suites de matrices convergence tsspé cours
Définition 3 : On dit qu'une marche aléatoire de matrice de transition M est convergente si la suite des matrices colonnes (U n) des états de la marche aléatoire converge Si la suite (U n) des états d’une marche aléatoire convergente vérifie la relation U U n+1 = M n, alors la limite L de cette suite définit un état stable, solution
SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES
convergente et sa limite est la matrice colonne U= 0 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Propriété : U (n) est une suite de matrices colonnes de taille p définie par la relation matricielle de récurrence U n+1 =AU n +B où A est une matrice carrée de taille p et B est une matrice colonne à p lignes Si la suite U (n) est convergente alors sa
Suites et séries matricielles - maths-francefr
Pour être capable d’étudier la convergence et la limite éventuelle d’une suite de matrices (ou d’endomorphismes) ou d’une série de matrices (ou d’endomorphismes), nous avons besoin d’une norme Dans la pratique, de nombreuses normes sont utilisées
Suites 1 Convergence
n sont convergentes, de mˆeme limite l, il en est de mˆeme de (u n) n Exercice 2 Montrer que toute suite convergente est born´ee Exercice 3 Montrer que la suite (u n) n∈N d´efinie par u n = (−1)n + 1 n n’est pas convergente Exercice 4 Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est stationnaire a partir d’un certain rang
Suites et séries de matrices
De plus, les valeurs propres de D sont les valeurs propres de A On note k l’indice de nilpotence de N Puisque les matrices D et N convergent, la formule du binôme de NEWTON permet d’écrire pour n>k An =(D+N) n=å j=0 n j Dn jNj =åk j=0 n j Dn jNj Il existe une matrice P 2GL p(C) et une matrice diagonale D tel que D = PDP 1 Mais alors
I Suites de matrices colonnes - Académie de Versailles
Dé nition : Convergence d'une suite de matrices colonnes On dit qu'une suite de matrices converge lorsque tous ses éléments (termes de suites numériques) convergent Cette suite de matrices converge alors vers la matrice ayant pour coe cients les limites de chaque terme de (U n) Remarque : Dans les autres cas, on dit que la matrice diverge
Partie I Convergence d’une série entière de matrices
Ainsi, la série de matrices de terme général cnAn est absolument convergente et donc convergente car Mp(C) est de dimension finie Ceci montre que A∈ Ac • Soit A∈ Ac Soit λune valeur propre de A Soit Y∈ Mp,1(C)\{0}un vecteur propre associé
vitesse et acc´el´eration - Département de Mathématiques
n) une suite de nombres ≥ 0 La suite converge g´eom´etriquement si et seulement si on a lim n √ u n < 1 D´emonstration Posons s n = sup p≥n p √ u p Rappelons que cette suite est positive et d´ecroissante, donc convergente, et qu’on a lim n √ u n = lims n par d´efinition Supposons que l’on a lims n = k < 1 et soit v
Suites de fonctions - Licence de mathématiques Lyon 1
3 Allez à : Correction exercice 10 Exercice 11 Soit ( ) ∈ℕ]la suite de fonctions définies sur [0,1 par (????)= 2 ???? 1+2 ????????2 1 Etudier la converge simple de cette suite sur [0,1]
[PDF] determiner l'ensemble des matrices qui commutent avec a
[PDF] puissance nième d'une matrice triangulaire
[PDF] puissance de matrice exercices corrigés
[PDF] puissance nième d'une matrice carrée
[PDF] conclusion des voyages de james cook
[PDF] ami de maupassant
[PDF] le trone de fer ebook gratuit
[PDF] le trone de fer tome 2 pdf
[PDF] réalisme en peinture
[PDF] le salon des refusés
[PDF] lecture analytique le rapport de brodeck chapitre 7
[PDF] courbet peintre naturaliste
[PDF] le rapport de brodeck texte intégral
[PDF] maupassant et la guerre
1
C. Lainé
SUITE DE MATRICES ET CONVERGENCE
Cours Terminale S
1. Suite de matrices colonnes
1) Exemples
Exemple 1 : La suite ()nU définie pour tout entier naturel n par 313 5 nUn n est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques ()nu et ()nvdéfinies pour tout entier naturel n par 31= +nun et 3 5= +nvn un=n2 et vn=3n+1. Exemple 2 : Soit deux suites numériques ()nu et ()nv définies pour tout entier naturel n par :
00,05=u, 00,95=v et
111 10,054 3
3 10,054 3
n n n n n nu u v v u vOn pose pour tout entier naturel
n : ( )=( )( ) n n n Uu v, 1 1 4 3 3 1 4 3 A et 0,050,05C( )=( )( ) .
On a alors
00,05 0,95 U et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence :1 A C+= +nnU U.
En effet :
1 1 11 1 1 10,050,054 3 4 3 3 1 0,05 3 10,054 3 4 3A C
n n n nnn nnnn u v UU u v u u v v. Exemple 3 : Soit une suite numérique ()nu définie par : 0u, 1u et 2 13 2+ += -n n nu u u.On pose pour tout entier naturel
n : 1+ n n n Uu u et 0 12 3A( )=( )-( )
On a alors
0 0 1 Uu u et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence :1 A+=nnU U.
