TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé)
TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé) Exercice 1: (a) Prouvez que la relation sur Z aRb ⇔ a −b est un multiple de 5 est une relation d’équivalence Solution: On vérifie les 3 conditions : — Réflexivité : Soit x ∈ Z On veut prouver xRx, c’est à dire x− est un multiple de 5 On a x − x = 0 = 5 ×0
Daniel ALIBERT Ensembles, applications Relations d
Une relation réflexive, symétrique et transitive est appelée une relation d'équivalence Définition Soit E un ensemble, muni d'une relation d'équivalence R Pour tout élément x de E, on appelle classe d'équivalence de x et l'on note C(x) le sous-ensemble de E formé des éléments y tels que x R y soit vrai
Relation d’équivalence, relation d’ordre 1 Relation d’équivalence
Relation d’équivalence, relation d’ordre 1 Relation d’équivalence Exercice 1 Dans C on définit la relation R par : zRz0,jzj=jz0j: 1 Montrer que R est une relation d’équivalence 2 Déterminer la classe d’équivalence de chaque z2C Indication H Correction H Vidéo [000209] Exercice 2 Montrer que la relation R définie sur R par
Feuille d’exercice n 08 : Relations d’ordre et d’équivalence
Feuille d’exercice n° 08 : Relations d’ordre et d’équivalence, et ensembles de nombres usuels Exercice 1 SoitEunensembleetAunepartiedeE OndéfinitlarelationRsurP(E) par :XRY siX∪A= Y∪A 1) MontrerqueRestunerelationd’équivalence 2) Décrirelaclassed’équivalencedeX∈P(E)
1 Exemples simples de relations d’équivalence
deEs’appellelaclasse d’équivalence dexdansE Onalespropriétés: 7 Exercices complémentaires Prouvez que la relation ˘est une relation d’équivalence
RELATION BINAIRE - Claude Bernard University Lyon 1
Cette relation n’est pas une relation d’équivalence Remarque : il était inutile de montrer que cette relation était réflexive et transitive Allez à : Exercice 7 : 3 Si alors donc cette relation n’est pas réflexive Donc ce n’est pas une relation d’équivalence, on va tout de même regarder les deux autres propriétés
APPLICATIONS EXERCICES - bagbouton
EXERCICES EXERCICE 1 : Montrer que la relation R définie sur par :xy x y xR 2 2 y est une relation d’équivalence Déterminer pour tout réel a , le nombre d’éléments de la classe de a EXERCICE 2 : Montrer que la relation R définie sur par :x y x y xR 3 3 3 y est une relation d’équivalence
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI RELATIONS BINAIRES
Théorème (Classes d’équivalence d’une relation d’équivalence, ensemble quotient) Soit ∼ une relation d’équiva-lence sur E • Pour tout x ∈ E, l’ensemble y ∈ E x ∼ y est appelé la classe d’équivalence de x (pour ∼) Les classes d’équivalences pour ∼ forment une partition de E Cela revient à dire qu’elle
Corrigé du TD no 7
D kD0⇔D estparallèleàD0 1 Vérifionsquekestunerelationd’équivalence: (a) Réflexivité:unedroiteD estbienparallèleàelle-même (b) Symétrie:siD estparallèleàD0,alorsD0estparallèleàD (c) Transitivité:siD estparallèleàD 0,etsiD estparallèleàD 00,alorsD estparallèleàD 2 Soit E 0 l’ensemble des droites passant par l
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Lycée La Martinière Monplaisir Année 2022/2023 MPSI - Mathématiques Premier SemestreFeuille d"exercice n°08 :Notion d"application
Exercice 1 (?)Soitf:N→N
x?→x+ 1etg:N→N y?→?0siy= 0 y-1siy≥1.1)Préciser l"injectivité, la surjectivité, la bijectivité éventuelle defetg.
2)Préciserf◦getg◦f.
Exercice 2Soitf:R\ {1} →R
x?→x+ 1-1x-1.1)fest-elle injective ? surjective ?
2)Déterminer une partieEtelle queg:E→R
x?→x+ 1-1x-1soit bijective et expliciter la réciproque.Exercice 3SoitEun ensemble.
1)Montrer que pour toutes partiesAetBdeE, on a
1 (A∩B)=1A×1B,(1) 1 (Ac)= 1-1A,(2) 1 (A?B)=1A+1B-1A×1B.(3)2)Montrer que l"application1:P(E)→ {0,1}E
A?→1Aest bijective.
Exercice 4 (®)SoitE,F,Gtrois ensembles,f:E→Fetg:F→G. Établir les implications suivantes.1)g◦finjective?finjective
2)g◦fsurjective?gsurjective3)g◦finjective etfsurjective?ginjective
4)g◦fsurjective etginjective?fsurjective
Exercice 5 (??)SoientE,E?,F,F?quatre ensembles,u:E?→E, v:F→F?deux applications.On définit l"application?:FE→F?E?
f?→v◦f◦u.1)Vérifier que?est bien définie.
2)Montrer que sivest injective etusurjective alors?est injective.
3)Montrer que sivest surjective etuinjective alors?est surjective.
Remarque :cette dernière question est sensiblement plus difficile que les deux premières. 1 Exercice 6SoitEun ensemble etA,Bdeux parties fixées deE. Soit?: ?P(E)→ P(A)× P(B)X?→(X∩A,X∩B).
1)Qu"est-ce que?(?)??(A?B)?
2)À quelle condition surAetB,?est-elle injective ?
3)Est-ce que le couple(?,B)possède un antécédent par??
4)À quelle condition surAetB,?est-elle surjective ?
Exercice 7 (?) - Factorisation d"une application - 1) Soitf:F→Eetg:G→Edeux applications. Montrer qu"il existe une applicationh:G→F telle queg=f◦hsi et seulement si :g(G)?f(F).À quelle conditionhest-elle unique ?
2) Soitf:E→Fetg:E→Gdeux applications. Montrer qu"il existe une applicationh:F→G telle queg=h◦fsi et seulement si :?x,y?E,?f(x) =f(y)?g(x) =g(y)?.À quelle conditionhest-elle unique ?
Exercice 8 (®)Démontrer le théorème de Cantor : " SoitEun ensemble, il n"existe pas de surjection deEdansP(E)». Indication :avec?une application deEdansP(E), on pourra s"intéresser à la partieA={x?E|x???(x)}.
Exercice 9 (?®)SoitE,Ideux ensemble,f:E→Iune application surjective. On pose, pour touti?I,Ai=f←({i}).Montrer que lesAisont non vides, deux à deux disjoints, de réunion égale àE. (On dit que lesAi
forment unepartitiondeE.) Exercice 10 (?)SoientEetFdeux ensembles etf:E→Fune application. 1) a) Montrer que, pour toute partieAdeE,A?f←(f(A)). b)Montrer quefest injective si et seulement si, pour toute partieAdeE,f←(f(A)) =A. 2) a) Montrer que, pour toute partieBdeF,f(f←(B))?B. b)Montrer quefest surjective si et seulement si, pour toute partieBdeF,f(f←(B)) =B. Exercice 11 (®)SoientE,Fdeux ensembles, soitf:E→F. Montrer quefest injective si et seulement si : ?A,A??P(E), f(A∩A?) =f(A)∩f(A?).2quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7