suites de matrices convergence tsspé cours
Définition 3 : On dit qu'une marche aléatoire de matrice de transition M est convergente si la suite des matrices colonnes (U n) des états de la marche aléatoire converge Si la suite (U n) des états d’une marche aléatoire convergente vérifie la relation U U n+1 = M n, alors la limite L de cette suite définit un état stable, solution
SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES
convergente et sa limite est la matrice colonne U= 0 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Propriété : U (n) est une suite de matrices colonnes de taille p définie par la relation matricielle de récurrence U n+1 =AU n +B où A est une matrice carrée de taille p et B est une matrice colonne à p lignes Si la suite U (n) est convergente alors sa
Suites et séries matricielles - maths-francefr
Pour être capable d’étudier la convergence et la limite éventuelle d’une suite de matrices (ou d’endomorphismes) ou d’une série de matrices (ou d’endomorphismes), nous avons besoin d’une norme Dans la pratique, de nombreuses normes sont utilisées
Suites 1 Convergence
n sont convergentes, de mˆeme limite l, il en est de mˆeme de (u n) n Exercice 2 Montrer que toute suite convergente est born´ee Exercice 3 Montrer que la suite (u n) n∈N d´efinie par u n = (−1)n + 1 n n’est pas convergente Exercice 4 Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est stationnaire a partir d’un certain rang
Suites et séries de matrices
De plus, les valeurs propres de D sont les valeurs propres de A On note k l’indice de nilpotence de N Puisque les matrices D et N convergent, la formule du binôme de NEWTON permet d’écrire pour n>k An =(D+N) n=å j=0 n j Dn jNj =åk j=0 n j Dn jNj Il existe une matrice P 2GL p(C) et une matrice diagonale D tel que D = PDP 1 Mais alors
I Suites de matrices colonnes - Académie de Versailles
Dé nition : Convergence d'une suite de matrices colonnes On dit qu'une suite de matrices converge lorsque tous ses éléments (termes de suites numériques) convergent Cette suite de matrices converge alors vers la matrice ayant pour coe cients les limites de chaque terme de (U n) Remarque : Dans les autres cas, on dit que la matrice diverge
Partie I Convergence d’une série entière de matrices
Ainsi, la série de matrices de terme général cnAn est absolument convergente et donc convergente car Mp(C) est de dimension finie Ceci montre que A∈ Ac • Soit A∈ Ac Soit λune valeur propre de A Soit Y∈ Mp,1(C)\{0}un vecteur propre associé
vitesse et acc´el´eration - Département de Mathématiques
n) une suite de nombres ≥ 0 La suite converge g´eom´etriquement si et seulement si on a lim n √ u n < 1 D´emonstration Posons s n = sup p≥n p √ u p Rappelons que cette suite est positive et d´ecroissante, donc convergente, et qu’on a lim n √ u n = lims n par d´efinition Supposons que l’on a lims n = k < 1 et soit v
Suites de fonctions - Licence de mathématiques Lyon 1
3 Allez à : Correction exercice 10 Exercice 11 Soit ( ) ∈ℕ]la suite de fonctions définies sur [0,1 par (????)= 2 ???? 1+2 ????????2 1 Etudier la converge simple de cette suite sur [0,1]
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YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES I. Suites de matrices colonnes 1) Exemples : a) La suite
U n définie pour tout entier naturel n par U n n 2 3n+1 est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques u n et v n définies pour tout entier naturel n par u n =n 2 et v n =3n+1 . b) Soit deux suites numériques couplées u n et v n définies pour tout entier naturel n par : u 0 =2 v 0 =4 et u n+1 =2u n -3v n +1 v n+1 =-u n +5v n -4On pose pour tout entier naturel n :
U n u n v nOn pose encore :
A= 2-3 -15 et B= 1 -4 . On a alors U 0 2 4 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : U n+1 =AU n +B . En effet : AU n +B= 2-3 -15 u n v n 1 -4 2u n -3v n +1 -u n +5v n -4 u n+1 v n+1 =U n+1 c) Soit une suite numérique u n définie par une relation de récurrence d'ordre 2 : u 0 =2 u 1 =-1 et u n+2 =2u n+1 +3u n . On pose pour tout entier naturel n : U n u n u n+1On pose encore :
A= 01 32YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2On a alors U 0 2 -1 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : U n+1 =AU n . En effet, AU n 01 32
u n u n+1 u n+1 3u n +2u n+1 u n+1 u n+2 =U n+1
2) Terme général d'une suite de matrices Propriété : Soit une suite de matrices colonnes
U n de taille p telle que pour tout entier naturel n, on a U n+1 =AU n où A est une matrice carrée de taille p. Alors, pour tout entier naturel n, on a : U n =A n U 0. Démonstration : On démontre cette propriété par récurrence. • Initialisation :
U 0 =A 0 U 0 car A 0 =I p• Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie :
U k =A k U 0 - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k + 1 : U k+1 =A k+1 U 0 U k+1 =AU k =AA k U 0 =AA k U 0 =A k+1 U 0• Conclusion : La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit :
U n =A n U 0. Méthode : Calculer des termes d'une suite à l'aide de matrices Vidéo https://youtu.be/62U34Kl4o1I Soit deux suites numériques couplées
u n et v n définies pour tout entier naturel n par : u 0 =1 v 0 =-1 et u n+1 =3u n -v n v n+1 =-2u n +2v nCalculer
u 6 et v 6 . On pose pour tout entier naturel n : U n u n v nOn pose encore :
A= 3-1 -22 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3On a alors U 0 1 -1 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : U n+1 =AU n . On alors U n =A n U 0 et donc en particulier U 6 =A 6 U 0 . Soit en s'aidant de la calculatrice : U 6 3-1 -22 6 1 -12731-1365
-27301366 1 -1 4096-4096
On en déduit que
u 6 =4096 et v 6 =-4096. II. Convergence de suites de matrices colonnes Définitions : On dit qu'une suite de matrices colonnes
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