Outils 3 in quations

Équations avec fractions algébriques Pour résoudre ce type d’équations il faut qu’il n’y ait plus aucun dénominateur, alors on multiplie les deux membres de l’équation donnée par le PPCM et après on résout l’équation obtenue Équations avec radicaux Ce sont des équations où l’inconnue est dans un radical Pour

ÉQUATIONS et INEQUATIONS

ÉQUATIONS et INEQUATIONS Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, appelées membres de l’équation, et où figurent une ou plusieurs inconnues (des grandeurs à déterminer)

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2ndeISI Outils de calcul chapitre 3 2009-2010 II 3 Inéquation quotient On souhaite par exemple résoudre l’inéquation −2x +4 x +3 ≥ 0 La seule diﬀérence avec l’inéquation produit, c’est qu’il faut faire attention à la valeur interdite : la valeur pour

1 Equations du 2´ e degr´e - Lycée Jean Vilar

de la 1`ere S `a la TS Equations, ´etude de signes et in´equations´ 1 Equations du 2´ e degr´e R´esoudre dans R les ´equations suivantes : 1 2x2 − 3x− 5 = 0 2 x2 − 5x+2 = 0

mathsbdpfr IE inéquations NOM : 2nde Ex1

Si on ajoute un même nombre au numérateur et au dénominateur de la fraction ˜ on obtient Déterminer ce nombre Soit le nombre recherché / ˜/ = ; on effectue les produits en croix ; on obtient : 3’2+ (=1’7+( soit 6+3=7+ soit 3−=7−6 soit 2=1 soit = =0,5 Il faut ajouter 0,5

Second degré Équations et inéquations

Soit P(x) = ax² + bx + c, un trinôme du second degré, où a, b, c sont des nombres réels avec a 0 Le discriminant de ce trinôme est le réel b² - 4ac = b² - 4ac Discriminant Equation P(x) = 0 Signe du trinôme P(x) Forme factorisée éventuelle de P(x) Si < 0 Aucune solution dans ???? des facteurs degré

MATHEMATIQUES - Equation du 1er degré à une inconnue

Nous voici avec une forme semblable à celle que nous avons traitée au point précédent Les termes en "x" d'un côté, les termes indépendants de l'autre : – 3 x – 6 x = – 3 + 9 – 9 x = 6 9 x = – 6 9 6 x = − 3 2 x = − La vérification est une bonne occasion pour appliquer ses connaissances en matière de fractions 2 3 4

VARIATIONS D’UNE FONCTION - Maths & tiques

4 sur 9 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 2) Donner les variations de la fonction 3) Donner les extremums de la fonction en précisant où ils sont atteints

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RÉSOLUTION D"INÉQUATIONS

Table des matières

I Inéquations du premier degré1

II Tableaux de signes2

II.1 Signe deax+b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

II.2 Inéquation produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 2

II.3 Inéquation quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

IIIRésolution graphique d"une inéquation4

I Inéquations du premier degré

Définition 1

Une inéquation du premier degré

est une expression de la formeax+b >0ouax+b≥0ouax+b <0ou

La résolution d"inéquations du premier degré se fait de la même manière que pour les équations du premier degré,

sauf pour le sens de l"inégalité qui peut changer :

Propriété 1

Lorsque l"on multiplie ou divise les deux membres d"une inégalité par un même nombre négatif, on change le

sens de l"inégalité.

Exemple 1

Résoudre dansRles inéquations2x+ 3>0et3-5x?0:

Ô2x+ 3>0??2x >-3Ô3-5x≥0?? -5x≥ -3

??x >-3 ?? S=? -3

2;+∞?

.?? S=? -∞;35? http://mathematiques.daval.free.fr-1-

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II Tableaux de signes

II.1 Signe deax+b

Suivant le signe du coefficient directeura, on obtient les tableaux de signes suivants : a >0 x-∞ -b a+∞ variations0 signe de ax+b-0 + a <0 x-∞ -b a+∞ variations0 signe de ax+b+ 0-

On utilise un tableau de signeslorsque l"on veut résoudre une inéquations composée d"unproduitou d"unquotient

de facteurs.

II.2 Inéquation produit

dans la première colonne, on met les différents fac- teurs de l"inéqua- tionon place en abscisses les solutions des équations x-∞ -5 2 +∞

2x-4-|-0 +

-x-5+ 0-|- (2x-4)(-x-5)????- 0 + 0????- pour déterminer les co- lonnes, on résout les

équations

2x-4 = 0??x= 2

-x-5 = 0??x=-5

Enfin, on résout l"inéquation à partir du tableau de signes : on cherche les solution négatives ou nulles

S= ]- ∞;-5 ]?[ 2 ;+∞[.

