TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé)
TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé) Exercice 1: (a) Prouvez que la relation sur Z aRb ⇔ a −b est un multiple de 5 est une relation d’équivalence Solution: On vérifie les 3 conditions : — Réflexivité : Soit x ∈ Z On veut prouver xRx, c’est à dire x− est un multiple de 5 On a x − x = 0 = 5 ×0
Daniel ALIBERT Ensembles, applications Relations d
Une relation réflexive, symétrique et transitive est appelée une relation d'équivalence Définition Soit E un ensemble, muni d'une relation d'équivalence R Pour tout élément x de E, on appelle classe d'équivalence de x et l'on note C(x) le sous-ensemble de E formé des éléments y tels que x R y soit vrai
Relation d’équivalence, relation d’ordre 1 Relation d’équivalence
Relation d’équivalence, relation d’ordre 1 Relation d’équivalence Exercice 1 Dans C on définit la relation R par : zRz0,jzj=jz0j: 1 Montrer que R est une relation d’équivalence 2 Déterminer la classe d’équivalence de chaque z2C Indication H Correction H Vidéo [000209] Exercice 2 Montrer que la relation R définie sur R par
Feuille d’exercice n 08 : Relations d’ordre et d’équivalence
Feuille d’exercice n° 08 : Relations d’ordre et d’équivalence, et ensembles de nombres usuels Exercice 1 SoitEunensembleetAunepartiedeE OndéfinitlarelationRsurP(E) par :XRY siX∪A= Y∪A 1) MontrerqueRestunerelationd’équivalence 2) Décrirelaclassed’équivalencedeX∈P(E)
1 Exemples simples de relations d’équivalence
deEs’appellelaclasse d’équivalence dexdansE Onalespropriétés: 7 Exercices complémentaires Prouvez que la relation ˘est une relation d’équivalence
RELATION BINAIRE - Claude Bernard University Lyon 1
Cette relation n’est pas une relation d’équivalence Remarque : il était inutile de montrer que cette relation était réflexive et transitive Allez à : Exercice 7 : 3 Si alors donc cette relation n’est pas réflexive Donc ce n’est pas une relation d’équivalence, on va tout de même regarder les deux autres propriétés
APPLICATIONS EXERCICES - bagbouton
EXERCICES EXERCICE 1 : Montrer que la relation R définie sur par :xy x y xR 2 2 y est une relation d’équivalence Déterminer pour tout réel a , le nombre d’éléments de la classe de a EXERCICE 2 : Montrer que la relation R définie sur par :x y x y xR 3 3 3 y est une relation d’équivalence
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI RELATIONS BINAIRES
Théorème (Classes d’équivalence d’une relation d’équivalence, ensemble quotient) Soit ∼ une relation d’équiva-lence sur E • Pour tout x ∈ E, l’ensemble y ∈ E x ∼ y est appelé la classe d’équivalence de x (pour ∼) Les classes d’équivalences pour ∼ forment une partition de E Cela revient à dire qu’elle
Corrigé du TD no 7
D kD0⇔D estparallèleàD0 1 Vérifionsquekestunerelationd’équivalence: (a) Réflexivité:unedroiteD estbienparallèleàelle-même (b) Symétrie:siD estparallèleàD0,alorsD0estparallèleàD (c) Transitivité:siD estparallèleàD 0,etsiD estparallèleàD 00,alorsD estparallèleàD 2 Soit E 0 l’ensemble des droites passant par l
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Université d"Aix-Marseille Portail Descartes
Semestre 12019-2020
Planche 5
Relations d"équivalenceSoitEun ensemble; une relationsurEest diterelation d"équivalencesi elle est :
réflexive :8x2E; xx symétrique :8x2E;8y2E;sixyalorsyx transitive :8x2E;8y2E;8z2E;sixyetyzalorsxz.1 Exemples simples de relations d"équivalence
Précisez si les relations suivantes sont des relations d"équivalence. Si les relations ne le sont pas, précisez laquelle
(ou lesquelles) des trois propriétés de définition n"est pas remplie.Exercice 1(Relations surE=R)
1.xyssijxyj<1.
2.xyssixy2Q.
3.xyssix+y2Q.
Exercice 2(Relations surE=Z.)
1.xyssixy2
2Zouxy3
2Z.2.xyssix+y= 2.
3.xyssi9p2Z;9q2Zxp=yq.
Exercice 3(Relations sur l"ensembleEdes droites du plan )1.d1d2ssid1jjd2.
2.d1d2ssid1?d2.
Exercice 4(Relations sur l"ensembleEdes applicationsf:R!R)1.fgssi l"ensembleEf;g:=fx2R:f(x)6=g(x)gest fini.
2.fgssi l"ensembleEf;gest vide ou a un seul élément.
2 Construction de relations d"équivalence à partir des applications
ou d"autres relationsIl est parfois possible de construire une relation d"équivalence utile à partir d"une application ou à partir d"une
autre relation (d"équivalence ou non). Les exercices de cette section proposent plusieurs situations de ce type.
Exercice 5
SoitEetFdeux ensembles, etf:E!Fune application. On définit le relationfsurEcomme suit : xfyssif(x) =f(y):Prouvez queest une relation d"équivalence.
Exercice 6
SoitE=fa; b; c; dget la relationsurEdont l"ensemble suivant donne la liste de tous les couples(x;y)tels
quexy: G1. Laquelle (ou lesquelles) des trois propriétés définissant une relation d"équivalence n"est pas respectée par?
2. Rajouter à l"ensembleGun couple(x;y)2EEde sorte que la nouvelle relation ainsi formée soit une
relation d"équivalence. Langage mathématique - Planche 5- Relations d"équivalenceExercice 7SoitEun ensemble, et1,2, deux relations d"équivalence surE. On définit la réunion des relations1et2
comme étant la relationUsurE: xUyssi(x1youx2y); et l"intersection des relations1et2comme la relationSsurE: xSyssi(x1yetx2y):1. Est-ce queUest une relation d"équivalence?
2. Même question pourS.
3 Classe d"équivalence d"un élément
SoitEun ensemble etune relation d"équivalence surE. Pour tout élémentx2E, le sous-ensemble [x] =fy2E:xyg deEs"appelle laclasse d"équivalencedexdansE. On a les propriétés : -8x2E;x2[x]; -8x2E;8y2E; xyssi[x] = [y]; -8x2E;8y2E;non(xy)ssi[x]\[y] =;:Les exercices suivants (8-12) sont des cas particuliers de la construction d"une relation d"équivalence décrite à
l"exercice 5.