En effet,
1 211 11
0 1 2 32 3A+
n n nnnn nnn UUu u uuu u u.2) Expression de
Un en fonction de n lorsque 1nnU UA+=
Propriété 1 : Soit une suite de matrices colonnes ()nU de taille p telle que pour tout entier naturel n, on ait 1 A+=nnU U où A est une matrice carrée de taille p. Alors, pour tout entier naturel n, on a : 0 A=nnU U. 2C. Lainé
Démonstration : Soit ?(n) la proposition : " pour tout n de N, 0 A=nnU U » → Initialisation : 00 0 0 0 A A= = × =n
pU U U UI. Par suite, on a ?(0) qui est vraie. → Hérédité : Soit k ≥ 0. Supposons que ?(k) est vraie. Alors : 0 A=k kU U. 10 01A A A A+
+= × = × × = ×k k k kU U U U. On en déduit que ?(k + 1) est vraie.On a alors prouvé :
?(0) et pour tout k supérieur ou égal à 0, ?(k) ? ?(k + 1). → Du principe de raisonnement par récurrence, on déduit : pour tout n supérieur ou égal à 0, ?(n) est vraieC"est-à-dire : pour tout
n de N, 0 A=nnU U. Exemple : Reprenons le troisième exemple du 1). On souhaite calculer 5 6 et u u, sachant que00=u et 11=u.
5 5 6 Uu u et d"après la propriété précédente, 5 50A= ×U U.
Or 5 5 5 00 1 0 30 31 0 31
2 3 1 62 63 1 63A-( ) ( ) ( ) ( ) ( )= × = × = × =( ) ( ) ( ) ( ) ( )- -( ) ( ) ( ) ( ) ( )
U U, en utilisant la calculatrice.
Par conséquent,
531=u et 663=u.
2. Limite d"une suite de matrices
1) Définition
Définition 1 : Une suite de matrices colonnes ()nU de taille p congerge vers une matrice L si, et seulement si, les coefficients de ()nU (qui sont des suites réelles) convergent vers les coefficients de L correspondants.Dans les autres cas, la suite ()nU diverge.
Exemple : Reprenons l"exemple 1 du 1.
()lim 3 5 →+∞+ = +∞nn et ()3lim 1
→+∞+ = +∞nn. Donc la suite ()nU diverge.2) Propriété
Propriété 2 : Soit une suite de matrices colonnes ()nU de taille p telle que pour tout entier naturel n, on ait 1 A C+= +nnU U où A est une matrice carrée de taille p et C une matrice colonne à p lignes. Si la suite ()nU converge, alors sa limite L est une matrice colonne vérifiant l"égalitéL AL C= + .
Démonstration : limL
→+∞=nnUet lim A C AL C →+∞+ = +nnU.Par unité des limites, on obtient L AL C= +.
Exemple : Reprenons l"exemple 2 du 1.
Si la suite ()nU converge, alors sa limite L sera solution de l"équation matricielle L AL C= +.Résolvons cette équation :
L AL C= + équivaut à L AL C- =, soit à ()2A L C- =I. 3C. Lainé
Donc L AL C= + équivaut à ()
12L A C
-= -I. Or 21 1 3 1
1 04 3 4 3
0 1 3 1 3 2
4 3 4 3
AI, et, ( )
1 123 18 44 33 33 23 34 3A
-( )-( )( )( )( )- = =( )( )( )-( )( )( )IPar conséquent,
128 40,05 0,23 30,05 0,33 3L A C
-( )( ) ( )( )= - = × =( ) ( )( )( )( ) ( )( )IDonc la suite
()nU converge vers 0,20,3L( )=( )( )
3. Graphes et marches aléatoires
1) Graphe
Dans une localité, on suppose que chaque jour, il fait soit sec, soit humide.On fait l"hypothèse que :
S"il fait sec un jour, alors il fera encore sec le lendemain avec la probabilité 5 6. S"il fait humide un jour, alors il fera encore humide le lendemain avec la probabilité 2 3. Un certain dimanche (choisi pour jour 0), il fait sec. On s"intéresse à l"évolution météorologique des jours suivants. Pour visualiser la situation, on peut la représenter par le scéma suivant, appelé graphe.2) Marche aléatoire
On considère la variable aléatoire nX prenant les valeurs H (humide), S (sec) à l"étape n,
c"est-à-dire le jour n.H et S s"appellent les états de
nX.Par exemple,
10H=X signifie quil fera humide le 10ème jour.
La suite de variables aléatoires
()nX est appelée marche aléatoire sur l"ensemble des issues {},H S. Dans une marche aléatoire, l"état du processus à l"étape n + 1 ne dépend que de celui à l"état n, mais non de ses états antérieurs.3) Matrice de transition
On considère la loi de probabilité de nX, appelée probabilité de transition, qui donne la
probabilité qu"il fasse humide ou sec le jour n. 5 6 2quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32