Exemple 2

Résoudre dansRl"inéquation(2x-1)2<(2x-1)(x-4): ??(2x-1)[(2x-1)-(x-4)]<0 ??(2x-1)(x+ 3)<0

Ôconstruction du tableau de signes :

x-∞ -312+∞

2x-1-|-0 +

1x+ 3-0 +|+

(2x-1)(x+ 3)+ 0????-0 + ?2x-1 = 0??x=12 ?x+ 3 = 0??x=-3 ÔConclusion : on cherche les signes "-» dans la dernière ligne d"où :S=? -3 ;1 2? http://mathematiques.daval.free.fr-2-

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II.3 Inéquation quotient

On souhaite par exemple résoudre l"inéquation-2x+ 4x+ 3≥0.

La seule différence avec l"inéquation produit, c"est qu"il faut faire attention à la valeur interdite : la valeur pour

laquelle le dénominateur est nul. Dans le tableau de signes, cela se traduit par une double barre au niveau des valeurs interdites x-∞ -3 2 +∞ -2x+ 4+ | + 0-

1x+ 3-0 + | +

-2x+ 4 x+ 3-||? ???+ 0- ? -2x+ 4 = 0??x= 2 ?x+ 3 = 0??x=-3

Enfin, on résout l"inéquation à partir du tableau de signes : on cherche les solutions positives ou nulles

S= ] 3 ; 2 ].

Exemple 3

Résoudre l"inéquation2x+ 3

ÔOn commence par transformer l"expression de manière à n"avoir QUE des produits ou des quotient d"un côté, et un zéro

de l"autre : 2x+ 3 (2x+ 3)(2x-3)-4x(x-1)

4x2-9-4x2+ 4x

4x-9

Ôconstruction du tableau de signes :

x-∞13294+∞

4x-9-|-|-0 +

1x-1-0 +|+|+

2x-3-|-0 +|+

4x-9 (x-1)(2x-3)-||+||-32+ ?4x-9 = 0??x=94 ?x-1 = 0??x= 1 ?2x-3 = 0??x=3 2 ÔConclusion : on cherche les solutions négatives ou nulles

S= ]- ∞; 1 [??3

2;94? http://mathematiques.daval.free.fr-3-

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III Résolution graphique d"une inéquation

Soientfetgdeux fonctions de courbes représentativesCfetCg.

Les solutions de l"équationf(x)< k[respectivementf(x)> k] sont les abscisses des points de la courbeC

fsitués en dessous [respectivement au dessus] de la droite horizontale d"équationy=k.

Les solutions de l"équationf(x)< g(x) [respectivementf(x)> g(x)] sont les abscisses des points deC

fsitués en dessous [respectivement au dessus] deC g.

Exemple 4

On considère les courbes représentativesCfet deCgde deux fonctionsfetg.

Résoudre graphiquement :

Ôf(x)≥0S=]- ∞;-1 ]?[ 3 ;+∞[.

Ôf(x)<5S=]-2 ; 4 [.

Ôf(x)≥ -4S=R.

Ôf(x)<-5S=∅.

1 2 3 4-1-2-3

12345
-1 -2 -3 -4 -5 -6 Cf Cg y= 5 y= 0 y=-4 y=-5 http://mathematiques.daval.free.fr-4-quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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RÉSOLUTION D"INÉQUATIONS

Table des matières

I Inéquations du premier degré1

II Tableaux de signes2

IIIRésolution graphique d"une inéquation4

I Inéquations du premier degré

Définition 1

Une inéquation du premier degré

Propriété 1

Exemple 1

Ô2x+ 3>0??2x >-3Ô3-5x≥0?? -5x≥ -3

2;+∞?

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II Tableaux de signes

II.1 Signe deax+b

II.2 Inéquation produit

2x-4-|-0 +

équations

2x-4 = 0??x= 2

S= ]- ∞;-5 ]?[ 2 ;+∞[.

Exemple 2

Ôconstruction du tableau de signes :

2x-1-|-0 +

1x+ 3-0 +|+

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II.3 Inéquation quotient

1x+ 3-0 + | +

S= ] 3 ; 2 ].

Exemple 3

Résoudre l"inéquation2x+ 3

4x2-9-4x2+ 4x

Ôconstruction du tableau de signes :

4x-9-|-|-0 +

1x-1-0 +|+|+

2x-3-|-0 +|+

S= ]- ∞; 1 [??3

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III Résolution graphique d"une inéquation

Exemple 4

Résoudre graphiquement :

Ôf(x)≥0S=]- ∞;-1 ]?[ 3 ;+∞[.

Ôf(x)<5S=]-2 ; 4 [.

Ôf(x)≥ -4S=R.

Ôf(x)<-5S=∅.

1 2 3 4-1-2-3