543) + (432)111092) Probabilité de "la première est blanche et les deux autres sont rouges»
Questions à poser : quelle est la blanche? Quelle est la première rouge? quelle est la deuxième rouge?A rédiger :
543111093) Probabilité de "Une seule est blanche, les deux autres sont de la même couleur»
Questions à poser : où est la blanche? Quelle est la blanche? Quelle est l"autre couleur? Quelle est la première de l"autre couleur? Quelle est la deuxième de l"autre couleur?A rédiger :
35((43) + (21))111094) "Les trois boules sont de couleurs différentes»
Réponse :
(321)(542)11109Tirages successifspage 2 de 27.On lance un dénfois. Quelle est la probabilité pour que la face 2 apparaisse au moins
une fois au cours desnlancers?La réponse est15n6
n8.Un candidat au baccalauréat doit répondre à un QCM (Questionnaire à choix multiples) comportant 5 questions. A chaque question, il doit cocher une réponse et une seule parmi 4.1) Quelle probabilité a-t-il d"obtenir toutes les bonnes réponses s"il répond entièrement
au hasard? 1450;000977(moins d"une chance sur 1000).
2) Quelle est la probabilité d"obtenir au moins une bonne réponse?
A rédiger :1354
5(voir l"exercice précédent sur le lancer d"un dé).
9.Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On effectue des tirages successifs
avec remise , et on s"arrête lorsqu"on obtient une boule rouge, ou bien si on n"a pas tiré de boule rouge au bout de 2 tirages. On appelleXle nombre de tirages effectués. Quelle est la probabilité pour queXsoitégale àk? (16k62).
La probabilité d"avoirX= 1est355
2=35La probabilité d"avoirX= 2est23 + 225
2=105 2=25 Test : même exercice avec 3 tirages au lieu de 2.On trouve les probabilités :
35;235