suites de matrices convergence tsspé cours
Définition 3 : On dit qu'une marche aléatoire de matrice de transition M est convergente si la suite des matrices colonnes (U n) des états de la marche aléatoire converge Si la suite (U n) des états d’une marche aléatoire convergente vérifie la relation U U n+1 = M n, alors la limite L de cette suite définit un état stable, solution
SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES
convergente et sa limite est la matrice colonne U= 0 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Propriété : U (n) est une suite de matrices colonnes de taille p définie par la relation matricielle de récurrence U n+1 =AU n +B où A est une matrice carrée de taille p et B est une matrice colonne à p lignes Si la suite U (n) est convergente alors sa
Suites et séries matricielles - maths-francefr
Pour être capable d’étudier la convergence et la limite éventuelle d’une suite de matrices (ou d’endomorphismes) ou d’une série de matrices (ou d’endomorphismes), nous avons besoin d’une norme Dans la pratique, de nombreuses normes sont utilisées
Suites 1 Convergence
n sont convergentes, de mˆeme limite l, il en est de mˆeme de (u n) n Exercice 2 Montrer que toute suite convergente est born´ee Exercice 3 Montrer que la suite (u n) n∈N d´efinie par u n = (−1)n + 1 n n’est pas convergente Exercice 4 Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est stationnaire a partir d’un certain rang
Suites et séries de matrices
De plus, les valeurs propres de D sont les valeurs propres de A On note k l’indice de nilpotence de N Puisque les matrices D et N convergent, la formule du binôme de NEWTON permet d’écrire pour n>k An =(D+N) n=å j=0 n j Dn jNj =åk j=0 n j Dn jNj Il existe une matrice P 2GL p(C) et une matrice diagonale D tel que D = PDP 1 Mais alors
I Suites de matrices colonnes - Académie de Versailles
Dé nition : Convergence d'une suite de matrices colonnes On dit qu'une suite de matrices converge lorsque tous ses éléments (termes de suites numériques) convergent Cette suite de matrices converge alors vers la matrice ayant pour coe cients les limites de chaque terme de (U n) Remarque : Dans les autres cas, on dit que la matrice diverge
Partie I Convergence d’une série entière de matrices
Ainsi, la série de matrices de terme général cnAn est absolument convergente et donc convergente car Mp(C) est de dimension finie Ceci montre que A∈ Ac • Soit A∈ Ac Soit λune valeur propre de A Soit Y∈ Mp,1(C)\{0}un vecteur propre associé
vitesse et acc´el´eration - Département de Mathématiques
n) une suite de nombres ≥ 0 La suite converge g´eom´etriquement si et seulement si on a lim n √ u n < 1 D´emonstration Posons s n = sup p≥n p √ u p Rappelons que cette suite est positive et d´ecroissante, donc convergente, et qu’on a lim n √ u n = lims n par d´efinition Supposons que l’on a lims n = k < 1 et soit v
Suites de fonctions - Licence de mathématiques Lyon 1
3 Allez à : Correction exercice 10 Exercice 11 Soit ( ) ∈ℕ]la suite de fonctions définies sur [0,1 par (????)= 2 ???? 1+2 ????????2 1 Etudier la converge simple de cette suite sur [0,1]
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1 MATRICES - Chapitre 2/2
Partie 1 : Écriture matricielle d'un système linéaireExemple :
On considère le système (S) suivant : !
5+2=16
4+3=17
On pose : =
5243
/ et = 16 17
On a alors : ×=3
5+2
4+3
4 Ainsi, le système peut s'écrire :×=Propriété : Soit une matrice carrée inversible de taille et une matrice colonne à
lignes.Alors le système linéaire d'écriture matricielle ×= admet une unique solution
donnée par la matrice colonneDémonstration :
×= alors=Remarque :
Dans le contexte de la propriété précédente, si n'est pas inversible alors le système
correspondant possède une infinité de solutions ou aucune solution. Méthode : Résoudre un système à l'aide des matricesVidéo https://youtu.be/vhmGn_x7UZ4
Résoudre le système (S) suivant : !
5+2=16
4+3=17
Correction
On a vu plus haut qu'en posant =
5243
/ et = 16 17 Le système peut s'écrire sous forme matricielle : ×=. En calculant l'inverse de la matrice , on a : 3 7 -2 7 -4 7 5 7 8.
Ainsi =
3 7 -2 7 -4 7 5 78
16 17 2 3 Le système a donc pour solution le couple (;)=(2;3). 2Partie 2 : Suites de matrices colonnes
1) Exemples :
a) La suite définie pour tout entier naturel par =33+1
4 est une suite de
matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques et définies pour tout entier naturel par et =3+1. b) Soit deux suites numériques couplées et définies pour tout entier naturel par =2, =4 et ! =2 -3 +1 +5 -4On pose pour tout entier naturel :
On pose encore : =
2-3 -15 / et = 1 -4On a alors
2 4 / et pour tout entier naturel , la relation matricielle de récurrenceEn effet :
2-3 -15 1 -4 /=32
-3 +1 +5 -44=
c) Soit une suite numérique définie par une relation de récurrence d'ordre 2 : =2, =-1 et =2 +3On pose pour tout entier naturel :
On pose encore : =
01 32On a alors
2 -1 / et pour tout entier naturel , la relation matricielle de récurrence :En effet,
01 323
+22) Terme général d'une suite de matrices
Propriété : Soit une suite de matrices colonnes de taille telle que pour tout entier naturel , on a où est une matrice carrée de taille . Alors, pour tout entier naturel , on a :Démonstration :
On démontre cette propriété par récurrence. • Initialisation : car • Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier tel que la propriété soit vraie : - Démontrons que : La propriété est vraie au rang +1 : 3 • Conclusion :La propriété est vraie pour =0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de
récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel , soit : Méthode : Calculer des termes d'une suite à l'aide de matricesVidéo https://youtu.be/62U34Kl4o1I
Soit deux suites numériques couplées
et définies pour tout entier naturel par : =1, =-1 et ! =3 =-2 +2Calculer
etCorrection
On pose pour tout entier naturel :
On pose encore : =
3-1 -22On a alors
1 -1 / et pour tout entier naturel , la relation matricielle de récurrence :On alors
et donc en particulierSoit en s'aidant de la calculatrice :
3-1 -22 1 -12731-1365
-27301366 1 -1 4096-4096