c Christophe Bertault - MPSI Relations d’ordre
Définition (Eléments comparables, relation d’ordre total/partiel) Soit 4 une relation d’ordre sur E •Soient x,y ∈E On dit que x et y sont comparables par 4 si on a x 4 y ou y 4 x — éventuellement les deux et dans ce cas x = y par antisymétrie
Relation d’équivalence, relation d’ordre 1 Relation d’équivalence
Montrer que la relation R définie sur R par : xRy()xey =yex est une relation d’équivalence Préciser, pour x fixé dans R, le nombre d’éléments de la classe de x modulo R Indication H Correction H Vidéo [000212] 2 Relation d’ordre Exercice 3 Soit (E;6) un ensemble ordonné On définit sur P(E)nf0/gla relation ˚par X ˚Y ssi (X
Relation binaire, relation dordre, treillis
Relation d’ordre Definition:´ Une relation sur X ∼ qui est reflexive´ , antisymetrique et´ transitive est appelee une relation d’ordre ´ On dit alors que X est partiellement ordonnee´ et on note ≤ a` la place de ∼ Si (x,y) ∈ X2, x et y seront comparables si x ≤ y ou y ≤ x
1 Relations d’ordre
- Dans l’ensemble des nombres r eels, l’in egalit e large x y est une relation d’ordre - Dans l’ensemble des nombres naturels, la relation a divise b, not ee ajb est une relation d’ordre - Dans l’ensemble des parties d’un ensemble, la relation A ˆB est une relation d’ordre
TD 2 : Relations d’ordre et d’ equivalence
Montrer que jest une relation d’ordre sur N Est-ce un ordre total? 2 Montrer que N muni de cet ordre admet un plus petit el ement et un plus grand el ement Comparer ces r esultats a ce que l’on a dans N muni de l’ordre naturel Exercice 6 : Pour tout x 2R et tout y 2R, on pose xRy ()x2 y2 = x y: 1 Montrer que Rest une relation d
Relations d’Equivalence Relations d’Ordre
Une relation d’ordre sur l’ensemble A est dite totale si deux éléments quelconque de A sont toujours comparables, c’est-à-dire si 8x,y 2 A, xRy ou yRx Dans le cas contraire, on parle d’ordre partiel Exemples 1 Sur les ensembles N,Z ou R,larelation x y est une relation d’ordre total 2
1 Relations binaires - unicefr
Une relation d'ordre est souvent notée Exemples L'inégalité est une relation d'ordre sur N, Z ou R L'inclusion est une relation d'ordre Définitions Une relation d'ordre sur E est dite totale si deux éléments quelconques de E sont toujours comparables : pour tout x;y 2E, on a xRy ou yRx Dans le cas contraire, on dit que l'ordre est
Module B03 Feuille d’exercices N 5 - univ-rennes1fr
1) Montrer que ∼ est une relation d’´equivalence sur E Sur E/ ∼ on pose : ˙x ≤ y˙ ⇐⇒ xRy 2) Montrer que cette d´efinition est ind´ependante des repr´esentants x et y choisis 3) Montrer que ≤ est une relation d’ordre sur E/ ∼ Exercice n 25 Dans cet exercice, on admet que : ∀ x ∈ Q, x2 6= 2
BORNE SUPERIEURE - Département de Mathématiques d’Orsay
2 Relation d’ordre Le vocabulaire familier pour Q peut ˆetre utilis´e dans des situations plus g´en´erales 2 1 D´efinition D´efinition 1 Une relation d’ordre R sur un ensemble E, c’est une relation, not´ee xRy, qui est – R´eflexive : pour tout x ∈ E, xRx – Antisym´etrique : xRy et yRx entraˆıne x = y
[PDF] Relation d'ordre et relation d'équivalence 2
[PDF] Relation d'ordre et relation d'équivalence 3
[PDF] relation d’aide et validation
[PDF] relation d'aide définition
[PDF] relation d'aide définition larousse
[PDF] relation d'aide définition oms
[PDF] relation d'aide en soins infirmiers pdf
[PDF] relation d'aide pdf
[PDF] relation d'aide thérapeutique
[PDF] relation d'aide travail social
[PDF] relation d'équivalence
[PDF] relation d'ordre cours
[PDF] relation d'ordre et d'équivalence
[PDF] relation d'ordre exercices corrigés
Exo7
Relation d"équivalence, relation d"ordre
1 Relation d"équivalence
Exercice 1DansCon définit la relationRpar :
zRz0, jzj=jz0j: 1.Montrer que Rest une relation d"équivalence.
2. Déterminer la classe d"équi valencede chaque z2C.Montrer que la relationRdéfinie surRpar :
xRy()xey=yexest une relation d"équivalence. Préciser, pourxfixé dansR, le nombre d"éléments de la classe dexmoduloR.
Exercice 3Soit(E;6)un ensemble ordonné. On définit surP(E)nf/0gla relationparXYssi(X=You8x2X8y2Y x6y):
Vérifier que c"est une relation d"ordre.
Indication pourl"exer cice1 NUn dessin permettra d"avoir une bonne idée de ce qui se passe...Indication pour
l"exer cice2 N1.Pour la transiti vitéon pourra calculer xyez.
2.Poser la fonction t7!te
t, après une étude de fonction on calculera le nombre d"antécédents possibles.2 Correction del"exer cice1 N1.Soient z;z0;z00des complexes quelconques.Reflexivité :zRzcarjzj=jzj.
Symétrie :zRz0)z0Rzcarjzj=jz0jet doncjz0j=jzj.
Transitivité :zRz0etz0Rz00alorsjzj=jz0j=jz00jdonczRz00. En fait, nous avons juste retranscrit que l"égalité "=" est une relation d"équivalence. 2.La classe d"équi valenced"un point z2Cest l"ensemble des complexes qui sont en relation avecz,i.e.
l"ensemble des complexes dont le module est égal àjzj. Géométriquement la classe d"équivalence dez
est le cerlceCde centre 0 et de rayonjzj: C=n jzjeiq=q2Ro :Correction del"exer cice2 N1.• Refle xivité: Pour tout x2R,xex=xexdoncxRx. Symétrie : Pour x;y2R, sixRyalorsxey=yexdoncyex=xeydoncyRx. T ransitivité: Soient x;y;z2Rtels quexRyetyRz, alorsxey=yexetyez=zey. Calculonsxyez: xye z=x(yez) =x(zey) =z(xey) =z(yex) =yzex: Doncxyez=yzex. Siy6=0 alors en divisant paryon vient de montrer quexez=zexdoncxRzet c"est fini. Pour le casy=0 alorsx=0 etz=0 doncxRzégalement. 2. Soit x2Rfixé. On noteC(x)la classe d"équivalence dexmoduloR:C(x):=fy2RjyRxg:
DoncC(x) =fy2Rjxey=yexg:
Soit la fonctionf:R!Rdéfinie par
f(t) =te t: AlorsC(x) =fy2Rjf(x) =f(y)g:
Autrement ditC(x)est l"ensemble desy2Rqui parfprennent la même valeur quef(x); en raccourci :C(x) =f1(f(x)):
Étudions maintenant la fonctionfafin de déterminer le nombre d"antécédents: par un calcul def0on
montrer quefest strictement croissante sur]¥;1]puis strictement décroissante sur[1;+¥[. De plus
en¥la limite defest¥,f(1) =1e , et la limite en+¥est 0.