TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé)
TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé) Exercice 1: (a) Prouvez que la relation sur Z aRb ⇔ a −b est un multiple de 5 est une relation d’équivalence Solution: On vérifie les 3 conditions : — Réflexivité : Soit x ∈ Z On veut prouver xRx, c’est à dire x− est un multiple de 5 On a x − x = 0 = 5 ×0
Daniel ALIBERT Ensembles, applications Relations d
Une relation réflexive, symétrique et transitive est appelée une relation d'équivalence Définition Soit E un ensemble, muni d'une relation d'équivalence R Pour tout élément x de E, on appelle classe d'équivalence de x et l'on note C(x) le sous-ensemble de E formé des éléments y tels que x R y soit vrai
Relation d’équivalence, relation d’ordre 1 Relation d’équivalence
Relation d’équivalence, relation d’ordre 1 Relation d’équivalence Exercice 1 Dans C on définit la relation R par : zRz0,jzj=jz0j: 1 Montrer que R est une relation d’équivalence 2 Déterminer la classe d’équivalence de chaque z2C Indication H Correction H Vidéo [000209] Exercice 2 Montrer que la relation R définie sur R par
Feuille d’exercice n 08 : Relations d’ordre et d’équivalence
Feuille d’exercice n° 08 : Relations d’ordre et d’équivalence, et ensembles de nombres usuels Exercice 1 SoitEunensembleetAunepartiedeE OndéfinitlarelationRsurP(E) par :XRY siX∪A= Y∪A 1) MontrerqueRestunerelationd’équivalence 2) Décrirelaclassed’équivalencedeX∈P(E)
1 Exemples simples de relations d’équivalence
deEs’appellelaclasse d’équivalence dexdansE Onalespropriétés: 7 Exercices complémentaires Prouvez que la relation ˘est une relation d’équivalence
RELATION BINAIRE - Claude Bernard University Lyon 1
Cette relation n’est pas une relation d’équivalence Remarque : il était inutile de montrer que cette relation était réflexive et transitive Allez à : Exercice 7 : 3 Si alors donc cette relation n’est pas réflexive Donc ce n’est pas une relation d’équivalence, on va tout de même regarder les deux autres propriétés
APPLICATIONS EXERCICES - bagbouton
EXERCICES EXERCICE 1 : Montrer que la relation R définie sur par :xy x y xR 2 2 y est une relation d’équivalence Déterminer pour tout réel a , le nombre d’éléments de la classe de a EXERCICE 2 : Montrer que la relation R définie sur par :x y x y xR 3 3 3 y est une relation d’équivalence
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI RELATIONS BINAIRES
Théorème (Classes d’équivalence d’une relation d’équivalence, ensemble quotient) Soit ∼ une relation d’équiva-lence sur E • Pour tout x ∈ E, l’ensemble y ∈ E x ∼ y est appelé la classe d’équivalence de x (pour ∼) Les classes d’équivalences pour ∼ forment une partition de E Cela revient à dire qu’elle
Corrigé du TD no 7
D kD0⇔D estparallèleàD0 1 Vérifionsquekestunerelationd’équivalence: (a) Réflexivité:unedroiteD estbienparallèleàelle-même (b) Symétrie:siD estparallèleàD0,alorsD0estparallèleàD (c) Transitivité:siD estparallèleàD 0,etsiD estparallèleàD 00,alorsD estparallèleàD 2 Soit E 0 l’ensemble des droites passant par l
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